全国说课比赛一等奖说课教案.doc

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课题：

双曲线及其标准方程

一教材分析

（一）教学内容

双曲线及其标准方程是全日制普通高级中学（必修）《数学》第二册（上）（人民教育出版社）第八章第三节的内容.分两课时：

第一课时：

探索双曲线的定义，标准方程的推导及其初步应用；第二课时：

探索双曲线的定义及其标准方程的进一步应用（巩固求曲线方程的两种基本方法，即定义法和待定系数法）.现在说第一课时.

（二）教材的地位和作用

双曲线是解析几何的重要内容——圆锥曲线之一，椭圆的学习已为研究本节内容提供了基本模式和理论基础；本节内容也是后继内容学习的基础，并在科学技术和日常生活中有着广泛的应用.

（三）教学重点与难点

[确定依据]根据教学大纲，学生学习实际情况，结合以上分析.

教学重点双曲线的定义及其标准方程

[解决方法]为了突出此重点，让学生动手实践，自主探索，通过画图揭示双曲线上的点所要满足的条件，由此得出定义，推出方程.

教学难点双曲线的标准方程的推导

[解决方法]为了突破此难点，回顾用坐标法求曲线方程的一般步骤，类比椭圆标准方程的推导过程，关键是抓住“化简方程”这一环节来进行方程的推导.

二学情分析

（一）有利因素学生通过对椭圆的探究，初步具备了一定的分析与归纳的能力，为本节课的学习奠定了基础.由于双曲线在日常生活中有着广泛的应用，学生具有了一定的好奇心和求知欲，并对双曲线有了一定的感性认识..

（二）不利因素学生对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化仍有一定困难.同时受学习椭圆的定势思维，容易混淆两种圆锥曲线的几何量关系（如：

标准方程中a，b，c的关系，焦点位置的确定），在教学中引起了高度的重视，并采取了相应的措施来克服这些不利因素.

三教学目标分析

[确定依据]根据教学大纲的要求，结合教材分析、学情分析特制定以下三维

教学目标.

（一）知识与技能目标

掌握双曲线的定义，焦点，焦距的概念和标准方程；理解双曲线标准方程的推导；并能初步运用定义和标准方程解决有关问题.

（二）过程与方法目标

通过学生自主探索，亲身经历双曲线的定义及其标准方程的获得过程，体验数形结合的思想在处理几何问题中优越性；培养学生观察、比较、分析、归纳、概括等思维能力，形成良好的思维品质.

（三）情感态度与价值观目标

通过实例，激发学生对数学的好奇心，引导学生从数学的角度发现和提出问题，正确使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识.让学生在自主探索，合作交流中获得新知识，培养学生实事求是的科学态度，锲而不舍的探索精神以及对数学学科的热爱，坚定学好数学的信心，形成正确的数学观.

[四教法学法分析

[确定依据]为实现以上教学目标，根据教学大纲的要求，结合本节课的教学内容，及学生的认知水平.

（一）教学方法引导探索、发现法

[设计意图]这样的教法可以充分调动学生学习的主动性、积极性，使课堂气氛更加活跃.同时培养学生自主学习和动手探究的能力.

（二）学习方法自主探索、合作交流．

[设计意图]这样的学法有利于培养学生的动手实践能力、自主学习能力、探索精神及合作意识．

（三）教学手段多媒体辅助教学．

[设计意图]有利于激发学生学习的兴趣，增强动感与直观感，增大教学容量，提

高教学效率和教学质量．

（四）学具一条拉链，两颗图钉，一块纸板.

[设计意图]为探究双曲线的定义的绘图活动提供物质条件.

五教学过程设计

[确定依据]为了充分发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导

下的“再创造”过程.我设计了以下教学流程：

创设情境引入新课

抽象概括归纳定义

类比探究建立方程

实践探索形成能力

分层作业巩固提高

整理知识纳入系统

（一）创设情境，引入新课

本节课的开始由多媒体演示实例，并引导学生观察图中的红色曲线.

（1）济南市立交桥的外观结构；

（2）为缓解交通拥堵，北京市创建的新式交通结构图；

（3）城市标志雕塑的外形；

（4）自然通风塔轴截面的外观轮廓.

并指出：

这些红色曲线就是数学中研究的双曲线.上述都是实际生活中与双曲线有关的例子.除此之外，双曲线在自然界和科学技术中也有着广泛的应用，比如有的无周期彗星的运动轨迹是双曲线;利用远程双曲线导航的罗兰C卫星导航系统等.那如何定义双曲线呢？

怎样建立它的方程呢？

这就是本节课所要研究的内容，由此引出课题：

§8.3双曲线及其标准方程

（1）

[设置意图]让学生形成双曲线的感性认识，感受数学的应用价值，体现数学来源于生活实际，又服务于生活实际.同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力.

（二）抽象概括归纳定义

提出思考：

如何定义双曲线呢？

[设计意图]通过创设情境，激发了学生的求知欲，使学生急于想知道双曲线是满足什么条件的点的轨迹，但现有知识又无从回答，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态.

教师指出：

为探究双曲线的定义，先回顾椭圆的定义，即：

椭圆上动点M满足：

（>0）

引导一：

若将上式改为（>0），动点M的轨迹是怎样的曲线呢？

[设计意图]“思维从疑问开始”，以问题为出发点，创设有效的学习情景，不仅可以复习旧知，为本节课的学习奠定基础，而且这样设问可以提高学生的求知欲，激发学生学习的兴趣．鼓励学生积极参与、主动思考，发挥学生学习的主体作用.

[解决方法]让学生拿出课前准备好的一条拉链，一块纸板，两枚图钉.介绍作图方法：

在拉链拉开的两段上各选择一点，分别固定在纸板上的点F1，F2处，取拉锁处为M点，由于拉链两段是等长的，则，设，把笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭拢在纸板上作图.（如图1）.并由此提出思考：

若动点M满足：

（>0），应该怎样作图呢？

让同桌两人一组，相互磋商、动手绘图，教师巡视，对有困难的小组予以帮助.然后选出一位学生代表叙述他们的画图过程，并展示画图结果.对完成较好的小组予以表扬，让学生充分体会到数学探索的乐趣和成功的喜悦.

[设计意图]双曲线的定义为本节课的教学重点之一，为了突出重点，开展探究活动，让学生动手操作，亲身经历双曲线的形成过程．

图2

图1

学生完成作图后，再用课件演示作图过程，指出这一条曲线（图1）就是满足：

集合的动点M的轨迹.若将上述集合改为，比较两集合的关系，取，同理可画出此时动点M的轨迹（图2）.

[设计意图]课件演示不仅增强动感，而且帮助学生克服在实际操作中的困难，体现数学的严谨性.

观察、比较，归纳：

上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.

其中右边一支满足：

，左边一支满足：

引导二：

（1）在纸板上作图说明了什么？

（2）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M应满足什么条件？

（3）常数2a与有什么关系？

教师引导学生观察、分析，并归纳结论：

（1）平面内

（2）动点M与两个定点F1，F2的差的绝对值等于常数.

（3）

并鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义即为：

平面内与两个定点的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.

并引入双曲线焦点和焦距的概念：

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

[设计意图]按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维.并实现对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化，渗透数形结合分析问题的数学思想方法.

引导三：

如果改变常数的范围（2a=，2a=0，2a＞），动点

的轨迹会发生什么变化呢？

[解决方法]教师让学生相互讨论，鼓励学生大胆阐述自己的结论，并运用课件进行演示，归纳出：

常数2a动点M的轨迹

（1）（0＜2a＜）双曲线

（2）线段F1F2的延长线上

以F2为端点的一条射线

段F2F1的延长线上

以F1为端点的一条射线

（3）2a=0段F1F2的中垂线

（4）（违背了三角形三边长的关系）不存在

[设计意图]通过教师的设问，启发学生思考，让学生在自主探索，合作交流中归纳概括出结论，培养学生发现问题，研究问题，解决问题的能力.上述结论是对满足集合的动点M的轨迹的全面说明.

（三）类比探究建立方程

引导四：

怎样建立双曲线的标准方程呢？

[解决方法]先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤，然后循此步骤，并类比椭

圆标准方程的推导过程，在教师的启发下，由学生自主推导双曲线的标准方程.

[设计意图]通过学生对旧知识的回顾来了解学生对知识的掌握程度，同时让学

生明确思维的目的，为下一步教学搭桥铺路．

第一步建系：

建立直角坐标系，使轴经过点，并且

点与线段的中点重合.

（在回顾椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后，

建立起双曲线标准方程推导时的坐标系.）

图3

第二步设点：

设是双曲线上任意一点，双曲线的

焦距为，那么，焦点的坐标分别是

（）、（）.又设点与的距离的差的绝对值等于常数2a.

第三步写点集：

根据定义写出M点的轨迹构成的点集：

P={M||MF1|—|MF2|=±2a}

第四步列方程：

用坐标法表示条件P（M），列出方f（x，y）=0，

即：

①

第五步化简：

化方程f（x，y）=0为最简形式.

将方程①化简，得 ②

由双曲线的定义可知，，即，所以.令，

其中，代入上式，得

两边除以，得出：

对此方程要强调：

它是双曲线的焦点在轴上的标准方程，焦点是：

F1（）、F2（），焦距.

[设计意图]为了真正做到让学生主动思考、学习，让学生自己动手，独立的完成这个任务，从而进一步体会用坐标法求曲线方程的思想.前四步学生容易掌握，第五步的二次根式较复杂，学生常因运算能力不强而功亏一篑.故在此，教师不失时机地加强了运算技能的训练.注意了引导学生比较椭圆标准方程推导中的二次根式的化简：

平方，赋值，将含有两个根式之差的等式转化为含有a，b，c三字母的整式，再化为等号右端为1的方程形式.教师对个别有困难的学生进行必要的指导，并选一名学生在黑板上书写化简过程，然后教师点评.这一环节教学有助于突破本节的教学难点.

注意：

区别双曲线和椭圆的标准方程中的关系：

双曲线：

（，）

椭圆：

（）

[设计意图]类比双曲线和椭圆标准方程中的的关系，有助于学生克服

椭圆学习中的思维定势.

引导五：

焦点在轴上，并且点O与线段的中点重合，的意义同上，双曲线的方程又如何呢？

图4

[解决方法]先让学生作出图4，引导学生观察、比较图3与图4，并根据椭圆的

焦点在轴上的标准方程的推导方法，鼓励学生大胆猜想，归纳出：

只需将上述标准方程中的、互换，即：

[设计意图]该问的设置，一方面是为了得出焦点在y轴上的双曲线的标准方程；另一方面培养学