生产中线性规划问习题.docx
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生产中线性规划问习题
实质生产中的线性规划问题
【纲要】线性规划是运筹学中的一个基安分支，它宽泛应用现有的科学技术
和数学方法，解决实质中的问题，帮助决议人员选择最优目标和决议。
本文主要
研究怎样把线性规划的知识运用到公司、生活生产中，是公司提升生产效率，生
活生产更为合理。
经过成立模型并利用有关软件，对生活中有限的资源进行合理
分派，进而获取最正确经济效益。
重点词线性规划数学方法合理分派最正确效益
【前言】跟着经济全世界化的不停发展，公司面对更为强烈的市场竞争。
公司
一定不停提升盈余水平，加强其赢利的能力，在成本、生产、运输、销售等环节
中提升效率，形成公司的中心竞争力，才能在强烈的市场竞争中立于不败之地。
在各种经济活动中，常常碰到这样的问题：
在生产条件不变的状况下，怎样经过
兼备安排，改良生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使
总的经济效益最好。
这样的问题常常能够化成或近似地化成所谓的“线性规划”
（LinearProgramming,简记为LP）问题。
线性规划是应用剖析、量化的方法，对
经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行兼备安排，为决议者供给有依照的
最优方案，以实现有效管理。
利用线性规划我们能够解决好多问题。
如：
在不违
反必定资源限制下，组织安排生产，获取最好的经济效益（产量最多、利润最大、
功效最高）。
也能够在知足必定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。
同时
还能够在任务或目标确立后，兼备兼备，合理安排，用最少的资源（如资本、设
备、原资料、人工、时间等）去达成任务。
下边我们用线性规划方法对公司在生
产中的详细问题进行商讨。
二、线性规划的模型
线性规划是运筹学的一个重要分支，自1947年丹捷格提出了一般线性规划问题求解的方法---纯真形法以后，线性规划在理论上趋势成熟，在实质中日趋广
泛与深入。
特别是在电子计算机能办理不计其数个拘束条件和决议的线性规划问
题以后，线性规划的合用领域更为宽泛了。
从古人们在用这个模型求解时计算特别麻烦，而近几十多年来，因为电子计
算机应用的飞快发展，应用计算机办理线性规划问题令人们求解变得愈来愈简单
了。
LINDO软件是解决线性规划问题的有力工具，它可用于解决50000个拘束
条件，20000个变量的线性规划问题，所以线性规划的详细运用也愈来愈受管理
者的重视了。
一、线性规划在公司中的应用
下边我们从公司在进行拟订生产计划、设施使用、资料的使用、配料分派、
运输、广告促销、公司决议等几方面看看怎样运用线性规划使公司获取最优方案。
例1（生产计划问题）
假定某厂计划生产甲、乙两种产品，其主要原资料有钢材3600kg，铜材
2000kg及专用设施能力3000台时，已原资料和设施的单间耗费定额以及单位产
品所赢利润以下表所示（表1-1）。
问怎样安排生产方使该厂所赢利润最大？
为了求解这一问题，设甲、乙两种产品的计划产量分别为
x1,x件。
生产这两种
2
产品所耗费的钢材总数目为
近似地，能够获取
9xx，但此刻只有钢材3600kg，所以，应有
14
2
9x14x23600
明显，因为各样产品的数目不可以为负数，我们还有
而且，总利润为
综合起来，能够把这个问题的数学形式表达成
此中，记号“max”表示函数的最大值。
例2（运输问题）
设有某种物质要从A1，A2，A3三个库房运往四个销售点B1，B2，B3，B4。
各发点（库房）的发货量、各收点（销售点）的收货量以及
如表1-2，。
问怎样组织运输才能使总运费最少？
表1-2
A到
i
B的单位运费
j
解：
设x（i1,2,3;j1,2,3,4）
ij
（表示从产地
A运往销地
i
B的运输量，比如
j
x表示由产地
12
A运往销地
1
B的数目等等。
那么知足产地的供给量拘束为
2
知足销地的需求量拘束为
所以最正确调运量就是求一组变量xij（i1,2,3;j1,2,3,4），使它知足上述拘束
条件并使总运费
最小。
再加上变量的非失期束xij（i1,2,3;j1,2,3,4），就获取解决这个问题
的数学模型。
例3（配料问题）
在现代化的大型畜牧业中，常常使用工业生产的饲料。
设某种饲料由四种原料B1，B2，B3，B4混淆而成，要求它含有三种成份（如维生素、抗菌素等）A1，A2，A3的數量分別许多于25、36、40个单位（这些单位能够互不同样），各样原料的每百公斤中含三种成份的数目及各样原料的单价如表1-3.
表1-3
现问应怎样配料，使合成饲料（产品）既含有足够的所需成份，又使成本最低。
解：
设合成的饲猜中原料
数学模型：
B的含量为xj（j1,2,3,4）百公斤，则有以下的
j
二、线性规划在公司中的决议应用
㈠、确立型决议
确立型决议是指面对的问题的有关要素是确立的，进而成立的决议模型的各样参
数是确立的。
解决确立型决议问题的方法有线性规划、非线性规划、动向规划等
等，而我要介绍的是线性规划。
线性规划是最基本也是最常用的一种数学模型。
为了把一个实质问题用线性规划的方法求解，需要成立数学模型。
线性规划问题
的标准为：
n目标函数maxZ=cjxj
1
j
n
axj
i
j
bi
拘束条件s.t.
j
x
j
1
0
（i=1,2,,,m;j=1,2,,,n）
b
i
0
成立标准型的利处在于：
我们能够只针对这种标准形式来研究它的求解方法。
至
于其余各样形式的线性规划问题，能够先将非标准型变为标准型，而后在用标准
型的求解方法求解。
线性规划问题的求解方法有图解法，纯真形法，表解式的单
纯形法。
此中纯真形法的计算步骤为：
（1）找出初始可行基（或用增添新变量
的方法创建初始可行基）成立初始纯真形表。
（2）检查所有的zj-cj。
假如所有的zj-cj≥0，则改解为最优解。
反之，说明改
解不是最优解。
（3）选择拥有最小查验数的非基变量为换入变量。
它所对应的那一列称为主列。
（4）用主列元素中的每一个大于0的系数去除同行的限制系数（或称右项），
取比值最小的那一行所对应的基变量为换出变量。
（5）把换出变量的那一行，除以该行主列元素的系数。
（6）进行行变换，使换出变量那一行以外的所有主列元素变为0.
（7）重复第二步，直到没有新的非基变量能够改良目标函数为止。
事例：
在公司投资决议中，常常需要用到线性规划。
比如：
跟着人们经济
水平的不停提升，某投资商决定投资建汽车厂生产大轿车和载重汽车两种型号的
的汽车，已知生产每辆汽车所用的钢材都是2吨／辆，该工厂每年的供给的钢材
为1600吨，工厂的生产能力是载重汽车2.5小时／辆，大轿车5小时／辆，工
厂整年的有效工时为2500小时；已知供给给该厂的大轿车用的座椅400辆／年。
据市场检查，销售一辆大轿车可赢利4千元，销售一辆载重汽车可赢利3千元.
问在这些条件下，该投资商怎样安排生产才能使工厂赢利最大？
1、剖析与建模：
该问题是在有限资源拘束下求利润最大化的问题，
设x1为生产大汽车的数目，x2为生产载重汽车的数目.
模型：
maxZ=4x1+3x2
ST:
2x1+2x2≤1600
5x1+2.5x2≤2500
x1≤400
x1≥0,x2≥0
1、模型求解（表解式纯真形法）
增添三个变量x3,x4,x5,先将该问题化成标准型:
maxZ=4x1+3x2
ST:
2x1+2x2+x3=1600
5x1+2.5x2+x4=2500
x1+x5=400
x1,x2，x3,x4,x5≥0表解形式如表：
列12345
行bθ
xX1X2X3X4X5
c43000
1X30221001600800
3X5
4zj400000
5zj-cj-4-3000
1X300210-2800400
3X1410001400
4zj400041600
5zj-cj00004
3X1
5zj-cj
1X5
2X2
5zj-cj
解
从表中可得，该工厂生产200辆大汽车，600辆载重汽车所获取的利润最大为
maxZ=4x1+3x2=260（0千元）
㈡、不确立型决议
假如断策问题波及的条件中有些是未知的，对一些随机变量，连它们的概率散布
也不知道，这种问题被称为不确立型决议。
不确立型决议的基本准则有：
1.乐观法（又称最大最大准则）：
采纳这种方法的基本出发点是对将来的客观情
况老是抱乐观态度。
其基本步骤是：
找出个方案在不一样自然状态下的最大益损值；
取各方案最大益损值的最大者为决议方案。
比如：
某公司打算生产某产品。
据市场展望剖析，产品销路有三种可能性：
销路
好、一般和差。
生产该产品有三种方案：
改良生产线、新建生产线、外包生产。
各样方案的利润值如表：
项目销路好销路一般销路差
改良生产线180120-40
新建生产线240100-80
外包生产1007016
在本例中，三种方案的最大利润挨次为180、240、100，此中第二种方案对应的
值最大，所以选择新建生产线的方案。
2．消极法（又称最大最小准则）：
采纳这种方法的基本出发点是对将来的客观
状况老是抱消极态度，而后在最坏的状况下有争取最好的可能。
其基本步骤是：
找出各行动的方案在不一样自然状态下的最小益损值；找各方案最小益损值的最大
者。
仍以上个事例为例：
三种方案的最低利润挨次为-40，-80，16，此中第三种
方案对应的值最大，所以选外包生产的方案。
3、懊悔值法（又称最小最大原则）：
决议者在选择了某方案后，若过后发现客
观状况并未按自己预料的发生，会为自己事先的决议尔懊悔。
由此，产生了最小
最大懊悔值决议方法,其步骤是：
（1）计算每个方案在每种状况下的懊悔值，定
义为：
懊悔值=该状况下的各方案的最大利润-该方案在该状况下的是利润
（2）找出各方案的最大懊悔值；
（3）选择最大懊悔值中最小的方案。
仍以上例为例，获取对于懊悔值的表格为：
项目销路好销路一般销路差最大懊悔值
改良生产线180120-4060
新建生产线240100-8096
外包生产1007016140
从表格中能够看出，此中第一方案对应的最大懊悔值最小，所以选择改良生产线
的方案。
㈢、风险型决议方法
假如断策问题波及的条件中有些是随机要素，它固然是不确立型的，可是知道它
的概率散布，这种决议被称为风险型决议。
解决风险型决议问题常用的决议原则
有最大可能原则、盼望水平原则和希望值最大原则。
1、最大可能原则：
按最大体率的自然状态进行决议。
这种原则合用于在一组自
然状态中某种状态出现的概率特别大，而其余状态下各行动方案的益损值差异不
大的状况。
2、盼望水平原则：
早先给出利润的一个盼望水平A,对每一个行动，都求出其收
益达到盼望水平A的概率。
使这个概率最大的行动就是盼望水平原则下的最优行
动.
3、希望值最大原则：
用希望值法进行决议是把每个行动方案的希望值求出来，
加以比较，而后选择希望值最大（当目标是利润时）或希望值最小（当目标是损
失机）的行动方案。
在好多状况下，利用决议树来表示决议过程是很方便的。
决议树中，□—表示决
策点，从它引出的分支叫方案分支，分支数反应可能的行动方案数；○—表示机
会节，从它引出的分支叫事件分支或概率分支，每条分支上写明自然状态及其出
现的概率，分支数反应可能的自然状态数。
△—表示结果节点，它旁边的数值是
每个方案在相应的自然状态下的效益值。
在时机节点上方的数字是各时机或方案
的希望值，在决议点，经过比较将希望值最大的一支保存，其余各支去掉，称为
剪枝。
最后决议点上方的数字就是最优方案的希望值。
下边举例说明利用决议树
来进行决议的方法。
比如：
为生产某种产品，设计了两个基建方案：
一是建大厂，
二是建小厂。
大厂需要投资300万元，小厂需要投资160万元，二者的使用期都
是10年。
预计在此时期，产品销路好的可能性是0.7，两个方案的年度损益值
如表：
自然状态概率建大厂建小厂
解决该问题的步骤：
（1）画决议树
销路好（0.7）100
340
建大厂
2
1
销路差（0.3）-20
建小厂150
3销路好（0.7）40
销路差（0.3）10
（2）计算各点的益损希望值：
点2：
0.7×100×10年+0.3×（-20）×10年-300
（大厂投资）=340（万元）
点3：
0.7×40×10年+0.3×10×10年-160（小厂投资）=150（万元）
二者比较，建大厂的方案合理。
因为资源的有限性以及投资的不确立性，公司决议者的压力不停增大，怎样
使有限的资源发挥最大的功效，进而使公司获取最大的利润，这是摆在决议者面
前的一个重要问题。
决议者应该针对公司的根本目的---利润最大化，选择适合
的决议方法，做出最正确决议。
而运筹学中的规划论和决议论能够适应公司决议者
的需要，给决议者们供给适合的帮助。
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