正十七边形尺规作图与详解docx.docx

1、正十七边形尺规作图与详解docx实用标准文档解读“数学王子”高斯正十七边形的作法一、高斯的传奇故事高斯 (Carl Friedrich Gauss 1777.4.301855.2.23 ），德国数学家、物理学家、天文学家。 有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工 的父 算工人 的周薪。 父 算了好一会儿， 于将 果算出来了。 可是万万没想到，他身 来幼嫩的童音 ： “爸爸，你算 了， 数 是”父 感到很惊异，赶忙再算一遍， 果 高斯的答案是 的。 的高斯只有 3 ！高斯上小学了，教他 数学的老 布特勒 (Buttner) 是一个 度 劣的人，他 从不考 学生的接受能力，有 用鞭子 学生。有一

2、天，布德勒 全班学生 算 1+2+3+4+5+ +98+99+100 ？的 和，并且威 ：“ 算不出来，就不准回家吃 ！”布德勒 完，就坐在一旁独自看起小 来，因 他 ，做 一道 目是需要些 的。小朋友 开始 算：“ 1 + 2 3 ， 3+3 6 ，6+4 10 ，”数越来越大， 算越来越困 。但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身 。高斯 ： “老 ，我做完了，你看 不 ？“做完了？ 么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒 都没抬， 手 ：“ 了， 了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸 ：“我 个答案是 的。”布德勒抬 一看，大吃一惊。小石板上写着 5050 ，一点

3、也没有 ！高斯的算法是1 2 3 98 99 10010099 983 21101 101 101 101 101 101 101 100 10100文案大全实用标准文档10100 2 5050高斯并不知道， 他用的 种方法， 其 就是古代数学家 期努力才找出来的求等差数列和的方法， 那 他才八 ！1796 年的一天，德国哥廷根大学。高斯吃完晚 ，开始做 他 独布置的三道数学 。前两道 他不 吹灰之力就做了出来了。 第三道 写在另一 小 条上： 要求只用 和没有刻度的直尺， 作出一个正十七 形。 道 把他 住了所学 的数学知 竟然 解出 道 没有任何帮助。 一分一秒的 去了，第三道 竟毫无 展

4、。他 尽 汁， 着用一些超常 的思路去 求答案。当窗口露出曙光 ，他 于解决了 道 。当他把作 交 ， 感到很 愧。 他 ：“您 我布置的第三道 ， 我竟然做了整整一个通宵， ” 看完作 后， 激 地 他 ： “你知不知道？你解开了一 有两千多年 史的数学 案！ 阿基米得没有解决，牛 也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”原来， 也一直想解开 道 。那天，他是因 拿 了，才将写有 道 目的 条交 了学生。在 件事情 生后，高斯曾回 ： “如果有人告 我，那是一道千古 ，我可能永 也没有信心将它解出来。”文案大全实用标准文档1796 年 3 月 30 日，当高斯差一个月满十

5、九岁时，在期刊上发表关于正十七边形作图的问题。他显然以此为自豪， 还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。 然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形， 而刻着一颗十七角星，原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为： “正十七边形和圆太像了，刻出来之后，每个人都会误以为是一个圆。”1877 年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。上面刻着： “汉诺威王乔治 V. 献给数学王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi) ”，自那之后，高斯就以“数学王子”着称于世。二、高斯正十七边形尺规作图的思路（这里是纯三角法）作正十七边形的关键是作出 c

6、os 2 ，为此要建立求解 cos 2 的方程。17 17设正 17 边形中心角为，则 17 2，即 16 2故 sin16 sin ，而文案大全实用标准文档sin16 2sin8 cos8 4sin4 cos4 cos8 8 sin2 cos2 cos4 cos8 16 sin cos cos2 cos4 cos8 因 sin 0，两边除以 sin ，有16cos cos2 cos4 cos8 1由积化和差公式，得4(cos cos3 )(cos4 cos12 ) 1展开，得4(cos cos4 cos cos12 cos3 cos4 cos3 cos12 ) 1再由积化和差公式，得2(co

7、s3 cos5 )(cos11 cos13 ) (cos cos7 )(cos9 cos15 )1注意到 cos11 cos6 ，cos13 cos4 ，cos9 cos8 ，cos15 cos2 ，有2(cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7 cos8 ) 1设 a2(cos + cos2 +cos4 + cos8 )，b 2(cos3 + cos5 +cos6 + cos7 )，则 ab 1又 ab 2(cos cos2 cos4 cos8 )2(cos3 cos5 cos6 cos7 )文案大全实用标准文档4cos (cos3 cos5 cos6 cos7 )

8、4cos2 (cos3 cos5 cos6 cos7 ) 4cos4 (cos3 cos5 cos6 cos7 )4cos8 (cos3 cos5 cos6 cos7 )再展开之后共 16 项，对这 16 项的每一项应用积化和差公式，可得：ab 2 (cos2 cos4 )(cos4 cos6 )(cos5 cos7 ) (cos6 cos8 )(cos cos5 )(cos3 cos7 )(cos4 cos8 ) (cos5 cos9 )(cos cos7 )(cos cos9 )(cos2 cos10 )(cos3 cos11 ) (cos5 cos11 )(cos3 cos13 )(co

9、s2 cos14 )(cos cos15 )注意到 cos9 cos8 ，cos10 cos7 ， cos11 cos6 ，cos13 cos4 ， cos14 cos3 ，cos15 cos2 ，有ab 24(cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7 cos8 )4因为 cos cos2 cos8 (cos 2cos4)cos 161717172cos17cos3 cos 2cos(cos 3 1 )171717172又 0 31172即 cos cos2 cos8 0又因为 cos4 cos 8 017所以 a cos cos2 cos4 cos8 0又 ab -

10、4 0 ， b 0可解得文案大全实用标准文档a 117 ，b 1 1722再设 c2(cos cos4 )，d 2(cos2 cos8 )，则 c+d acd 2(cos + cos4 )2(cos2 + cos8 )4 (cos cos2 cos cos8 cos4 cos2 cos4 cos8 )2 (cos cos3 )(cos7 cos9 ) (cos2 cos6 )(cos4 cos12 )注意到 cos9 cos8 ， cos12 cos5 ，有cd 2(cos cos3 )(cos7 cos8 )(cos2 cos6 )(cos4 cos5 )2( cos cos2 cos3 c

11、os4 cos5 cos6 cos7 cos8 )-1因为 0 2 4 8 cos2 ，cos4 cos8 两式相加得 cos cos4 cos2 cos8 或 2(cos cos4 ) 2(cos2 cos8 )即 c d ，又 cd -1 0， d 0可解得c aa 24 ，【 d aa 24 】22类似地，设 e 2(cos3 cos5 )，f 2(cos6 cos7 )则 e+f b文案大全实用标准文档ef 2(cos3 cos5 )2(cos6 cos7 )4(cos3 cos6 cos3 cos7 cos5 cos6 cos5 cos7 )2 (cos3 cos9 ) (cos4

12、cos10 ) (cos cos11 ) (cos2 cos12)注意到 cos9 cos8 ，cos10 cos7 ， cos11 cos6 ，cos12 cos5 ，有ef 2(cos3 cos8 )(cos4 cos7 )(cos cos6 )(cos2 cos5 )2( cos cos2 cos3 cos4 cos5 cos6 cos7 cos8 )-1因为 0 3 5 6 7 cos6 ，cos5 cos7 两式相加得 cos3 cos5 cos6 cos7 2(cos3 cos5 ) 2(cos6 cos7 )即 e f ，又 ef -1 0， f 0可解得e bb 24 ， 【f

13、 bb 24 】22由 c2(cos cos4 )，得 cos cos4 c ，即 cos2 cos8 c217172e2(cos3 cos5 )，应用积化和差公式， 得 cos cos4 e ，即 cos 2cos 841717文案大全实用标准文档e 4因为02 8 cos 80171721717所以 cos 2 cc 24e ，【 cos8 cc 24e 】174174于是，我们得到一系列的等式：a 117 ，b 117 ，c aa 24 ，e bb 24 ，2222cos 2 cc 24e174有了这些等式，只要依次作出 a、b 、c、e，便可作出 cos 2 。17文案大全实用标准文档

14、步骤一：给一圆 O ，作两垂直的半径 OA 、 OB ，作 C 点使 OC 1/4OB ，作 D 点使 OCD 1/4 OCA ，作 AO 延长线上 E 点使得 DCE 45 度。步骤二：作 AE 中点 M，并以 M为圆心作一圆过A 点，此圆交OB 于F点，再以 D 为圆心，作一圆过F 点，此圆交直线OA 于G4和 G6 两点。步骤三：过 G4作 OA 垂直线交圆O于 P4，过 G6作 OA 垂直线交圆O于 P6，则以圆 O 为基准圆，A 为正十七边形之第一顶点P4 为第四顶点， P6 为第六顶点。连接 P4P6 ，以 1/2弧 P4P6 为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所

15、有顶点。文案大全实用标准文档历史最早的十七 形画法 造人 高斯 。高斯 (17771855 年 ) ，德国数学家、物理学家和天文学家。在童年 代就表 出非凡的数学天才。三 学会算 ，八 因 等差数列求和公式而深得老 和同学的 佩。 1799 年以代数基本定理的四个漂亮 明 得博士学位。高斯的数学成就遍及各个 域，其中 多都有着划 代的意 。同 ，高斯在天文学、大地 量学和磁学的研究中也都有杰出的 献。1801 年，高斯 明：如果 k 是 数 的 数 ，那么就可以用直尺和 将 周 k 等分。高斯本人就是根据 个定理作出了正十七 形，解决了两千年来 而未决的 。道理当 ，如果高斯的老 告 了高斯

16、是道 2000 多年没人解答出来的 目，高斯就不会画出 个正十七 形。 明了你不怕困 ，困 就会被攻克，当你惧怕困 ，你就不会 利。正十七边形的证明方法正十七 形的 尺 作 存在之 明 : 正 17 形中心角 a, 17a=360 度 ,即 16a=360 度 -a故 sin16a=-sina, 而sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a因 sina 不等于 0, 两 除之有 : 16cosacos2acos4acos8a=-1又由 2cosacos2a=cosa+cos3a 等 ,有2(cosa+cos2a+

17、+cos8a)=-1注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a, 令文案大全实用标准文档x=cosa+cos2a+cos4a+cos8 ay=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a有 :x+y=-1/2又 xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+ +cosa+cos15a) 算知 xy=-1又有x=(-1+ 根号 17)/4,y=(-1-根号 17)/4其次再 :x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8ay1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a故有 x1+x2=(-1+根号 17)/4y1+y2=(-1- 根号 17)/4最后 ,由 cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2可求 cosa 之表达式 ,它是数的加减乘除平方根的 合 , 故正 17 形可用尺 作出文案大全