全国数学竞赛练习八.docx

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全国数学竞赛练习八

2018全国数学竞赛练习（八）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1．方程的所有整数解的个数是（）个

（A）2（B）3（C）4（D）5

2．设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且．若在边AC上取一点E，

使四边形DECB的面积为，则的值为（）

（A）（B）（C）（D）

3．如图所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC＝2，DA＝3，则AB的长（）

（A）等于4（B）等于5（C）等于6（D）不能确定

4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。

设为整数，当直线与直线的交点为整点时，的值可以取（）个

（A）8个（B）9个（C）7个（D）6个

5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（）分．

（A）5（B）6（C）7（D）8

二、填空题（每小题6分，共30分）

6．当分别等于，，，，，，，，，，，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于．

7．关于的不等式＞的解是＜，则关于的不等式＜0的解为．

8．方程的两根都是非零整数，

且，则＝　　　　．

9．如图所示，四边形ADEF为正方形，ABCD为等腰直

角三角形，D在BC边上，△ABC的面积等于98，BD∶DC＝2∶5．

则正方形ADEF的面积等于．

10．设有个数，，…，，它们每个数的值只能取0，1，－2三个数中的一个，且…，…，则…的值是．

三、解答题（每小题15分，共60分）

11．如图，凸五边形ABCDE中，已知S△ABC＝1，且EC∥AB，AD∥BC，BE∥CD，

CA∥DE，DB∥EA．试求五边形ABCDE的面积．

12．在正实数范围内，只存在一个数是关于的方程的解，求实数的取值范围．

13．如图，一次函数的图象过点P（2，3），交x轴的正半轴与A，交y轴的正半轴与B，求△AOB面积的最小值．

14．预计用1500元购买甲商品个，乙商品个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．

（1）求、的关系式；

（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求、的值．

参考答案

一、选择题

1．C2．B3．B4．A5．C

二、填空题

6．67．8．－2029．11610．－125

三、解答题

11．∵BE∥CD，CA∥DE，DB∥EA，EC∥AB，AD∥BC，

∴S△BCD＝S△CDE＝S△DEA＝S△EAB＝S△ACB＝S△ACF＝1．

设S△AEF＝，则S△DEF＝，

又△AEF的边AF与△DEF的边DF上的高相等，

所以，，而△DEF∽△ACF，则有

．

整理解得．

故SABCDE＝3S△ABC＋S△AEF＝．

12．原方程可化为，①

（1）当△＝0时，，满足条件；

（2）若是方程①的根，得，．此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；

（3）当方程①有异号实根时，，得，此时原方程也只有一个正实数根；

（4）当方程①有一个根为0时，，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根。

综上所述，满足条件的的取值范围是或或．

13．解：

设一次函数解析式为，则，得，令得，则OA＝．

令得，则OA＝．

所以，三角形AOB面积的最小值为12．

14．

（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为元和元，则原计划是

，①

由甲商品单价上涨1.5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得

．②

再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得

，③

由①、②、③得

④

⑤

④－⑤×2并化简，得

．

（2）依题意，有205＜＜210及，54＜＜，

由是整数，得，从而得．

答：

（1）、的关系；

（2）预计购买甲商品76个，乙商品55个．

2007年初中数学竞赛模拟试题

（2）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1．已知，，则＝（）

（A）4（B）0（C）2（D）－2

2．方程的实根的个数为（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

3．已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于O，△AOD的面积为4，

△BOC的面积为9，则梯形ABCD的面积为（）

（A）21（B）22（C）25（D）26

4．已知⊙O1与⊙O2是平面上相切的半径均为1的两个圆，则在这个平面上有（）个半径为3的圆与它们都相切．

（A）2（B）4（C）5（D）6

5．一个商人用元（是正整数）买来了台（为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则的最小值是（）

（A）11（B）13（C）17（D）19

二、填空题（每小题6分，共30分）

6．已知等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积为．

7．△ABC的三边长、、满足，，则△ABC的周长等于．

8．若表示不超过的最大整数，且满足方程，则＝　　　．

9．若直线与直线的交点坐标是（，），则的值是．

10．抛物线向左平移3个单位，再向上平移两个单位，得抛物线C，则C关于轴对称的抛物线解析式是．

三、解答题（每小题15分，共60分）

11．如图所示，在△ABC中，AC＝7，BC＝4，D为AB的中点，E为AC边上一点，且∠AED＝90°＋∠C，求CE的长．

12．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？

13．已知一个两位数，其十位与个位数字分别为、，二次函数的图象与轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且S△ABC≤1．

（1）求的取值范围；

（2）求出所有这样的两位数．

14．已知是正整数，且与都是完全平方数．是否存在，使得是质数？

如果存在，请求出所有的值；如果不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题

1．B2．A3．C4．D5．C

二、填空题

6．8cm2或32cm27．148．9．201010．

三、解答题

11．作BF∥DE交AC于F，作∠ACB的平分线交AB于G，交BF于H．

则∠AED＝∠AFB＝∠CHF＋∠C。

因为∠AED＝90°＋∠C，所以∠CHF＝90°＝∠CHB。

又∠FCH＝∠BCH，CH＝CH。

∴△FCH≌△BCH。

∴CF＝CB＝4，

∴AF＝AC－CF＝7－4＝3。

∵AD＝DB，BF∥DE，

∴AE＝EF＝1.5，

∴CE＝5.5．

12．设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆，则

∴，解得．

∵S为正整数，∴S＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车

辆．此时，6+=11.5（时）

答：

到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆．

13．

（1）设A（，0），B（，0），（），则、是方程

的两个不同的实根，所以

，，．

又（表示点C的纵坐标），所以

S△ABC＝，

从而，．

故0＜．

（2）由

（1）知，1，2，3，4．

因为被4除余数为0或1，故被4除余数也是0或1，从而1，或4．这两个方程中符合题意的整数解有

故所有两位数为23，65，34，86．

14．设，，其中，都是正整数，则

．

若，则不是质数．

若，则，于是

，矛盾．

综上所述，不存在正整数，使得是质数．

2007年初中数学竞赛模拟试题（3）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1.在一个凸边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为2160°的多边形，则的值为（）

（A）只能为12（B）只能为13（C）只能为14（D）以上都不对

2.已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（）

（A）＝0（B）≥0（C）＝－2（D）＞0或＝－2

3．若正实数、满足，则的最小值为（）

（A）－7（B）0（C）9（D）18

4．如图，在△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB，下列结论：

（1）DC·AB＝AC·BC；

（2）；（3）；（4）AC＋BC＞CD＋AB．

其中正确的个数是（）

（A）4（B）3（C）2（D）1

5．设是正整数，0＜≤1，在△ABC中，如果AB＝，BC＝，CA＝，BC边上的高AD＝，那么，这样的三角形共有（）

（A）10个（B）11个（C）12个（D）无穷多个

二、填空题（每小题6分，共30分）

6．实数、、满足：

，，则的值为．

7．如果对于任意两个实数、，“”为一种运算，定义为，则函数（－3≤≤3）的最大值与最小值的和为．

8．已知四个正数、、、满足＜＜＜，它们两两的和依从小到大的次序分别是：

23、26、29、93、、，则的值为．

9．已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO＝150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为．

10．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．则R的最小值是．

三、解答题（每小题15分，共60分）

11．实数与使得，，，四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（，）．

12．如图，△ABC的面积为S，作直线∥BC，分别交AB、AC与点D、E，若△BED的面积为K．求证：

K≤S．

13．如图，在直角坐标系内有两个点A（－1，－1），B（2，3），若M为x轴上一点，且使MB－MA最大，求M点的坐标，并说明理由．

14．在△ABC中，AB＝40，AC＝60，以A为圆心，AB长为半径作圆交BC与D，且D在BC边上，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长．

参考答案

一、选择题

1．D2．D3．D4．B5．C

一、填空题

6．07．378．1959．（1，），（－1，）10．或

二、解答题

11．显然，，所以．

依题意，有或，于是

（1）解得或．

当时，（舍去）；

当时，，无解；

当时，，∴，∴

（2）解得

故数对（，）为（，－1），（，－1）．

12．设，

∵∥BC，∴，

由，得

∴．

又．

∴．

13．作点A关于轴的对称点A＇，作直线BA＇交轴于点M，由对称性知MA＇＝MA，MB－MA＝MB－MA＇＝A＇B．

若N是轴上异于M的点，则NA＇＝NA，这时NB－NA＝NB－NA＇＜

A＇B＝MB－MA．

所以，点M就是使MB－MA的最大的点，MB－MA的最大值为A＇B．

设直线A＇B的解析式为，则

解得，．

即直线A＇B的解析式为，令，得．

故M点的坐标为（，0）．

14．设BD＝，CD＝，（，为正整数）

作AE⊥BD，垂足为E，则AB＝AD＝40，BE＝DE＝．

∵，，

∴，

∴，

∵20＜＜100，

∴只有或

故BC的长为50或80．

2007年初中数学竞赛模拟试题（4）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1