第十章++滞后变量回归模型.docx
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第十章++滞后变量回归模型
第十章滞后变量回归模型
第十章滞后变量回归模型前面九章讲的回归模型，其自变量大都是固定的设计矩阵，各个自变量彼此没有关系，即使考虑自变量是随机的，也是与因变量无关的。
本章考虑的回归模型则不然，要么一些自变量是另一些自变量的滞后部分，要么自变量是因变量的滞后部分。
这种回归模型考虑的一般是时间序列数据。
如果在回归模型中不仅含有解释变量X的当前值而且含有X的滞后值，它就称为分布滞后模型（Distributed-LagModel），如Y=α+βX+βX+βX+L+βX+ε（10.0.1）t00t1t?
?
12t?
?
2Nt?
?
Nt就是一个分布滞后模型。
如果模型的滞后长度N已知，那么模型可以直接求解，只需注意由于滞后关系，实际参与计算
，也就是说模型的自由度受了损的模型观测数等于样本观测数n减去滞后长度N
失。
如果模型的滞后长度N未知，那么需要确定它，办法是逐个添加滞后变量X,X,L，直到添加的项在模型中的作用微乎其微，即它的回归系数统计意义为0，t?
?
N?
?
1t?
?
N?
?
2此时的滞后长度就算确定了。
既然直接添加滞后项越多，自由度损失越大，那么有没有间接添加的办法，能在添加同样的滞后项情况下，减少一些自由度损失呢,有限多项式回归能够在这方面有所帮助。
如果模型中包含一个或若干个因变量的滞后值，它就称为自回归模型（AutoregressiveModel），如Y=α+βX+γY+ε（10.0.2）ttt?
?
1t就是一个自回归模型。
（10.0.1）与（10.0.2）都是描写有限分布滞后的回归模型。
虽然我们在实际工作中不大可能直接遇见无限分布滞后的回归模型，但是有两种滞后模型（自适应期望模型与部分调整模型）可以经过一定变换和推导，得到无限分布滞后的回归模型如（10.3.8）（10.3.12）。
对于几何无限分布滞后的回归模型:
2Y=α+βX+βλX+
βλX+L+ε（10.0.3）t0t0t?
?
10t?
?
2t我们一般使用Koyck变换，把它转换成一阶自回归模型，进而求得其解。
分布滞后模型与自回归模型都属于滞后变量回归模型，它在经济领域有广泛的应用。
一个当前的经济指标，经常受到过去某些经济指标（包括自身的）影响，这是件很常见很容易理解的事情。
我们
在处理这一类问题时要考虑下列问题:
461
1（经济分析中滞后起什么作用,2（滞后的原因是什么,3（在实证分析中对滞后有没有什么理论判别方法,4（自回归与分布滞后有什么关系,能否从一个导出另一个,5（滞后变量模型中有哪一些统计问题,6（变量之间的主滞后是否意味着灾难,如果是，如何度量它,这些问题有些是不能给出精确定义或精确解答的，只能体会其意思。
我们以下主要是从经济模型的数学形式来展开讨论。
第一节模型概念:
消费滞后、通胀滞后与存款创生实际经济活动中，因变量Y经常是与经济自变量的过去值有关，而与当前值有关反而少一些。
为了具体说明这种滞后关系，我们看一些实例。
1（消费滞后假如一个消费者从今年起每年工资增加2000元，并将持续一段时间。
他的消费行为将受到怎样的影响呢,一般来说，他不会把当年增加的收入全部花光。
很可能是，他把每增加的2000元当年花掉800元，第二年花掉600元，第三年花掉400元，余下的永久储蓄起来。
这样到第三年，他的消费增加额将是1800元。
这样的消费函数写下就是Y=C+0.4X+0.3X+0.2X+ε（10.1.1）ttt?
?
1t?
?
2t这里Y是消费开支，C是常数，X是收入。
一般地，有限分布滞后模型可以写作Y=α+βX+βX+βX+L+βX+ε（10.1.2）t0t1t?
?
12t?
?
2kt?
?
kt这里分布滞后k个时段。
系数β称作短期系数，因为它给出X对Y同期线性作用大小。
如果0X的改变维持不变，
那么（β+β）给出Y在下一周期的改变，（β+β+β）给出再下一周01012期的改
变，等等。
这些部分和称作中期乘子。
最后，经过k个周期，我们得到kβ=β+
β（10.1.3）?
i01ki=0β称为长期分布滞后乘子。
类似地，无β+L+β=
限分布滞后模型可以写作462
Y=α+βX+βX+βX+L+ε（10.1.4）t0t1t?
?
12t?
?
2t它不需要确定分布
滞后长度，反而数学处理方便一些。
如果定义ββiiω==
（10.1.5）iββ?
i则ω表示一种标准化系数，ω=1。
于是可以将分布滞后模
型改写为i?
iY=α+βωX+ε（10.1.6）t?
it?
?
it2（通胀滞后经济理
论认为通货膨胀是一种基本的金融现象，因为在持续的经济增长中货币供给量总
会超过实际需求。
当然，通货膨胀与货币供应量的改变之间的联系不是实时的，
总会滞后一个时期。
研究显示二者之间大致滞后3,20个季度。
下表摘自Keith
M.Carlson（1980）的研究报告:
“货币供应对价格的滞后关系”。
样本周期自1955
年第一季度至1969年第四季度，共60个季度。
滞后周期取作20（季度）。
滞后
方程是20P=?
?
0.146+mMt?
it?
?
ii=0表10.1.1系数值t值系数值t值
m0.0411.276m0.0654.673011m0.0341.538m0.0694.795112m0.0301.903m0.0724.694213m0.0292.171m0.0734.468314m0.0302.235m0.0724.202415m0.0332.294m0.0693.943516m0.0372.475m0.0623.712617m0.0422.798m0.0533.511718m0.0483.249m0.0393.388819m0.0543.783m0.0223.191920?
m0.0594.3051.0317.87010mi方程中M是货币M1B供应量（通货净额+
存款货币）改变的百分数，P是物价上涨的百分数。
从长期来看，?
=1.031?
1，
它是统计显著的（t=7.870>t（20）=2.528），意味着货币供m0.01i应量每增加
1%，价格也相应上涨了1%。
从短期看，m=0.041意味着货币供应量每增加1%，0463
当年物价上涨0.041%。
表10.1.1是美国五、六十年代的数据，对我们只有参考价值。
不过懂得通胀滞后对宏观调控的掌握是很重要的。
3（存款创生假如央行给银行系统注入1000亿元，那么银行的储蓄总额最终可达多少呢,假如法律要求银行必须留下20%作保证金，那么银行第一次可以贷出800亿元。
这800亿元在银行外流通一段时间后，必然又会被存回银行。
银行对这800亿元新到的存款除留下20%作保证金外，可将其余的640亿元再贷出去，这贷出去的存款又会被别人存回银行，如此等等，最终，根据著名的乘数法则，银行储蓄总额会达
11000?
?
=5000（亿元）1?
?
0.8用滞后模型描述就是:
Y=X+βX+βX+βX+L+到:
βX+Ltttt?
?
1t?
?
2t?
?
k23k?
?
1=X+βX+βX+βX+L+βX+Lttttt这里X=1000（亿元），β=0.8。
当然这个5000亿不是一夜之间变出来的，它要经过一段时间。
t这几个例子只是经济指标之间滞后关系的一部分代表。
为什么会发生滞后呢,当然主要是技术上的原因。
生产过程是一环套一环的，只有等上一程序完成，才能进行下一程序。
资本、技术、新产品的扩散，都需要时间。
除此之外，人们的心理因素与社会习惯势力也起着滞后作用，新事物、新方法、新产品都需要示范使人信服才能普遍被接受。
经济制度包括财政税收制度也使滞后现象成为必然。
当然这些情况在本书不作细致讨论。
第二节有限分布滞后模型一、滞后长度已知时模型的估计若要估计分布滞后模型
Y=α+βX+L+βX+ε（10.2.1）t0tNt?
?
Nt这里N已知，称作滞后长度，可以使用标准记法Y=Xβ+
ε（10.2.2）这里464
Y1XXLXαε?
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110?
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N+11?
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Y1XXLXβε?
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221?
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N+202Y=,X=,β=,ε=（10.2.3）?
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MLLMM?
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Y1XXLX
βεTTT?
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1T?
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N?
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N?
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T?
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注意矩阵X里包含前定样本值X,X,L,X，假定这N个观察也是可供利用?
?
N+1?
?
N+202的。
如果ε也满足标准假设，即ε~N（0,σI），X被看作固定的，非随机的，那么基于样t?
?
1?
?
本信息Y与X，β的最小二乘估计为β=（X'X）X'Y，它是β的无偏估计。
这样估计在分布滞后模型里存在一些问题。
首先，在实际问题中滞后长度N很少已知。
（M）（M）如果将
将不是有效01M某个上界M代替N（M>N），则β的LSE[β=（α,β,β,L,β）]
估计，因为它忽略了限制β=β=L=β=0。
这个问题我们放到下段解决。
N+1N+2M第二个问题是X的某些列向量可能线性相关。
这是一个典型的线性重合问题。
如果分布滞后长度N较短，比如是3或4，那么线性重合问题可能不严重。
然而实际问题N=10并不少见，如果X改变量不大，或者移动有规则，就会产生严重的线性重合。
线性重合下的LSEt预测精确度很差，如何处理这一问题我们也放到以后解决。
二、分布滞后长度的确定如果真实滞后长度N未知，但它有上界M，那么如何选择N是一个基本的问题。
我们先谈一个简易法则，它称为分布滞后模型的特定估计（AdHocEstimation）。
因为假定X是非随机的，至少是与ε不相关的，X,X等等也是如此，所以可以应ttt?
?
1t?
?
2用普通最小二乘（OLS）。
我们可以作一个回归序列:
（1）Y对X回归;tt
（2）Y对X、X回归;ttt?
?
1（3）Y对X、X、X回归;ttt?
?
1t?
?
2„„这个过程一直进行到下列情况发生
就停止:
最后的滞后变量统计不显著;或者最后的滞后变量符号与上一个回归方程相比发生改变。
Alt和Tinbergen将美国1930-1939年石油消费量Y对新订货量X作回归，以季度为滞后465
单位，采用AdHoc方法:
?
?
Y=8.37+0.171Xtt?
?
Y=8.27+0.111X+0.064Xtt-1t?
?
Y=8.27+0.109X+0.07
1X-0.055Xtt-1t-2t?
?
Y=8.32+0.108X+0.063X+0.022X-0.020Xtt-1t-2t-3t结果他们认为第二个回归方程是最好的。
因为第三、第四个方程里X的系数是不稳定的，t?
?
2此外系数为负对经济现象不好作出解释。
于是滞后长度就取1为合适。
这就是AdHoc估计与AdHoc方法。
下面的统计检验方法思想与上面的差不多，不过顺序正好相反。
因为分布滞后回归变量X，X„有自然顺序，我们就顺其自然建立一系列假设检验:
tt?
?
111H:
β=0?
?
H:
β?
00MaM22H:
β=0?
?
H:
β?
0,β=00M?
?
1aM?
?
1M33H:
β=0?
?
H:
β?
0,β=β=00M?
?
2aM?
?
2M?
?
1M„„iiH:
β=0?
?
H:
β?
0,β=L=β=00M?
?
i+1aM?
?
i+1M?
?
i+2M这里每一个零假设检验都是在上一个零假设被接受的条件下进行的。
当某一零假设被拒绝，检验过程就停止。
2假设ε~N（0,σI），则可以用F检验或t检验。
下面我们构造统计量。
记α1XXLX?
?
?
?
?
?
?
?
10?
?
n+1?
?
?
?
?
?
?
?
β1XXLX?
?
?
?
?
?
?
?
021?
?
n+2β=,X=（10.2.4）nn?
?
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?
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MLL?
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β1XXLX?
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n?
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TT?
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n?
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S2SEn?
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?
′σ=,S=（y?
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Xβ）（y?
?
Xβ）（10.2.5）nSEnnnnnT?
?
n?
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2'?
?
1'?
?
β=（XX）XY（10.2.6）nnnni则检验第i个零假设H的似然比统计量可写作0S?
?
SSEM?
?
iSEM?
?
i+1λ=（10.2.7）i2σ?
?
M?
?
i+1466
12i如果假设H,H,L,H为真，则这个统计量服从自由度为（1,T?
?
M+i?
?
3）的F分布。
注000意M?
?
i+3正是滞后长度为M?
?
i+1的模型的参数个数。
除了F检验以外，对模型Y=Xβ+ε（10.2.8）M?
?
i+1M?
?
i+1中的最后系数β的显著性也可以用t检验。
M?
?
i+1如果使用上述假设检验过程，则滞后长度N依赖检验水平，更准确地说是依赖于控制犯第一类错误的概率。
所谓第一类错误是指零假设正确而被拒绝的错误。
然而，在一系列检验中，i2全部拒绝H的概率并不是恰在第i次检验中单个的显著性水平。
例如，当H为真时拒绝它00121i的概率应该是拒绝H或H的概率。
如果H，„，H为真，那么统计量λ,L,λ将有相00001i应的F分布，而λ可以被证明与λ,L,λ都独立。
应用基本的概率多除少补公式i1i?
?
1P（AUB）=P（A）+P（B）?
?
P（AB）可算得第i次检验时犯第一类错误的概率为p=P{λ>F（1,T?
?
M?
?
3+i）ULUλ>F（1,T?
?
M?
?
2）}iiγi1γ1=P{λ>F（1,T?
?
M?
?
3+i）}+iγiP{λ>F（1,T?
?
M?
?
4+i）ULUλ>F（1,T?
?
M?
?
2）}i?
?
1γ（i?
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1）1γ1?
?
P{λ>F（1,T?
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M?
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3+i）}iγi?
?
P{λ>F（1,T?
?
M?
?
4+i）ULUλ>F（1,T?
?
M?
?
2）}i?
?
1γ（i?
?
1）1γ1=γ+p?
?
γp=γ（1?
?
p）+p,i=1,2,Lii?
?
1ii?
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1ii?
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1i?
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11i这里γ是第i次个别检验的显著性水平，p=0。
全部概率是在H，„，H为真的条件下i000计算的，如果我们对每一个别检验使用同样的显著性水平，那么犯第一类错误的概率将会迅速增加。
例如，如果对所有k取γ=0.01k则p=0.01，p=0.0199，p=0.029701123等等。
实际上，如果最大的滞后长度M很大，那么合适的检验策略应该是在开始检验时取很小的显著性水平。
也就是说，犯第一类错误的概率应该被控制在一个合理的水平，即使滞后长度相当大的话。
467
算例10.2.2有限分布滞后模型原始数据共100个观察，自变量为1元，如
下表。
表10.2.2序号YX序号YX序号YX1-.0985.0739351.3980.2019
692.7891.569622.5138.8967364.2310.9423704.8810.87353-.8275.0203373.8855.8388713.0440.756241.1821.0684384.4633.9368722.0428.56365.9262.3585391.9477.321373.7279.153362.4641.5556402.2425.6748741.7162.763972.2399.7245411.6532.1058752.8040.788983.6225.4150423.0682.6750762.7111.499191.3987.0888431.8767.6057771.3276.1758102.6762.9597441.1603.4230781.2481.4498112.4671.326845.2905.0128792.2675.5261121.4037.071346.8379.7789802.4530.0359132.2836.850647.9048.2617813.0846.7595143.0689.9018481.9855.9705822.5924.5914151.2260.7672494.3127.8766832.6237.9440161.4753.8805501.6077.5075843.2225.9434171.8868.6952512.3510.300285-.1255.3479182.7819.764452.7831.6348863.5974.8374192.3368.4866534.0621.4658871.9880.1989202.3845.783954.9515.4570881.2730.5806212.5771.3054553.9985.7689893.6314.9075222.5453.476856.6632.2040903.3495.6540231.8029.338357.3977.0567912.0034.743424-.1072.6053582.9906.8021922.5205.6939253.5259.9940591.5791.2238931.0241.3734262.5074.3538601.3804.6952942.4878.952427.8473.4566613.1039.7836953.8875.380828-.2218.0036623.4001.9079962.1767.4961293.4271.862263
2.8314.8137972.5551.9264301.5897.392464-.8988.353598
3.8721.8940311.0131.4099651.4643.0211991.7053.416732
3.3436.7080663.8145.93521002.1483.0838333.5517.586867
2.7535.8799342.7500.959068.7671.3099依据书中第10章第2节,用AdHoc方法,确定分布滞后长度,同时计算回归模型。
下面468
是计算机输出的主要结果。
数据文件准备,第一列是因变量Y,第二列是
自变量X,滞后过程由程序自动完成。
例10.2.2.数据文件中,n=100,M=1现
在进行第1次回归,Y对X（t）,样本数N=n回归方程Y=.7366+2.5605X1残差平方和:
86.50回归平方和:
55.87
:
.8650标准差=.9301回归方程整体显著性F检方差的估计
验,H0:
b0=b1=0F统计量:
63.2940F临界值F（1,98）3.938全
相关系数R:
.6264现在进行第2次回归,Y对X（t）,X（t-1）,样
本数N=n-1要作滞后回归,需要决定自变量是往前移动还是往后移动。
第1列是X
（1）到X（N）,第2列是X
（2）到X（N+1）,第3列是X（3）到X（N+2）,等等,称往前移动。
第1列是X
（1）到X（N）,第2列是X（0）到X（N,1）,第3列是X（,1）到X（N,2）,等等,称往后移动。
选择移动参数为1（1=往前移动,,1=往后移动），来自过程控制参数集回归方程Y=.7094+2.6262X1+-.0389X2残差平方和:
85.00回归平方和:
57.37方差的估计:
.8586标准差
=.9266回归方程整体显著性F检验,H0:
b0=b1=...=b2=0F统计量:
32.3949F临界值F（2,96）3.091全相关系数R:
.6348计算
结束。
下面是第1次回归的拟合效果图，其全相关系数是0.6264。
第2次滞后回归的全相关系数是0.6348，拟合效果应该还有所改进。
图10.2.2.1三、有限多项式滞后为了消除线性重合的影响，Almon（1965）提出利用多项式来减少参数空间。
对于有限个点，比如说n+1个，可以用一个不超过n次的多项式来通过这些点。
如果降低多项式的阶数，保持曲线平滑，那么这个低阶多项式可以近似通过这些点。
469
为了说明Almon的多项式滞后方法，我们假定有4个滞后权系数β、β、β、β。
有0123一个多项式23P（n）=α+nα+nα+nα（10.2.9）0123使得2323β=α+0?
?
α+0?
?
α+0?
?
α，β=α+1?
?
α+1?
?
α+1?
?
α00123101232323β=α+2?
?
α+2?
?
α+2?
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α，β=α+3?
?
α+3?
?
α+3?
?
α2012330123如果用矩阵形式记法就是βα?
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1000?
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00?
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β1111α?
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11=（10.2.10）?
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β1248α22?
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β13927α?
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3?
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3?
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或β=Wα（10.2.11）这里β、W、α定义已很明显。
此时多项式系数的数目等于滞后权系数的数目，没有什么约束关系强加于β。
对于任何向量β，存在向量α，使β=Wα成立。
因为W非奇异，故i?
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1α=Wβ。
要使多项式的阶数减1，可使α=0，即3β?
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100?
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0?
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α?
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0?
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β111?
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1=α（10.2.12）?
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1?
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β1242?
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α?
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2?
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β139?
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3?
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类似地，要使多项式阶数再减1，可取β?
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10?
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0?
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β11α?
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10=?
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（10.2.13）?
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β12α2?
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1?
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β133?
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一般地，如果滞后权系数β，β，β，„
β下降到Q阶多项式，即012NQβ=P（i）=α+αi+L+αi,i=0,1,L,N（10.2.14）i01Q则方程组可写为470
100L0?
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αβ?
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00?
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αβ?
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=122L2
（10.2.15）?
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N?
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1NNLN?
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或写成（Q）β=Hα（10.2.16）Q（Q）因为α仅含Q+1个系数，我们已将参数空间从N+1维减至Q+1维。
换句话说，我们已经对参数作了N?
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Q个约束。
将上式代入滞后模型Y=Xβ+ε（10.2.17）中，得（Q）（Q）Y=XHα+ε=Zα+εQ（10.2.18）（Q）这里Z=XH。
使用这个模型，α的最小二乘估计是Q（Q）?
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1?
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α=（Z'Z）Z'Y
（10.2.19）而β的限制最小二乘（RestrictedLeastSquares,RLS）估计是（Q）?
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1?
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β=H?
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α=H（Z'Z）Z'Y（10.2.20）2因此，如果我们假定模型被正确的指定，ε~N（0,σI），则（Q）（Q）2?
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1?
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α~N（α,σ（Z'Z
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