平行四边形角边的性质.docx

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平行四边形角边的性质

第六章　平行四边形

1　平行四边形的性质

第1课时　平行四边形边、角的性质

基础题

知识点1　平行四边形的概念及对称性

1．在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC∥AD，则四边形ABCD为平行四边形．

2．如图，在▱ABCD中，点A关于点O的对称点是点C．

知识点2　平行四边形边、角的性质

3．（2019·宝鸡期末）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至E.若∠A＝110°，则∠1＝70°．

4．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠1＝20°，则∠2的度数为110°．

5．（2018·黔东南）如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm.若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（D）

A．26cmB．24cmC．20cmD．18cm

6．（2019·商洛商南县二模）如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点．求证：

△ABE≌△CDF.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC.

∵点E，F分别是AD，BC的中点，

∴AE＝AD，CF＝BC.∴AE＝CF.

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（SAS）．

中档题

7．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，连接CE，则下列结论：

①BE＝CD；②BF＝DF；③S△BEF＝S△DCF；④BD∥CE，其中正确的有（D）

A．1个B．2个C．3个D．4个

8．（2019·梧州）如图，在▱ABCD中，∠ADC＝119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF＝61°．

9．（2019·福建）在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（4，2），则其第四个顶点的坐标是（1，2）．

综合题

10．【分类讨论思想】在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F.若AD＝11，EF＝5，则AB＝8或3．

提示：

由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC，易得AB＝BE＝CD＝CF，再分两种情况讨论．

11．（2019·陕西模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且∠B＝∠AEB.求证：

AC＝DE.

证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC.

∴∠DAE＝∠AEB.

∵∠AEB＝∠B，∴AB＝AE，∠B＝∠DAE.

在△ABC和△EAD中，

∴△ABC≌△EAD（SAS）．

∴AC＝DE.

第2课时　平行四边形对角线的性质

基础题

知识点　平行四边形的对角线互相平分

1．平行四边形的对角线一定具有的性质是（B）

A．相等B．互相平分

C．互相垂直D．互相垂直且相等

2．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为（B）

A．13B．17C．20D．26

3．如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.如果AC＝12，BD＝10，BC＝m，那么m的取值范围是（A）

A．1＜m＜11B．2＜m＜22

C．10＜m＜12D．2＜m＜6

4．（2019·商洛洛南县期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC.若AD＝5，AB＝3，则AO的长为（B）

A．3B．2C．4D．5

5．（2019·商洛商南县期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，已知▱ABCD的面积是20cm2，则图中阴影部分的面积是5__cm2．

6．如图，▱ABCD和▱EBFD的顶点A，C，E，F在同一条直线上，求证：

AE＝CF.

证明：

连接BD，交EF于点O.

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA＝OC.

∵四边形EBFD为平行四边形，

∴OE＝OF.

∴OE－OA＝OF－OC，即AE＝CF.

7．（2019·商洛洛南县期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝CF.求证：

BE＝DF.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO＝DO，AO＝CO.

∵AE＝CF，

∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO.

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（SAS）．

∴BE＝DF.

易错点　考虑不全面致错

8．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，则图中全等三角形共有（A）

A．7对B．6对C．5对D．4对

中档题

9．【整体思想】如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线的和是（C）

A．18B．28C．36D．46

10．（2019·遂宁）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE.若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（D）

A．28B．24C．21D．14

11．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（C）

A．14B．13C．12D．10

12．（2019·西安碑林区校级模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB，MC为邻边作▱MCNB，连接MN，则MN的最小值为．

13．（2019·宝鸡期末）如图，已知在▱ABCD中，对角线BD⊥AB，∠DAB＝30°，DE平分∠ADC交AB的延长线于点E，连接DE.

（1）求证：

AD＝AE；

（2）设AD＝12，连接AC交BD于点O，画出图形，并求AC的长．

解：

（1）证明：

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB.

∴∠CDE＝∠AED.

∴∠ADE＝∠AED.

∴AD＝AE.

（2）画图如图所示．

∵∠DAB＝30°，AD＝12，

∴BD＝6.

∴AB＝＝6.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DO＝BO，AO＝CO.

∴BO＝3.

∴AO＝＝3.

∴AC＝6.

14．（2018·福建改编）如图1，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.

（1）求证：

OE＝OF；

（2）如图2，若过点O的直线与BA，DC的延长线分别交于点E，F，能得到

（1）中的结论吗？

由此你能得到什么样的一般性的结论？

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，OA＝OC.

∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.

∴△AEO≌△CFO（AAS）．

∴OE＝OF.

（2）能得到

（1）中的结论．证明如下：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，OA＝OC.

∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.

∴△AEO≌△CFO（AAS）．

∴OE＝OF.

一般性的结论是：

过平行四边形对角线的交点O作一条直线与平行四边形的一组对边或其延长线相交于E，F两点，则OE＝OF.

综合题

15．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内．若点B的落点记为B′，则DB′的长为．

16．（2018·陕西）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是AB边上的点，且EF＝AB；G，H是BC边上的点，且GH＝BC.若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是＝．

小专题14　平行四边形中的折叠问题

——教材P160复习题T21的变式与应用

（教材母题变式）如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E.求证：

△AEC是等腰三角形．

证明：

由折叠的性质，知∠ACB＝∠B′CA.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC.

∴∠EAC＝∠ACB.

∴∠EAC＝∠ECA.

∴EA＝EC.

∴△AEC是等腰三角形．

拓展问题1：

求证：

△AB′E≌△CDE.

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠CDE，AB＝CD.

由折叠的性质，知∠AB′E＝∠B，AB′＝AB.

∴∠AB′E＝∠CDE，AB′＝CD.

又∵∠AEB′＝∠CED，

∴△AB′E≌△CDE（AAS）．

拓展问题2：

连接B′D，则B′D与AC是否平行？

说明理由．

解：

B′D∥AC.理由如下：

∵△AB′E≌△CDE，

∴B′E＝DE.

∴∠EB′D＝∠EDB′.

又∵∠CED是△B′ED的一个外角，

∴∠CED＝∠EB′D＋∠EDB′＝2∠EDB′.

又∵∠CED是△AEC的一个外角，且∠EAC＝∠ECA，

∴∠CED＝∠EAC＋∠ECA＝2∠EAC.

∴∠EAC＝∠EDB′.

∴B′D∥AC.

拓展问题3：

若△CDE是等边三角形，BC＝6，求阴影部分的面积．

解：

∵△CDE是等边三角形，

∴ED＝DC＝CE，∠ADC＝∠CED＝60°.

∴∠EAC＝∠ECA＝∠CED＝30°，

AE＝EC＝ED＝DC＝AD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝6.

∴CD＝BC＝3.

∵∠ACD＝180°－∠DAC－∠ADC＝90°，

∴AC＝＝3.

∴S阴影＝S△ACD＝×AC·CD＝.

1．如图，在▱ABCD中，将△ABD沿BD折叠，点A落在点E处．若∠ABD＝40°，∠CBE＝15°，则∠BDE的度数为25°．

2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，EF＝2，∠DEF＝60°.将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为6．

3．如图，在▱ABCD中，点P为BD上一点，将△PAD沿AP折叠，点D恰好落在点C处，连接AC.若∠PAD＝20°，∠ADP＝25°，则∠BDC的度数为45°．

4．如图，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．求证：

（1）AE＝AF；

（2）△ABE≌△AGF.

证明：

（1）由折叠的性质可得∠CEF＝∠AEF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC.

∴∠CEF＝∠EFA.

∴∠AEF＝∠EFA.

∴AE＝AF.

（2）由折叠的性质，得AG＝CD，∠EAG＝∠C，∠G＝∠D.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠C.

∴AB＝AG，∠B＝∠G，∠BAD＝∠EAG.

∴∠BAD－∠EAF＝∠EAG－∠EAF，即∠BAE＝∠GAF.

∴△ABE≌△AGF（ASA）．

2　平行四边形的判定

第1课时　平行四边形的判定定理1、2

知识点1　两组对边分别相等的四边形是平行四边形

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为（C）

A．110°B．80°C．70°QD．90°

2．用两根长40cm的木条作为四边形的一组对边，再用两根长30cm的木条作为四边形的另一组对边，拼成一个四边形，这个四边形是平行四边形，其根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

3．（2019·湘潭）如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添