初中数学九大几何模型解题思路.docx
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初中数学九大几何模型解题思路
九大几何模型
、手拉手模型旋转型全等
1）等边三角形
D
条件】：
△OAB和△OCD均为等边三角形；
AED
结论】：
①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠
条件】：
△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；
结论】：
①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠
AED
D
E
、模型二：
手拉手模型旋转型相似
（1）一般情况
【条件】：
CD∥AB，
将△OCD旋转至右图的位置
O
O
D
E
A
A
结论】：
①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA
2）特殊情况
条件】：
CD∥AB，∠AOB=90°
将△OCD旋转至右图的位置A
结论】：
①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；
③ABDCOOCDOOABtan∠OCD；④BD⊥AC；
⑤连接AD、BC，必有AD2BC2AB2
三、模型三、对角互补模型
1）全等型-90°
条件】：
①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠
AOB
结论】：
①CD=CE；②OD+OE=2OC；③S△DCE
CD；⑥S△BCD
证明提示：
①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN
②过点C作CF⊥OC，
如图3，证明△ODC≌△FEC
※当∠DCE的一边交
AO的延长线于D时（如图4）：
S△OCDS
以上三个结论：
①
CD=CE；②OE-OD=2OC；
③S△OCES△OCD
2）全等型-120°
条件】：
①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB
32结论】：
①CD=CE；②OD+OE=O；C③S△DCES△OCDS△OCEOC2
4
证明提示：
①可参考“全等型-90°”证法一；
②如右下图：
在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。
条件】：
①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=C；E结论】：
①OC平分∠AOB；②OD+OE=2O·Ccosɑ；
③S△DCES△OCDS△OCEOCsinαcosα
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：
原结论变成：
①
②；
③。
可参考上述第②种方法进行证明。
请思考初始条件的变化对模型的影响。
对角互补模型总结：
①常见初始条件：
四边形对角互补，注意两点：
四点共圆有直角三角形斜边中线；
四、模型四：
角含半角模型90°
1）角含半角模型90°---1
条件】：
①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
ABCD周长的一半；
结论】：
①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形
也可以这样：
条件】：
①正方形ABCD；②EF=DF+BE；
2）角含半角模型90°---2
条件】：
①正方形ABCD；
②∠EAF=45°
结论】：
①EF=DF-BE；
3）角含半角模型90°---3条件】：
①Rt△ABC；②∠DAE=45°；
222
结论】：
BD2CE2DE2（如图1）
（4）角含半角模型90°变形【条件】：
①正方形ABCD；②∠EAF=45°【结论】：
△AHE为等腰直角三角形；证明：
连接AC（方法不唯一）
∵∠DAC=∠EAF=45°，
∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；
∴△DAH∽△CAE，
DA
AH
AC
AE
∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形
模型五：
倍长中线类模型
（1）倍长中线类模型---1
【条件】：
①矩形ABCD；②BD=BE；
③DF=EF；
【结论】：
AF⊥CF
模型提取：
①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。
2）倍长中线类模型---2
条件】：
①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；结论】：
∠EMD=3∠MEA
辅助线：
有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造
模型六：
相似三角形360°旋转模型
1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法
条件】：
①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；
结论】：
①DF=BF；②DF⊥BF
辅助线：
延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形；
3）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法
条件】：
①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；结论】：
①AE=DE；②∠AED=2∠ABO
B'
2）最短路程模型二（点到直线类1）
条件】
：
①OC平分∠AOB；②M为OB上一定点；③P为OC上一动点；④Q为OB上一动点；
将作Q关于OC对称点Q'，转化PQ'=PQ，过点M作MH⊥OA，
E，即为
3）最短路程模型二（点到直线类2）
条件】：
A（0,4）,B（-2,0）,P（0,n）
5
问题】：
n为何值时，PBPA最小？
5
5
求解方法：
①x轴上取C（2,0）,使sin∠OAC=；②过B作BD⊥AC，交y轴于点5
1
所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，
2
4）最短路程模型三（旋转类最值模型）
条件】：
①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面内360°旋转；问题】：
AB的最大值，最小值分别为多少？
结论】：
以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为
条件】：
①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆；
③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；
②OC=2；③OA=1；④点P为BC上动点（可与端点重合）；
⑤△OBC绕点O旋转
1
【结论】：
PA最大值为OA+OB1=23；PA的最小值为OBOA31
2
如下图，圆的最小半径为O到BC垂线段长。
模型八：
二倍角模型
BA'、CA'、
条件】：
在△ABC中，∠B=2∠C；
辅助线：
以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A'，连接AA'、
则BA=AA'=CA'（注意这个结论）
此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。
C
模型九：
相似三角形模型
1）相似三角形模型
--基本型
平行类：
DE∥
BC；
字型
字型
字型
8
A
结论：
AADB
AE
AC
BDCE（注意对应边要对应）
2）相似三角形模型
---斜交型
条件】：
如右图，∠
AED=∠ACB=90°
结论】：
AE×AB=AC×AD
C
条件】：
如右图，∠ACE=∠ABC；
结论】：
AC2=AE×AB
B双垂型C
斜交型
C
第四个图还存在射影定理：
AE×EC=BC×AC；BC=BE×BA；CE=AE×BE；
条件】：
（1）
图：
∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°
（2）
图：
∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°
（3）
图：
∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°
3）相似三角形模型---一线三等角型
结论】：
①△ABC∽△CDE；②AB×DE=BC×CD；
一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。
条件】：
（2）
图：
PA为圆的切线；
结论】：
（1）
图：
PA×PB=PC×PD；
（2）
图：
2
PA=PC×PB;
（3）
图：
PA×PB=PC×PD；
4）相似三角形模型---圆幂定理型
以上结论均可以通过相似三角形进行证明。
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