正十七边形尺规作图与详解docx.docx
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正十七边形尺规作图与详解docx
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解读“数学王子”高斯正十七边形的作法
一、高斯的传奇故事
高斯（CarlFriedrichGauss1777.4.30~1855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天，年
幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工的父算工人的周薪。
父算了好一会儿，于将果算出来了。
可是
万万没想到，他身来幼嫩的童音：
“爸爸，你算了，数是⋯⋯”父感到很惊异，赶忙再算一遍，
果高斯的答案是的。
的高斯只有3！
高斯上小学了，教他数学的老布特勒（Buttner）是一个度劣的人，他从不考学生的接受能
力，有用鞭子学生。
有一天，布德勒全班学生算1+2+3+4+5+⋯⋯+98+99+100＝？
的和，
并且威：
“算不出来，就不准回家吃！
”布德勒完，就坐在一旁独自看起小来，因他，做
一道目是需要些的。
小朋友开始算：
“1+2＝3，3+3＝6，6+4＝10，⋯⋯”数越来越大，算
越来越困。
但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身。
高斯：
“老，我做完了，你看
不？
“做完了？
么快就做完了？
肯定是胡乱做的！
”布德勒都没抬，手：
“了，了！
回去再
算！
”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸：
“我个答案是的。
”
布德勒抬一看，大吃一惊。
小石板上写着5050，一点也没有！
高斯的算法是
1＋2＋3＋⋯⋯＋98＋99＋100
100＋99＋98＋⋯⋯＋3＋2＋1
101＋101＋101＋⋯⋯＋101＋101＋101＝101×100＝10100
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10100÷2＝5050
高斯并不知道，他用的种方法，其就是古代数学家期努力才找出来的求等差数列和的方法，那
他才八！
1796年的一天，德国哥廷根大学。
高斯吃完晚，开始做他独布置的三道数学。
前两道他不
吹灰之力就做了出来了。
第三道写在另一小条上：
要求只用和没有刻度的直尺，作出一个正十七
形。
道把他住了——所学的数学知竟然解出道没有任何帮助。
一分一秒的去了，第三
道竟毫无展。
他尽汁，着用一些超常的思路去求答案。
当窗口露出曙光，他于解决了道
。
当他把作交，感到很愧。
他：
“您我布置的第三道，我竟然做了整整一个通宵，⋯⋯”
看完作后，激地他：
“你知不知道？
你解开了一有两千多年史的数学案！
阿基米得没有解决，
牛也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。
你是一个真正的天才！
”原来，也一直想解开道。
那
天，他是因拿了，才将写有道目的条交了学生。
在件事情生后，高斯曾回：
“如果有人告我，那是一道千古，我可能永也没有信心将它解
出来。
”
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1796年3月30日，当高斯差一个月满十九岁时，在期刊上发表《关于正十七边形作图的问题》。
他显然
以此为自豪，还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。
然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形，而刻着一颗
十七角星，原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为：
“正十七边形和圆太像了，刻出来之后，每个人都会误以为是一
个圆。
”
1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。
上面刻着：
“汉诺威王乔治V.献给数学王子高斯
（GeorgiusV.rexHannoverageMathematicorumprincipi）”，自那之后，高斯就以“数学王子”着称于世。
二、高斯正十七边形尺规作图的思路（这里是纯三角法）
作正十七边形的关键是作出cos2，为此要建立求解cos2的方程。
1717
设正17边形中心角为α，则17α＝2π，即16α＝2π－α
故sin16α＝－sinα，而
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sin16α
＝2sin8αcos8α
＝4sin4αcos4αcos8α
＝8sin2αcos2αcos4αcos8α
＝16sinαcosαcos2αcos4αcos8α
因sinα≠0，两边除以sinα，有
16cosαcos2αcos4αcos8α＝－1
由积化和差公式，得
4（cosα＋cos3α）（cos4α＋cos12α）＝－1
展开，得
4（cosαcos4α＋cosαcos12α＋cos3αcos4α＋cos3αcos12α）＝－1
再由积化和差公式，得
2[（cos3α＋cos5α）＋（cos11＋cos13α）＋（cosα＋cos7α）＋（cos9α＋cos15α）]＝
－1
注意到cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos9α＝cos8α，cos15α＝cos2α，
有
2（cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α）＝－1
设a＝2（cosα+cos2α+cos4α+cos8α），b＝2（cos3α+cos5α+cos6α+cos7α），
则a＋b＝－1
又ab＝2（cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α）·2（cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α）
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＝4cosα（cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α）＋4cos2α（cos3α＋cos5α＋cos6α
＋cos7α）＋4cos4α（cos3α＋cos5α＋cos6α＋cos7α）＋4cos8α（cos3α＋cos5α＋
cos6α＋cos7α）
再展开之后共16项，对这16项的每一项应用积化和差公式，可得：
ab＝2[（cos2α＋cos4α）＋（cos4α＋cos6α）＋（cos5α＋cos7α）＋（cos6α＋cos8α）
＋（cosα＋cos5α）＋（cos3α＋cos7α）＋（cos4α＋cos8α）＋（cos5α＋cos9α）＋（cosα＋
cos7α）＋（cosα＋cos9α）＋（cos2α＋cos10α）＋（cos3α＋cos11α）＋（cos5α＋cos11α）
＋（cos3α＋cos13α）＋（cos2α＋cos14α）＋（cosα＋cos15α）]
注意到cos9α＝cos8α，cos10α＝cos7α，cos11α＝cos6α，cos13α＝cos4α，cos14α＝cos3α，cos15α＝cos2α，有
ab＝2×4（cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α）＝－
4
因为cosα＋cos2α＋cos8α＝（cos2
＋cos
4
）＋cos16
17
17
17
＝2cos
17
cos
3－cos＝2cos
（cos3
－1）
17
17
17
17
2
又0<
3
<
<
3
17
2
所以cos3>
1
172
即cosα＋cos2α＋cos8α>0
又因为cos4α＝cos8>0
17
所以a＝cosα＋cos2α＋cos4α＋cos8α>0
又ab＝-4<0
所以有a>0，b<0
可解得
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a＝1
17，b＝117
2
2
再设c＝2（cosα＋cos4α），d＝2（cos2α＋cos8α），
则c+d＝a
cd＝2（cosα+cos4α）·2（cos2α+cos8α）
＝4（cosαcos2α＋cosαcos8α＋cos4αcos2α＋cos4αcos8α）
＝2[（cosα＋cos3α）＋（cos7α＋cos9α）＋（cos2α＋cos6α）＋（cos4α＋cos12α）]
注意到cos9α＝cos8α，cos12α＝cos5α，有
cd＝2[（cosα＋cos3α）＋（cos7α＋cos8α）＋（cos2α＋cos6α）＋（cos4α＋cos5α）]
＝2（cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α）
＝-1
因为0<α<2α<4α<8α<π
所以cosα>cos2α，cos4α>cos8α
两式相加得cosα＋cos4α>cos2α＋cos8α
或2（cosα＋cos4α）>2（cos2α＋cos8α）
即c>d，又cd＝-1<0
所以有c>0
，d<0
可解得
c＝aa2
4，【d＝a
a2
4】
2
2
类似地，设e＝2（cos3α＋cos5α），f＝2（cos6α＋cos7α）
则e+f＝b
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ef＝2（cos3α＋cos5α）·2（cos6α＋cos7α）
＝4（cos3αcos6α＋cos3αcos7α＋cos5αcos6α＋cos5αcos7α）
＝2[（cos3α＋cos9α）＋（cos4α＋cos10α）＋（cosα＋cos11α）＋（cos2α＋cos12
α）]
注意到cos9α＝cos8α，cos10α＝cos7α，cos11α＝cos6α，cos12α＝cos5α，
有
ef＝2[（cos3α＋cos8α）＋（cos4α＋cos7α）＋（cosα＋cos6α）＋（cos2α＋cos5α）]
＝2（cosα＋cos2α＋cos3α＋cos4α＋cos5α＋cos6α＋cos7α＋cos8α）
＝-1
因为0<3α<5α<6α<7α<π
所以有cos3α>cos6α，cos5α>cos7α两式相加得cos3α＋cos5α>cos6α＋cos7α2（cos3α＋cos5α）>2（cos6α＋cos7α）
即e>f，又ef＝-1<0
所以有e>0
，f<0
可解得
e＝bb2
4，【f＝b
b2
4】
2
2
由c＝2（cosα＋cos4α），得cosα＋cos4α＝c，即cos
2＋cos
8
＝c
2
17
17
2
e＝2（cos3α＋cos5α），应用积化和差公式，得cosαcos4α＝e，即cos2
cos8
4
17
17
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＝e4
因为0<2
<8<
，所以cos2
>cos8
>0
17
17
2
17
17
所以cos2
＝c
c2
4e，【cos
8＝c
c2
4e】
17
4
17
4
于是，我们得到一系列的等式：
a＝1
17，b＝1
17，c＝a
a2
4，e＝b
b2
4，
2
2
2
2
cos2＝c
c2
4e
17
4
有了这些等式，只要依次作出a、b、c、e，便可作出cos2。
17
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步骤一：
给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，
作C点使OC＝1/4OB，
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。
步骤二：
作AE中点M，并以M
为圆心作一圆过
A点，此圆交
OB于F点，
再以D为圆心，作一圆过
F点，此圆交直线
OA于G4
和G6两点。
步骤三：
过G4
作OA垂直线交圆
O于P4，
过G6
作OA垂直线交圆
O于P6，
则以圆O为基准圆，
A为正十七边形之第一顶点
P4为第四顶点，P6为第六顶点。
连接P4P6，以1/2
弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
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历史
最早的十七形画法造人高斯。
高斯（1777~1855年），德国数学家、物理学家和天文学家。
在
童年代就表出非凡的数学天才。
三学会算，八因等差数列求和公式而深得老和同学的
佩。
1799年以代数基本定理的四个漂亮明得博士学位。
高斯的数学成就遍及各个域，其中多
都有着划代的意。
同，高斯在天文学、大地量学和磁学的研究中也都有杰出的献。
1801年，高斯明：
如果k是数的数，那么就可以用直尺和将周k等分。
高斯本人
就是根据个定理作出了正十七形，解决了两千年来而未决的。
道理
当，如果高斯的老告了高斯是道2000多年没人解答出来的目，高斯就不会画出个正
十七形。
明了你不怕困，困就会被攻克，当你惧怕困，你就不会利。
正十七边形的证明方法
正十七形的尺作存在之明:
正17形中心角a,17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0,两除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有
2（cosa+cos2a+⋯+cos8a）=-1
注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令
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x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=（cosa+cos2a+cos4a+cos8a）（cos3a+cos5a+cos6a+cos7a）
=1/2（cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+⋯+cosa+cos15a）
算知xy=-1
又有
x=（-1+根号17）/4,y=（-1-
根号17）/4
其次再:
x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=（-1+
根号17）/4
y1+y2=（-1-根号17）/4
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=（y1）/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的合,故正17形可用尺作出
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