相交线与平行线全章知识点归纳及典型题目练习.docx

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相交线与平行线全章知识点归纳及典型题目练习

15相交线与平行线知识点梳理汇总

一、知识结构图

余角

余角补角

补

角

　　角两线相交对顶角

同位角

三线八角内错角

同旁内角

平行线的判定

　平行线

平行线的性质

　尺规作图

二、基本知识提炼整理

（一）余角与补角

1

、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角

的和是平角，那么称这两个角互为

补角，简称为互补，称其中一

个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。

4、余角和补角的性质：

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：

（1）

则

（同角的余角或补角相等）。

（2）

且

则

（等角的余角（或补角）相等）。

6、余角和补角的性质是证明

两角相等的一个重要方法。

（二）对顶角

1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

3、对顶角的性质：

对顶角相等。

4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两

个角相等的依据及重要桥梁。

5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

（三）同位角、内错角、同旁内角

1、两条直线被第三条直线所

截，形成了8个角。

2、同位角：

两个角都在两条直线的同侧，并且

在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3、内错角：

两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角

：

两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。

（四）六类角

1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角

、同旁内角六类角都是对两角来说的。

2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。

3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。

4、对顶角既有

数量关系，又有位置关系。

（五）平行线的判定与性质

平行线的判定

平行线的性质

1、同位角相等，两直线平行

2、内错角相等，两直线平行

3、同旁内角互补，两直线平行

4、平行于同一条直线的两直线平行

5、垂直于同一条直线的两直线平行

1、两直线平行，同位角相等

2、两直线平行，内错角相等

3、两直线平行，同旁内角互补

4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

（六）尺规作线段和角（了解）

1、在几何里，只用没有刻度的直

尺和圆规作图称为尺规作图。

2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

3、尺规作图中直尺的功能是：

（1）在两点间连接一条线段；

（2）将线段向两方延长。

4、尺规作图中圆规的功能是：

（1）以任意一点为圆心，任

意长为半

径作一个圆；

（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；

5、熟练掌握以下

作图语言：

（1）作射线××；

（2）在射线上截取××=××；

（3）在射线××上依次截取××=××=××；

（4）以点×为圆

心，××为半径画弧，交××于点×；

（5）分别以

点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；

（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；

（7）在∠×××的外部（或内部

）画∠×××=∠×××；

6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

（1）画线段××=××；

（2

）画∠×××=∠×××；

第五章相交线与平行线（分节知识点）

5.1.1相交线（详见课本第2页）

1、相交线的概念：

在同一平面内，如果两条直线只有一个点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。

如图所示，直线与直线相交于点O。

图2

2、对顶角的概念：

若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的延长线，那么这两个角叫做对顶角。

如图所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。

3、对顶角的性质：

对顶角。

4、邻补角的概念：

如果把一个角的一边延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。

如图所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。

5.1.2垂线（详见课本第3页）

1、垂线的概念：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是角时，就说这两条直线互相，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做。

2、垂线的性质

（1）（垂线公理）性质1：

在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有条直线与已知直线。

（2）（垂线推理）性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

即垂线段最。

3、点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的线段的长度，叫做点到直线的。

4、垂线的画法（工具：

三角板或量角器）

画法指点：

⑴一靠：

用三角尺一条直角边靠在已知直线上，

⑵二移：

移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，

⑶三画：

沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

5.1.3同位角、内错角、同旁内角（详见课本第6页）

1、三线八角

　两条直线被第条直线所截形成个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

如图6，直线

被直线

所截

　①∠1与∠5在截线

的同侧，同在被截直线

的上方，叫做角（位置相同）同位角是“F”型

　②∠5与∠3在截线

的两旁（交错），在被截直线

之间（内），

叫做角（位置在内且交错）内错角是“Z”型

6

B

A

D

2

3

4

5

7

8

9

F

E

C

　③∠5与∠4在截线

的同侧，在被截直线

之间（内），

叫做角。

同旁内角是“I”型

2、如何判别三线八角

　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，

有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，

有时又需要把图形补全。

如图

温馨提示：

在确定同位角、内错角、同旁内角时，先要弄清哪

两条直线被哪一条直线所截，然后依据它们的定义，也可由它们的名字的提示，准确找到所需要的角。

同学们要注意：

并不是同位角、内错角就相等，同旁内角就互补，而只有当这两条直线平行时，才会有这个性质。

5.2.1平行线（详见课本第11页）

1、平行线的概念：

在同一平面内，不的两条直线叫做平行线。

2、两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

⑴；⑵。

（通常把的两直线看成一条直线）.垂直是特殊的相交关系。

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

3、平行线的表示方法

平行用“”表示，如图8所示，直线与直线平行，记作∥，

读作平行于。

4、平行线的画法：

5、平行线的基本性质

图8

（1）平行公理：

经过直线一点，有且只有条直线与已知直线。

（2）平行推理：

如果两条直线都和第条直线平行，那么这两条直线也。

如左图8所示

A

B

C

D

E

F

1

2

3

4

5.2.2平行线的判定（详见课本第12页）

1、平行线的判定方法：

（1）判定1：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，

那么这两条直线平行。

简称：

同位角，两直线

（2）判定2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，

那么这两条直线平行。

简称：

内错角，两直线

（3）判定3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，

那么这两条直线平行。

简称：

同旁内角，两直线

（4）平行线的概念：

如果两条直线没有交点（不），那么两直线平行。

（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线。

（平行于同一条直线的两条直线也）

（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线。

（垂直于同一条直线的两条直线）

5.3.1平行线的性质（详见课本第18页）

1、平行线的性质：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简记：

两直线，同位角。

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简记：

两直线，内错角。

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简记：

两直线，同旁内角。

2、两条平行线的距离

　直线∥，⊥于E，⊥于F，则称线段的长度为两平行线与间的距离。

3．平行线的性质与判定是互逆的关系:

两直线平行　同位角相等；两直线平行　　　内错角相等；两直线平行　同旁内角互补。

5.3.2命题、定理（详见课本第20页）

1、命题的概念：

一件事情的语句，叫做命题。

2、命题的组成：

每个命题都是、两部分组成。

（1）题设是事项；

（2）结论是由已知事项的事项。

3、命题的表述句式：

命题常写成“……，……”的形式。

具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是，用“那么”开始的部分是。

4.命题的真假：

正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题。

5.定理：

经过推理得到的真命题称为定理。

5.4平移（详见课本第28页）

1、平移变换的概念：

把一个图形沿某一方向移动，会得到一个新图形的平移变换。

2、平移的特征：

①大小：

；②形状：

；③位置：

；④对应点的连线：

且。

（1）经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。

图7

（2）经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

A

D

B

E

C

F

3.平移作图：

平移作图的依据是平移的特征，其关键是确定平移后对应点的位置，并且在作图时要注意平移的方向和距离．

【考点例析】

一、概念型考题

主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理，常以选择题为主要题型

例1．如图1，下列条件中，不能判断直线

∥

的是（）

2

1

3

4

5

图1

（A）∠1=∠3（B）∠2=∠3（C）∠4=∠5

（D）∠2+∠4=1800

分析：

本例可用平行线的判定方法采用排除法

使问题得以解决．

A中∠1与∠3为内错角，∠1=∠3可得

∥

；

C中∠4与∠5是两个相等的同位角，可得

∥

；

D中∠2与∠4是两个互补的同旁内角，可得

∥

只有B不能确定．

答案：

应选（B）．

点评：

本题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理的理解与运用情况．

二、计算型考题

主要考察平行线的性质；互余、互补角的性质，常以填空题为主要题型；

例2．如图2,

，

分别在

上，

为两平行线间一点，那么

（）

a

b

M

P

N

1

2

3

图2

A．

B．

C．

D．

分析：

此题考查平行线的性质.点P为两平行线间折线的拐点，可过此点作a或b的平行线，并证明与b或a平行，从而可利用平行线的性质求解.此题也可延长与直线b相交，从而可利用三角形的外角的性质及平行线的性质求解.此类题的解题思路是添加辅助线，构造两平行线间的截线，或构造三角形，再利用有关图形的性质证明求解.

解：

过点P作∥a，则

180°＋180°=360°，所以选择C。

点评：

本题虽然是选择题型，它重点考查学生运用平行线的性质、互余、互补角的性质等知识通过简单的推理计算来解决问题的．

三、说理型考题

E

B

A

C

D

F

1

图3

例3．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图3，所示的零件，工人师傅告诉他：

∥，∠40°，∠1=70°，小明马上运用已学的数学知识得出了∠C的度数，聪明的你一定知道∠．

分析：

本题源于生活实际问题，但考生可借助平行线的性质定理和

三角形内角和定理，由此可获得两种解题思路．

解：

方法1：

连结，由∥，得∠∠180°，

从而∠180°-40°-（180°-70°）=30°

方法2：

过E作∥，由平行线的性质定理，得∠∠，∠∠，从而∠∠1-∠70°-40°=30°．

点评：

本题主要运用了平行线的性质定理和三角形内角和定理，借助于添加辅助线的方法，将问题转化为可解问题，今后同学们经常会遇到这种带有“折线”、“拐角”类的题目，解决这类问题，必须要掌握“平移”与“分割”的思想，解决问题的办法有二：

一要连结线段，构成三角形，然后运用三角形内角和定理；二是过“拐点”作平行线将一个角分成两个角，然后再运用平行线的性质定理，问题便自然得到解决，但解本题时，还要注意找准“内错角”，否则容易出错！

四、操作画图型

例4．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后（如图4），行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）

A.第一次向左拐300，第二次向右拐300B.第一次向右拐500，第二次向左拐1300

C.第一次向右拐500，第二次向右拐1300D.第一次向左拐500，第二次向左拐1300

B

A

300

300

1300

500

D

500

1300

C

1300

500

图4

分析：

解决本题的关键是准确地画出示意图，如图10：

答案：

应选A.

点评：

本题单纯从文字方面去分析，很难判断出结果，若画出上述图形来分析，结果

是显然的，本题属于操作画图型中考题．

五、开放创新型

主要考察学生的探究能力，常以解答题为主要题型．

例5．如图5，E在直线上，B在直线上，若∠∠，∠∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．

分析：

从图中可以猜测∠∠F，但题目没有告诉∥，所以需要根据已知条件说明∥．

A

B

C

D

E

F

G

H

图5

解：

∠∠F．理由：

因为∠∠，∠∠，

所以∠∠，所以∥，

所以∠∠，又∠∠D，

所以∠∠，所以∥，所以∠∠F．

的

点评：

例5主要对学生的分析、探究、综合、发散等创新思维能力的考查，学生必须具有一定的归纳、探索及思考能力才能顺利解决问题．

相交线与平行线练习题

1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为.

2.两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为.对顶角的性质：

.

3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互.垂线的性质：

⑴过一点一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，.

4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做.

5.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，

⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做；

⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做；

⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做.

6.在同一平面内，不相交的两条直线互相.同一平面内的两条直线的位置关系只有与两种.

7.平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线.

★推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么.

8.平行线的判定：

★⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：

.

★⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：

.

★⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：

.

9.★在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线.

10.平行线的性质：

⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：

　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：

.

⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：

.

11.判断一件事情的语句，叫做.命题由和两部分组成.题设是已知事项，结论是.命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是＿＿＿＿＿，“那么”后接的部分是.如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做.定理都是真命题.

12.把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称.图形平移的方向不一定是水平的.

平移的性质：

⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全.

⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段.

13、下列语句中，是对顶角的语句为（）

A.有公共顶点并且相等的两个角B.两条直线相交，有公共顶点的两个角C.顶点相对的两个角D.两条直线相交，有公共顶点没有公共边的两个角

14、下列说法正确的是（）

A.两点之间，直线最短；

B.过一点有一条直线平行于已知直线；

C.和已知直线垂直的直线有且只有一条；

D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.

15、一束光线垂直照射在水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（）

A.45º，B.60º，C.75º，D.80º

16．如图5，能表示点到直线（或线段）距离的线段有（）

A．2条B．3条C．4条D．5条

17.如图，

图5

那么点A到的距离是，点B到的距离是，

点A、B两点的距离是，点C到的距离是．

18.如图，已知、、相交于点O，⊥，

平分∠，∠＝28°，

求∠、∠、∠的度数．

19.如图，

与

是邻补角，、分别是

与

的平分线，试判断与的位置关系，并说明理由．

20、如图，下列说法错误的是（）

A.∠1和∠3是同位角B.∠1和∠5是同位角

C.∠1和∠2是同旁内角D.∠5和∠6是内错角

21、下列图中∠1和∠2是同位角的是（）

A.⑴、⑵、⑶，B.⑵、⑶、⑷，C.⑶、⑷、⑸，D.⑴、⑵、⑸

21、如图，已知∥∥，∥，平分∠，

那么图中与∠相等的角有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

22、如图，已知∠1=∠B，∠2=∠C，

则下列结论不成立的是（）

∥B.∠∠C

C.∠2+∠180°∥

23、下列命题正确的是（）

A.内错角相等

B.相等的角是对顶角

C.三条直线相交，必产生同位角、内错角、同旁内角

D.同位角相等，两直线平行

20、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线（）

A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.无法确定

6、如图⑨，∥∥，且∥，那么图

中和∠1相等的角的个数是（）

A.2，B.4，C.5，D.6

7、如图④，∥，∠=120º，∠=30º，

则∠=度.

8、把一张长方形纸条按图⑤中，

那样折叠后，若得到∠′=70º，

则∠=.

9、如图⑥中∠和∠B是直线和被直线所截而成的，

称它们为角.

17.设

、b、c为平面上三条不同直线，

a）若

，则a与c的位置关系是；

b）若

，则a与c的位置关系是；

若

，

，则a与c的位置关系是．

18.如图7，下列不能判定∥的条件是（）

（A）∠∠180°（B）∠∠C（C）∠∠C（D）∠∠D

19.如图8，下列各式是正确的是（）

（A）∠1与∠4是同位角（B）∠1与∠3是同位角

（C）∠2与∠4是同位角（D）∠2与∠3是同位角

2

1

3

4

图8

B

A

C

D

E

F

图7

20.如图9所示，直线a∥b，则∠度．

21.如图10，∥，直线分别交、于点E、F，平分∠交于点G，∠1=50°，求∠2的度数．

22．如图11，直线a∥b，则∠　.

23★如图，∥，试问∠B、∠E、∠有什么关系．

解：

∠B＋∠E＝∠

过点C作∥，

则

（）

又∵∥，∥，

∴（）

∴∠E＝∠（　　　　　　　　　　　　　　　）

∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2

即∠B＋∠E＝∠．

24．⑴如图，已知∠1＝∠2　求证：

a∥b．

⑵直线

，求证：

．

25.★阅读理解并在括号内填注理由：

如图，已知∥，∠1＝∠2，试说明∥．

　证明：

∵∥，

　　　∴∠＝∠（　　　　　　　　　　　）

　　　又∵∠1＝∠2，

　　　∴∠－∠1＝∠－∠2，

　　即　∠＝∠

∴∥．（　　　　　　　　　　　　　　　）

26★已知∥∥，A是上一点，∠＝60°，∠＝36°，平分∠，求：

⑴∠的大小；⑵∠的大小.

27★如图，已知

，

于D，

为

上一点，

于F，

交于G.求证

.

28.已知：

如图∠1=∠2，∠∠D，问∠A与∠F相等吗？

试说明理由．

29．如图4，已知∥，∠B＝∠．

求证：

平分∠．

30．如图5，已知：

∠＝∠，平分∠，平分∠，且∠＝∠．求证：

∥．

31．如图10，已知⊥，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3．

求证：

∥．

32．如图11，已知∥，∠＝150°，∠＝60°．

求证：

⊥．

33．已知：

如图12，⊥于D，⊥于F，交于G，交延长线于E，∠1＝∠2．

求证：

平分∠，填写分析和证明中的空白．

34．如图9，已知∠+∠=180°，∠1=∠2，求证：

∠F=∠G．

图9

1

2

A

C

B

F

G

E

D

35.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A是120°，第二次拐的角B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问∠C是多少度？

说明你的理由．

36.

（1）如图，若∥，∠135°，∠145°，你能求出∠C的度数吗？

（2）在∥的条件下，你能得出∠B、∠C、∠D之间的数量关系吗？

并说明理由．

37．如图13，∥，∠90，∠35°，平分∠，求∠B的大小.

图13

　　　　　　　　　　ＡＢＡＢ　

ＰＰ

CDCD

20.

（1）题↑20.

（2）↑

38.已知：

，

（1）试探索

（1）图中∠，∠，∠的关系，并证明你的结论。

（2）在图

（2）中，这个结论还成立吗？

如果不成立，它们应该满足怎样的关系？

（不用证明）

39．

（1）作直线与相交；

（2）在直线上取一点C；（3）相交的角是对顶角；（4）偶数是2.在以上各语句中，是命题的为（）

A．

（1）（3）B．（3）（4）C．

（1）（3）（4）D．

（1）

（2）（3）

40.命题：

①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；

④同位