新余学院第三大学生数学建模竞赛.docx
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新余学院第三大学生数学建模竞赛
2012年新余学院第三届大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了新余学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果设置报名号的话）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
日期：
年月日
评阅编号（评阅老师填写）：
2012年新余学院第三届数学建模竞赛
评阅专用页
评阅编号
阅卷人
（签名）
摘要
20分
假设的合理性
10分
算法的正确性
10分
创新性
20分
语言文字表述清晰、流畅
20分
论文的整体美观度
10分
论文的完整性
10分
总分
总平均分
组长签名：
年月日
招投标中的报价问题
一、问题的背景与重述
1.1背景资料与说明
博弈论是研究在利益相互影响的局势中,理性的局中人为了最大化自
己的利益如何选择各自的策略以及这种策略的均衡问题,即研究当一个局
中人的选择受到其他局中人的影响,而且反过来又影响到其他局中人的选
择时的决策问题和均衡问题.
1.2问题简述
施工招标是招投标双方依法进行的经济活动，对于招标企业来说，主要是为了在满足质量安全和工期的情况下，实现低价发包的，从而达到降低工程成本目的。
对于投标企业来说则更希望能够高价中标，以实现工程施工利润的最大化。
通过公平竞争确定中标人，能充分发挥价格杠杆作用和竞争机制，降低工程投资。
但在现实中投标企业则不希望这样做，因为竞争使标价降低，即使幸运中标，价格也比较低，赚不到理想的利润，因此施工企业为了获得更高的利润，常常采用串通投标的方式承揽工程。
在整个串通投标与反串通投标的过程中是建筑行业内的博弈、胁迫与反胁迫的过程进行了指标。
二、模型假设
根据题目要求，为达到模型简化目的，我们提出以下合理假设：
（其他假设将会在具体问题中陆续给出。
）
1.假设工程量清单所列项目全部进行报价
2.在投标期间资金、业务人员数量、不短缺
3.工程的规模大小、复杂程度一定
4.工程的质量、工期、文明施工程度、安全目标不变
5.投标商报价人员具备广博的技术、经营、预算知识和丰富的预算经验
6.招标人编制的标底控制价为A
7.有效投标商的平均报价为B
三、符号说明与名词解释
3.1名词解释与说明
招投标：
是在市场经济条件下进行大宗货物的买卖，工程建设项目的发包与承包，以及服务项目的采购与提供时，所采取的一种交易方式。
投标人：
招标公告或者投标邀请书发出后，那些响应招标并购买招标文件，参加投标的潜在投标人称为投标人。
这些投标人必须是法人或者其他组织。
暂定金额：
是包括在合同内的工程量清单内，以此名义标明用于工程施工，或供给货物与材料，或提供服务，或以应付意外情况的暂定数目的一笔金额，亦称特定金额或备用金。
3.2主要变量符号说明
为便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表3.2所示，其它变量将在文中陆续说明。
表3.2主要变量符号说明一览表
符号
表示的意义
R
投标人中标的收益
P
联合串标成本
t
代理人寻租的概率
s
委托人监督的概率
i
第i个投标人
n
参加投标的总人数
bi
投标人i的投标报价
ci
投标人i的成本价
f
投标人i的报价为b
四、问题的分析
4.1蜘蛛织网过程详解
4.1.1．设计招投标的自身特点
设计招标与施工招标、材料供应招标、设备采购招标等项目实施阶段的招标方式相比，有显著的特点。
即在设计招标中，承包者所要完成的任务是将建设单位对建设项目的设想转变为可实施的蓝图，是设计师利用国家有关设计规范，利用智慧，帮助建设方实现建设意图的一种技术服务，具有服务性质。
而在施工招标中，承包者所要完成的任务则是根据设计的具体要求，去完成规定的物质生产劳动，更具有承谐I生质。
由此可以看出，承包者所要完成的劳动内容有本质区别，劳动的过程差别很大，劳动成果也截然不同。
因此，设计招标投标与施工招标投标在内容及操作方法上有许多不同。
4.1.2．设计招投标与工程施工招投标相比的不同点
（1）招标文件的内容和编制要求不同。
招标文件是编制投标文件的依据，对整个招标工作乃至承发包双方都有约束力。
根据我国《招标投标法》的规定，招标文件应当包括：
招标项目的技术要求，对投标人资格审查的标准；投标报价要求和评标标准等所有实质性要求和条件；拟签合同的主要条款等。
设计工作主要是智力劳动，其劳动成果的质量，付出的多少具有不确定性，无法做出精确的定量，难以像工程施工那样量定。
故在设计招标文件中对投标者的要求不是很具体，仅提出了设计范围、设计进度、设计深度和质量等要求。
而不涉及具体的工作量要求，不需填报单价的工程量清单、主要材料用量和辅助材料表。
投标者要做的主要工作是：
提出设计构想及初步方案，阐述该方案的优点和实施计划，并在此基础上提出报价。
（2）开标方式和评标原则不同。
设计投标是已经付出了劳动，用劳动成果去投标。
这一点显著不同于施工投标。
设计投标代价高，其主要为智力投人，很难量化比较，甚至有的项目涉及某些特定技术，往往与知识产权的保护息息相关，无法用设计费的高低来衡量。
故设计招投标的开标方式和评标原则有显著不同。
（A）设计招投标开标时不是按报价高低去排定评标次序，而是由各投标人介绍设计方案构思、设计进度安排、技术力量等实质性内容，不排定评标次序。
（B）设计评标一般采取综合评估法进行。
评标委员会按照招标文件确定的评标标准和方法，结合经批准的项目建议书、可行性研究报告或者上阶段设计批复文件，对投标人的业绩、信誉和勘察设计人员的能力以及勘察设计方案的优劣进行综合评定。
而不像施工评标那样，以经评审的最低价和围绕与标底价格的比较作为评标的主要方法。
4.2评选标准分析
（1）评标总价的确定
招标人编制的标底控制价为A，有效投标报价范围为0.9A至0.98A（固定报价、暂定金额、暂列金额和备用金不下浮）。
超出该范围的投标报价为无效报价，评标委员会将否决其报价，该投标人投标报价计零分。
有效投标报价的平均值为B，评标总价C=（A+B）÷2×K（固定报价、暂定金额、暂列金额和备用金不参与K值调整）。
B值按开标现场公布的所有投标人投标唱标价计算，开标会现场确定的废标或无效标不进入B值计算。
K为合理低价期望值，为0.95、0.955、0.96、0.965、0.97、0.975、0.98七个数之一，在开标现场开标前由投标人代表随机抽取。
本批标段每一个标分别抽取一个K值。
（2）复核报价
评标委员会在评审投标人报价时将对每一投标人的工程量清单报价逐项复核。
投标人在开标现场公布的有效投标报价不变，直接进入有效报价平均值（B）的计算，若投标人投标报价与评标委员会复核的报价不一致时，该投标人的投标报价应修正为复核报价，并按投标人的复核报价参与投标报价分值的计算。
每项复核报价与投标报价之差的绝对值除以评标总价，按每误差1％扣除投标人报价部分分值3分（采用直线内插法并精确到小数点后两位）。
若按投标人复核报价计算报价得分高于按投标人未修正报价计算得分时，则仍按投标人未修正报价计算得分（即两者取投标人投标报价得分小值）。
（3）投标报价分值的计算
（1）复核报价与评标总价之比等于1时，该报价得满分100分；
（2）复核报价与评标总价之比大于l时，每高l％扣5分，直到扣完报价得分为止；
（3）复核报价与评标总价之比小于1时，每低l％扣2分，直到扣完该报价得分为止；
报价计算采用直线内插法并精确到小数点后两位（四舍五入）。
（4）控制单价分值的计算
投标人投标单价均应在相应主要控制单价的0.90～0.98倍值（含本数）范围内，否则在投标人报价得分中每一项扣0.50分。
（5）固定报价、暂定金额、暂列金额和备用金不允许调整
投标人的标底控制价中的每项固定报价、暂定金额、暂列金额和备用金不允许调整，否则按每误差1%扣除投标人报价部分分值3分（采用直线内插法并精确到小数点后两位），并按招标文件中相对应的金额恢复，且按恢复后的金额进入复核报价。
（6）投标报价电子文件
投标人应按招标文件要求提供一份已报价工程量清单电子文件（“U”盘，以下简称电子文件）。
若投标人未按招标文件要求提供电子文件，其报价得分按零分计；提供的电子文件与投标文件正本不一致的（复核报价的计算以投标文件正本为准）或提供的电子文件无法确认的（经评标现场监管人员确认），经评标委员会确认，则在其投标报价分中扣除1.0分。
五、模型的建立与求解
5.1模型的建立与求解
5.1.1工程招投标的博弈机理
在工程招投标中,招标人公开招标承建商,共有n个（n≥3）投标人参加投标（为有效促进竞争,《招标投标法》第二十八条规定投标人少于三个的,招标人应当重新招标）。
开标前投标人将投标价以密封形式交给招标单位,开标后招标单位选择标价最低者为中标人。
投标人的标价是各自的成本加利润。
每个投标人在确定自己成本的同时不知道其他投标人的真实成本而只知其概率分布,工程招投标活动属于不完全信息的静态博弈,存在Bayes均衡。
设投标人i的投标报价和成本价分别为bi（bi>0）和ci（ci>0）,其他投标人不知道ci的确切值,但都知道ci为独立地取自定义在〔0,1〕上的均匀分布函数。
假设各投标人都是风险中性的,即效用函数是线性的。
因为参加招投标活动的成本相对比较小,一般不予考虑,则投标人i的支付函数为:
ui（bi,bj,ci）=bi-ci,
若bi若bi>bj"j=1,2,…i,i+1,…n
由于该博弈是对称的,在分析过程中只需考虑对称的均衡报价b=b#（c）。
设投标人i的成本为c,报价为b,则他的支付期望值为:
Eui=（b-c）j≠i%p（bp（b结合式子（1.2）（1.3）（1.4）可以得到
Eui=（b-c）
j≠i%p（bn-1
而投标人的目标是自身效用的最大化,即要使得上式取最大值,
max
b（Eui）=（b-c）cn-1（b）
最大化条件为:
cn-1（b）+（b-c）（n-1）cn-2（b）c'（b）=0
在均衡条件下c（b）=c,上式可化为:
cn-2（b）[c（b）+（b-c）（n-1）c'（b）]=0
因是全微分方程,取b0=0,c0=0,可得到该博弈的Bayes
均衡解为:
b&（c）=（n-1）cn
上述分析表明,对投标人个人而言,随着报价的降低,∏P（b为提高中标率,投标人必依据自己的生产成本制定最有竞争力的标价,这满足招投标制度的“激励相容”原则,即投标人积极贡献私人真实信息对自己和招标人都有利。
因此,各个投标人就有动力去提高技术装备、提高管理生产水平、降低成本。
这样招投标能够实现局部均衡价格,使招标人和投标人之间达到帕累托最优。
另外,随着n的不断增大,b&（c）逐渐减小,当n趋向无穷大时,b&（c）就等于c。
即参加投标的人数越多,各个标价就越接近于实际成本,招标人可以以越低的价格获得承建商,能节约建设资金,合理又有效地分配社会资源。
因此工程建设采用招投标法是有理论依据的。
5.1.2寻租（rent-seeking）博弈
“工程上马,干部下马”的现象在工程建设中是屡见不鲜的,工程招投标是腐败滋生的一个重要和主要领域,这是权力寻租的结果。
寻租是与寻利（profit-seeking）相对应的活动。
广义的寻租是指人类社会中非生产性的追求经济利益的
活动,或说是指那种维护既得的经济利益或对既得的利益进行再分配的非生产性活动。
狭义的寻租是指通过信息不对称,利用行政法律手段来阻碍生产要素在不同产业自由流动、自由竞争的办法来维护或攫取既得利益的行为。
布坎南认为“寻租从总体上看没有配置价值,是一种纯粹的社会浪费”,即寻租只是一种零和博弈更甚是负和博弈。
因为工程招投标实际上也是一个委托代理关系,可以分析在委托代理关系中代理人寻租和委托人监督之间的博弈。
在该博弈中,委托人将一定的权力赋予代理人,以实现自身的效用最大化,同时,代理人也在追求自身的效用最大化。
为减少代理人寻租对委托人效用最大化的影响,委托人可以通过监督来减少代理人寻租的可能性。
此时代理人可以寻租或不寻租,委托人可以监督或不监督。
若委托人不监督则代理人寻租可获得R,若委托人监督则代理人寻租要受到P的惩罚,同时委托人也要付出C的监督成本（C这些信息是博弈双方都知道的,因此该博弈为完全信息静态博弈。
双方博弈的得益矩阵如图一所示
代理人
寻租不寻租
委
托
人
监督
P—C—P
CO
不监督
—RR
00
图一代理人和委托人的博弈
得益矩阵中各策略组合的得益数组的第一个数字是委托人的得益,第二个数字是代理人的得益。
可见,当委托人监督时,代理人最好的策略是不寻租,但当代理人不寻租时,委托人的最好策略是不监督,而当委托人不监督时,代理人最好的策略是寻租;当代理人寻租时,委托人最好的策略是监督,但当委托人监督时,代理人最好的策略是不寻租,而当代理人不寻租时,委托人最好的策略是不监督,这一环套一环的因果循环永远不可能停止,即两博弈方的利益始终都不会一致,在一次性博弈中不会有均衡性策略组合存在,属于混合策略博弈,存在混合策略的Nash均衡。
〔2〕设s为委托人监督的概率,则委托人不监督的概率为1-s,设代理人寻租的概率为t,则代理人不寻租的概率为1-t。
如果委托人不想让代理人占上风,则自己的概率应使代理人选两种策略的期望得益相同:
-P〓s+R〓（1-s）=0〓s+0〓（1-s）即s&=RP+R
同样地,代理人为了不让委托人占上风,其混合策略的概率分布也要使委托人选两种策略的期望得益相同:
（P-C）〓t+（-C）〓（1-t）=（-R）〓t+0〓（1-t）即t&=CP+R
监督的概率大于R/（P+R）时,代理人最好的策略是不寻租,当委托人监督的概率小于R/（P+R）时,代理人最好的策略是寻租,当委托人监督的概率等于R/（P+R）时,代理人可以随机选择寻租或不寻租;对委托人来讲,当代理人寻租的概率大于C/
P+R）时,委托人最好的策略是监督,当代理人寻租的概率小于C/（P+R）时,委托人最好的策略是不监督,当代理人寻租的概率等于C/（P+R）时,委托人可以随机选择监督或不监督。
可见代理人要取得寻租效用最大化,取决于委托人监督的概率,而委托人监督的概率跟代理人的寻租成本P和寻租收入R有关。
下面我们来分析在委托人为了减少代理人寻租造成的损失而加重对代理人寻租的惩罚的情况,即加大代理人的寻租成本。
如图二所示,横轴表示委托人监督的概率,分布在〔0,1〕上。
纵轴表示对应于委托人监督的不同概率代理人选择寻租的期望得益值。
则R和-P连线与横轴的交点即为s!
。
加重对代理人寻租的惩罚即寻租成本从P增大到P′,此时代理人在委托人原有的监督概率s!
下的期望得益值变为负数,因此在短期内代理人会选择不寻租。
但同时也使委托人监督的概率相应地从s!
减小为s′。
此时代理人寻租和不寻租的期望得益又相等,因此他又会选择新的混合策略均衡t!
'=C/（P′+R）,明显t!
′即总体上代理人寻租的概率降低。
再看在寻租收入R增大时代理人寻租的概率。
如图三,当R增大为R′时,在委托人原有的均衡监督概率下代理人寻租的期望得益值为正,代理人就会选择寻租。
但同时因为与变大的寻租收入相比,监督的成本就不算什么,委托人监督的概率就增大,这样寻租被查处的可能性也更大,代理人寻租所承受的风险更大。
因此寻租的收入越多,寻租的可能性反倒越小。
再看监督成本C对代理人寻租概率的影响。
如图四所示,横轴表示代理人寻租的概率,分布在〔0,1〕上。
纵轴表示对应于代理人寻租的不同概率,委托人选择监督的期望得益值。
图四监督成本增大对寻租行为的影响当C增加到C′时,-C和（P-C）的连线平行下滑,此时若代理人寻租的均衡概率不变,则委托人选择监督的期望得益值为负数,则委托人会选择不监督。
但这直接导致代理人寻租的可能性变大。
那么在C为多大时委托人会完全放弃监督呢?
若委托人完全放弃监督时即委托人在不监督时和监督时的收益是相等的。
又因当委托人监督时代理人不寻租,委托人的期望得益值为-C,当委托人不监督时代理人寻租,委托人的期望得益值为-R,即当R=C时委托人才会完全放弃监督。
只要R>C,委托人就不会完全放弃监督,但监督的概率取决于代理人的寻租收入R和寻租成本P。
上述分析表明,寻租现象在实际操作中几乎不可能完全消除,只能尽可能地减少、控制。
同时只要寻租收入大于监督成本,监督机构就不会放弃监督,而代理人寻租的概率受寻租收入和寻租成本的影响,当寻租成本增大或寻租收入增加时代理人选择寻租的概率都会减小。
5.1.3投标人联合串标博弈
在实际招投标工作中,投标人联合串标的现象也不少见。
他们或恶意低价或恶意高价,给招标工作和业主的利益带来很大损失。
3.1设共有n个（n≥3）投标人,投标人i知道其他n-1人要联合串标,此时他有选择联合和不联合两种策略,而监督机构也有监督和不监督两种行动策略。
当投标人i选择联合时联
合体必然选择联合出高价,设可以获得总利润R′（R′>正常利润R）,当监督机构不监督时,投标人i获得R′/n,当被监督机构查出时,投标人将被处罚P（即为联合串标成本）。
若投标人i选择不联合,当监督机构监督时,因为其他人联合串标被查处,则投标人i中标,收益为R,当监督机构不查处时,其收益为R/n;
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