相交线与平行线全章知识点归纳及典型题目练习.docx

1、相交线与平行线全章知识点归纳及典型题目练习15相交线与平行线知识点梳理汇总一、知识结构图 余角 余角补角 补角 角 两线相交 对顶角 同位角 三线八角 内错角 同旁内角 平行线的判定 平行线 平行线的性质 尺规作图二、基本知识提炼整理（一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。5、余角和补角的

2、性质用数学语言可表示为：（1）则(同角的余角或补角相等)。（2）且则(等角的余角（或补角）相等)。6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。（二）对顶角1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等。4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。（三）同位角、内错角、同旁内角1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截

3、线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。（四）六类角1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。（五）平行线的判定与性质平行线的判定平行线的性质1、 同位角相等，两直

4、线平行2、 内错角相等，两直线平行3、 同旁内角互补，两直线平行4、 平行于同一条直线的两直线平行5、 垂直于同一条直线的两直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相等3、两直线平行，同旁内角互补4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（六）尺规作线段和角(了解)1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。3、尺规作图中直尺的功能是：（1）在两点间连接一条线段；（2）将线段向两方延长。4、尺规作图中圆规的功能是：（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧

5、；5、熟练掌握以下作图语言：（1）作射线；（2）在射线上截取=；（3）在射线上依次截取=；（4）以点为圆心，为半径画弧，交于点；（5）分别以点、点为圆心，以、为半径作弧，两弧相交于点；（6）过点和点画直线（或画射线）；（7）在的外部（或内部）画=；6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。（1）画线段=；（2）画=；第五章 相交线与平行线 (分节知识点) 5.1.1相交线（详见课本第 2 页）1、相交线的概念：在同一平面内，如果两条直线只有一个 点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点。如图所示，直线与直线相交于点O。图22、对

6、顶角的概念：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的 延长线，那么这两个角叫做对顶角。如图所示，1与3、2与4都是对顶角。3、对顶角的性质：对顶角 。4、邻补角的概念：如果把一个角的一边 延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角。如图所示，1与2互为邻补角，由平角定义可知12180。 5.1.2垂线（详见课本第 3 页）1、垂线的概念：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 角时，就说这两条直线互相 ，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。 2、垂线的性质（1）（垂线公理）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有 条直线与已知直线垂

7、直，即过一点有且只有 条直线与已知直线 。（2）（垂线推理）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最 。3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 线段的长度，叫做点到直线的 。4、 垂线的画法（工具：三角板或量角器）画法指点：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。 5.1.3同位角、内错角、同旁内角（详见课本第 6 页）1、三线八角两条直线被第 条直线所截形成 个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如图6，直线被直线所截1与5在截线的同侧，同在被截直线的上

8、方，叫做 角（位置相同）同位角是“F”型5与3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做 角（位置在内且交错）内错角是“Z”型6BAD2345789FEC5与4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做 角。同旁内角是“I”型 2、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。如图温馨提示：在确定同位角、内错角、同旁内角时，先要弄清哪两条直线被哪一条直线所截，然后依据它们的定义，也可由它们的名字的提示，准确找到所需要的角。同学们要注意：并不是同位角、内错角就相等，同旁内角就互补，而只有

9、当这两条直线平行时，才会有这个性质。5.2.1平行线（详见课本第11 页）1、 平行线的概念：在同一平面内，不 的两条直线叫做平行线。2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种： ； 。（通常把 的两直线看成一条直线）.垂直是特殊的相交关系。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：3、平行线的表示方法平行用“ ”表示，如图8所示，直线与直线平行，记作，读作 平行于。4、平行线的画法：5、平行线的基本性质图8（1）平行公理：经过直线 一点，有且只有 条直线与已知直线 。 （2）平行推理：如果两条直线都和第 条直线平行，那么这两条直线也 。如左图8所

10、示ABCDEF12345.2.2平行线的判定（详见课本第 12 页）1、平行线的判定方法：（1）判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称： 同位角 ，两直线 （2）判定2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称： 内错角 ，两直线 （3）判定3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称： 同旁内角 ，两直线 （4）平行线的概念：如果两条直线没有交点（不 ），那么两直线平行。（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 。（平行于同一条直线的两条直线也 ）（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条

11、直线，那么这两条直线 。（垂直于同一条直线的两条直线 ）5.3.1平行线的性质（详见课本第 18 页）1、平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线 ，同位角 。（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线 ，内错角 。（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线 ，同旁内角 。2、两条平行线的距离直线，于E，于F，则称线段的长度为两平行线与间的距离。3平行线的性质与判定是互逆的关系:两直线平行 同位角相等； 两直线平行内错角相等； 两直线平行 同旁内角互补。5.3.2命题、定理（详见课本第 20 页）1、命题的概念： 一件事情的语句

12、，叫做命题。2、命题的组成：每个命题都是 、 两部分组成。 （1）题设是 事项； （2）结论是由已知事项 的事项。3、命题的表述句式：命题常写成“ ， ”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是 ，用“那么”开始的部分是 。4. 命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题。5. 定理：经过推理得到的真命题称为定理。 5.4平移（详见课本第 28 页）1、平移变换的概念：把一个图形 沿某一 方向移动，会得到一个新图形的平移变换。2、平移的特征：大小： ； 形状： ； 位置： ； 对应点的连线： 且 。（1）经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相

13、等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。图7（2）经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。ADBECF3.平移作图：平移作图的依据是平移的特征，其关键是确定平移后对应点的位置，并且在作图时要注意平移的方向和距离【考点例析】一、概念型考题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理，常以选择题为主要题型例1如图1，下列条件中，不能判断直线的是（ ）21345图1（A）1=3（B）2=3（C）4=5（D）2+4=1800分析：本例可用平行线的判定方法采用排除法使问题得以解决A中1与3为内错角，1=3可得；C中4与5是两个相等的同位角，可得；D中2与4是两个互补的同旁内角，可得

14、只有B不能确定答案：应选（B）点评：本题主要考察相交线和平行线的定义、性质、定理的理解与运用情况二、计算型考题主要考察平行线的性质；互余、互补角的性质，常以填空题为主要题型；例2如图2,，分别在上，为两平行线间一点，那么（ ）abMPN123图2A B C D分析：此题考查平行线的性质. 点P为两平行线间折线的拐点，可过此点作a或b的平行线，并证明与b或a平行，从而可利用平行线的性质求解. 此题也可延长与直线b相交，从而可利用三角形的外角的性质及平行线的性质求解.此类题的解题思路是添加辅助线，构造两平行线间的截线，或构造三角形，再利用有关图形的性质证明求解.解：过点P作a，则180180=36

15、0，所以选择 C。点评：本题虽然是选择题型，它重点考查学生运用平行线的性质、互余、互补角的性质等知识通过简单的推理计算来解决问题的三、说理型考题EBACDF1图3例3小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图3，所示的零件，工人师傅告诉他：，40，1=70，小明马上运用已学的数学知识得出了C的度数，聪明的你一定知道 分析：本题源于生活实际问题，但考生可借助平行线的性质定理和三角形内角和定理，由此可获得两种解题思路解：方法1：连结，由，得180，从而180-40-（180-70）=30方法2：过E作，由平行线的性质定理，得，从而1-70-40=30点评：本题主要运用了平行线的性质

16、定理和三角形内角和定理，借助于添加辅助线的方法，将问题转化为可解问题，今后同学们经常会遇到这种带有“折线”、“拐角”类的题目，解决这类问题，必须要掌握“平移”与“分割”的思想，解决问题的办法有二：一要连结线段，构成三角形，然后运用三角形内角和定理；二是过“拐点”作平行线将一个角分成两个角，然后再运用平行线的性质定理，问题便自然得到解决，但解本题时，还要注意找准“内错角”，否则容易出错！四、操作画图型例4一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后(如图4)，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）A. 第一次向左拐300，第二次向右拐300 B. 第一次向右拐500，第二次向左拐13

17、00C. 第一次向右拐500，第二次向右拐1300 D. 第一次向左拐500，第二次向左拐1300BA3003001300500D5001300C1300500图4分析：解决本题的关键是准确地画出示意图，如图10：答案：应选A.点评：本题单纯从文字方面去分析，很难判断出结果，若画出上述图形来分析，结果是显然的，本题属于操作画图型中考题五、开放创新型主要考察学生的探究能力，常以解答题为主要题型例5如图5，E在直线上，B在直线上，若，D，试判断A与F的关系，并说明理由分析：从图中可以猜测F，但题目没有告诉，所以需要根据已知条件说明ABCDEFGH图5解：F理由：因为，所以，所以，所以，又D，所以，

18、所以，所以F的点评：例5主要对学生的分析、探究、综合、发散等创新思维能力的考查，学生必须具有一定的归纳、探索及思考能力才能顺利解决问题相交线与平行线练习题1. 两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为.2. 两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为.对顶角的性质： .3. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互.垂线的性质：过一点一条直线与已知直线垂直.连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，

19、叫做.5. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做 ；如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做 ；如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做.6. 在同一平面内，不相交的两条直线互相.同一平面内的两条直线的位置关系只有与两种.7. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么.8. 平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单

20、说成：.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：. 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：.9. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线 .10. 平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成： . 11. 判断一件事情的语句，叫做.命题由和两部分组成.题设是已知事项，结论是.命题常可以写成“如果那么”的形式，这时“如果”后接的部分是，“那么”后接的部分是.如果题设成立，那么结

21、论一定成立.像这样的命题叫做.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做.定理都是真命题.12. 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，图形的这种移动，叫做平移变换，简称. 图形平移的方向不一定是水平的.平移的性质：把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点. 连接各组对应点的线段.13、下列语句中，是对顶角的语句为( )A.有公共顶点并且相等的两个角 B.两条直线相交，有公共顶点的两个角C.顶点相对的两个角 D.两条直线相交，有公共顶点没有公共边的两个角14、下列说法正确的是（ ）A.两

22、点之间，直线最短； B.过一点有一条直线平行于已知直线； C.和已知直线垂直的直线有且只有一条； D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.15、一束光线垂直照射在水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（ ）A. 45， B. 60， C. 75， D. 8016如图5，能表示点到直线（或线段）距离的线段有（ ）A2条 B3条 C4条 D5条17.如图，图5那么点A到的距离是，点B到的距离是，点A、B两点的距离是，点C到的距离是18.如图，已知、相交于点O，平分，28，求、的度数19.如图，与是邻补角，、分别是与的平分线，

23、试判断与的位置关系，并说明理由20、如图，下列说法错误的是( )A.1和3是同位角 B.1和5是同位角C.1和2是同旁内角 D.5和6是内错角21、下列图中1和2是同位角的是（ ）A. 、， B. 、， C. 、， D. 、21、如图，已知，平分，那么图中与相等的角有( )A.5个 B.4个 C.3个 D.2个22、如图，已知1=B，2=C，则下列结论不成立的是( ) B.C C.2+180 23、下列命题正确的是( ) A.内错角相等 B.相等的角是对顶角 C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角 D.同位角相等，两直线平行 20、两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线( )

24、 A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.无法确定 6、如图，且，那么图中和1相等的角的个数是（ ）A. 2， B. 4， C. 5， D. 67、如图， = 120， = 30，则 = 度.8、把一张长方形纸条按图中，那样折叠后，若得到= 70，则 = .9、如图中和B是直线和被直线 所截而成的，称它们为 角.17.设、b、c为平面上三条不同直线，a) 若，则a与c的位置关系是；b) 若，则a与c的位置关系是；若，则a与c的位置关系是18.如图7，下列不能判定的条件是（ ）（A）180（B）C（C）C（D）D19. 如图8，下列各式是正确的是（ ）（A）1与4是同位角 （B）1与3是同

25、位角（C）2与4是同位角 （D）2与3是同位角2134图8BACDEF图720. 如图9所示，直线ab，则 度21. 如图10，直线分别交、于点E、F，平分交于点G，1=50，求2的度数22如图11，直线ab，则.23如图，试问B、E、有什么关系解：BE过点C作，则（ ）又，（ ）E（）BE12即BE24如图，已知12求证：ab直线，求证：25.阅读理解并在括号内填注理由：如图，已知，12，试说明证明：，（）又12，12，即 （）26已知，A是上一点，60，36，平分，求：的大小；的大小.27如图，已知，于D，为上一点，于F，交于G.求证.28.已知：如图1=2，D，问A与F相等吗？试说明理由

26、29如图4，已知，B求证：平分30如图5，已知：，平分，平分，且求证：31如图10，已知，1290，23求证：32如图11，已知，150，60求证：33已知：如图12，于D，于F，交于G，交延长线于E，12求证：平分，填写分析和证明中的空白34如图9，已知 + = 180，1 =2，求证：F =G图912ACBFGED 35.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角A是120，第二次拐的角B是150，第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，问C是多少度？说明你的理由36.（1）如图，若，135，145，你能求出C的度数吗？（2）在的条件下，你能得出B、C、D之间的数量关系吗？并说明理由37如图13，90，35，平分，求B的大小.图13 C D C D 20.（1）题 20.（2）38.已知：，（1）试探索（1）图中，的关系，并证明你的结论。（2）在图（2）中，这个结论还成立吗？如果不成立，它们应该满足怎样的关系？（不用证明）39（1）作直线与相交；（2）在直线上取一点C；（3）相交的角是对顶角；（4）偶数是2. 在以上各语句中，是命题的为（ ）A（1）（3） B（3）（4） C（1）（3）（4） D（1）（2）（3）40. 命题：对顶角相等；垂直于同一条直线的两直线平行；相等的角是对顶角；同位