东北大学期末考核《离散数学X》期末考试备战高分题集.docx

1、东北大学期末考核离散数学X期末考试备战高分题集离散数学X期末考试备战题集一、 有两个小题1分别说明联结词 、和 在自然语言中表示什么含义。解：“ ”表示“不成立”，“不”。“”表示“并且”、“不但而且.”、“既又 .”等。“”表示“或者”， 是可兼取的或。“ ”表示 如果 ，则 ；只要 ，就 ； 只有 , 才； 仅当 。“ ”表示“当且仅当”、“充分且必要”。2分别列出P Q、 P Q、P Q 、P Q的真值表(填下表)。PQP Q P QP QP Q解：PQP Q P QP QP QFFTFTFFTFTTFTFFTFFTTTTTT二、 1.指出下面的命题公式中哪些是永真式(只写题号即可)。

2、(1). (P(PQ)Q (2). P(PQ) (3). (PQ)Q (4). (PQ)P解:(1),(2),(3)为永真式。2.然后对上面的永真式任选其中一个给予证明(方法不限)。证明 (3). (PQ)Q 设前件(PQ)为真，则得Q为真。所以(PQ)Q是永真式。 3.上面哪个不是永真式（找出一个即可），请说明它为什么不是永真式。解：(4). (PQ)P 不是永真式。因为如果前件PQ为真，后件P不一定为真。所以(PQ)P 不是永真式。三、 用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写推理过程。 x(B(x) C(x), xA(x), x( A(x) C(x) x B(x)

3、解： xA(x) P A(a) ES x( A(x) C(x) P A(a) C(a) US C(a) T I x(B(x) C(x) P B(a) C(a) US B(a) T I x B(x) EG 四、令全集E=1,2,A=1, P(A)表示集合A的幂集。（注意：要求有计算过程，不能直接写出计算结果！）1. 指出 P(E)和P(A)各有多少个元素。即求|P(E)|和|P(A)|。解：因为P(E),1,2, 1,2 所以P(E)有4个元素。即|P(E)|4。P(A),1 所以P(A)有2个元素。即|P(A)|2。 2. 计算 P(E)P(A)解： P(E)P(A),1,2,1,2,1 2,

4、 1,23计算A E解：因为AEA=1,2-1=2 A E2 1,2(2 1,2)(2 1,2)1,221五、给定集合A=1,2,3,定义A上的关系如下： R= AA(完全关系（全域关系）) S=, T=, M=, 1.写出关系S的矩阵；再画出上述各个关系的有向图。解：关系S的矩阵如下：下面是几个关系的有向图：2. 判断各个关系性质。用“”表示“是”，用“”表示“否”，填下表：自反的反自反的对称的反对称的传递的RSTM解：自反的反自反的对称的反对称的传递的RSTM3.上述四个关系中，哪些是等价关系？哪些是偏序关系？对等价关系，写出此等价关系的各个等价类。解：T和R是等价关系。 M是偏序关系。

5、A/T=1,2,3 A/R=1,2,34.求复合关系SoT解：SoT,六、写出命题公式 (Q P)Q 的主合取范式。（要求有解题过程）解： 方法1：等价变换 (Q P) Q ( Q P)Q ( 去 ) (QP)Q ( 摩根定律 ) Q ( 吸收律 ) (P P)Q （互补、同一律 ） (PQ)( PQ) ( 分配律 )方法2：真值表法先列(Q P) Q的真值表如下：PQ PQ P(Q P) QFFTTFFTTTTTFFTFTTFFT从真值表看出，该命题公式的主合取范式含有大项M0和M2，即(PQ)和( PQ)。于是此命题公式的主合取范式为：(Q P) Q (PQ)( PQ)七、用谓词逻辑推理的

6、方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写推理过程。 xC(x), x(A(x) B(x), x(B(x) C(x) xA(x)解： x(A(x) B(x) P A(a) B(a) ES xC(x) P C(a) US x(B(x) C(x) P B(a) C(a) US B(a) T I A(a) T I xA(x) EG 八、令集合A=1,1,B=1，P(A)表示A的幂集。（注意：要求要有计算过程，不能直接写出计算结果！） (1) AP(B) (2) AB (3) P(A)P(B)解： A=1,1, B=1， AP(B)1,1 ,1 , AB(A B)(A B) =(1,1 1) (

7、1,1 1)1,111。 P(A)P(B),1,1, 1,1,1 1, 1,1九、R是实数集合，给出R上的运算：+、max、min、|x-y|,分别表示加法、减法、乘法、两个数中取最大的、两个数中取最小的、x-y的绝对值运算。1. 判断各个运算性质。用“”表示“是”，用“”表示“否”，填下表：+maxmin|x-y|有交换性有结合性有幂等性有幺元有零元2.分别指出R对上面哪些运算是半群、独异点和群。3.如果有群，请说明它为什么是群。解:1.+maxmin|x-y|有交换性有结合性有幂等性有幺元有零元2. 构成半群的有：， ， , . 构成独异点的有： ， 。 构成群的有： 。3. 是群的理由：

8、 (1) 在实数集合内满足封闭性。即 任何a,bR, 有R。 (2) 是可结合的。 (3) 0是运算的幺元。任何aR, 有0+a=a=a+0 . (4) 任何实数a, 都有逆元aR , 使得 (-a)+a=0=a+(-a) .所以是群。十、有三个小题 1. 指出下面各个图中哪些是彼此同构的.解： a、h、i 同构； b、d同构； c、g同构； e、f同构。2.完全二叉树中，设边数为e，叶结点数为t，求证 e=2(t-1)。解：由完全m叉树公式 (m1)i=t1 这里m2，得 (21)i=t1, i=t1, T中总的结点数v为: v=it =(t1)t=2t1，于是T的边数e：e=v1= 2t11= 2t2=2(t1)3根据给定一组权值:1,6,2,5,3,4,1,6,2 画出一棵最优完全二叉树。要求有画图的过程。解 权值排序并画图：