度人教B版高中数学选修23教学案第二课时排列的应用Word.docx
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度人教B版高中数学选修23教学案第二课时排列的应用Word
【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修2-3教学案-第二课时排列的应用（Word）
无限制条件的排列问题
[例1] 有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二（4）班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
[思路点拨] 本题的实质是从5个元素中选出3个元素的排列问题．
[精解详析] 从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列．
因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60种．
[一点通]
没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
1．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数为（ ）
A．123 B．312
C．AD．12＋11＋10
解析：
从12名选手中选出3名并安排奖次，共有A种不同的获奖情况．
答案：
C
2．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，则不同的选择方案共有（ ）
A．120种B．360种
C．720种D．480种
解析：
从6人中选出4人进行排列，共有A＝360种排法．
答案：
B
元素的“在”与“不在”问题
[例2] 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
（1）六位奇数？
（2）个位数字不是5的六位数？
[思路点拨] 这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．
[精解详析]
（1）法一：
从特殊位置入手（直接法）
分三步完成，第一步先排个位，有A种排法；第二步排十万位，有A种排法；第三步排其他位，有A种排法．故共有AAA＝288个六位奇数．
法二：
从特殊元素入手（直接法）
0不在两端，有A种排法；从1,3,5中任选一个排在个位，有A种排法；其他位上用剩下的元素作全排列，有A种排法．故共有AAA＝288个六位奇数．
法三（间接法）：
6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的排列有3A个，1,3,5在个位上、0在十万位上的排列有3A个，
故对应的六位奇数的排列数为
A－3A－3A＝288个．
（2）法一（间接法）：
0在十万位或5在个位的排列都不是符合题意的排列，这两类排列中都含有0在十万位且5在个位的情况．
故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504个．
法二（直接法）：
因为十万位数字的排法与个位上排0与不排0而有所不同，所以分两类．
第一类，当个位排0时，有A个；
第二类，当个位不排0时，有AAA个．
故共有符合题意的六位数A＋AAA＝504个．
[一点通]
1．排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素．解决该类问题的方法主要是“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足的特殊位置．
2．解决此类问题常用方法：
（1）直接法：
直接根据约束条件分步或分类计数；
（2）间接法：
问题的正面分的情况较多，或计算较复杂，而反面情况较少或计算简单时选用间接法．
3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．
解析：
分两步完成：
第一步，安排三名主力队员，有A种；第二步安排另2名队员，有A种，所以共有A·A＝252种．
答案：
252
4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中，若不许有空袋，且红口袋不能装入红球，则有________种不同的放法．
解析：
先装红球，且每袋一球，共有A×A＝96种．
答案：
96
5．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为________（用数字作答）．
解析：
先在前3节课中选一节安排数学，有A种安排方法；在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有A种安排方法；其余4节课无约束条件，有A种安排方法．根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A·A·A＝288.
答案：
288
元素的“相邻”或“不相邻”问题
[例3] （10分）3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．
（1）全体站成一排，男、女各站在一起；
（2）全体站成一排，男生必须站在一起；
（3）全体站成一排，男生不能站在一起；
（4）全体站成一排，男、女各不相邻．
[思路点拨]
（1）
（2）中元素相邻，可用“捆绑法”，（3）（4）中元素不相邻，可用“插空法”．
[精解详析]
（1）男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；
女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；
全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．由分步计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法．
（2）三个男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法．
（3）先安排女生，共有A种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A种排法，
故共有A·A＝1440种排法．
（4）排好男生后让女生插空，
共有A·A＝144种排法．
[一点通]
1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，可先将其看成一个“大元素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列．
2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．
6．（辽宁高考）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．144B．120
C．72D．24
解析：
剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
答案：
D
7．用两个字母、五个数字组成一组密码，且字母、数字不能分开，则共能组成________个不同的密码．
解析：
共组成A·A·A＝480个不同的密码．
答案：
480
8．7人站成一排．求：
（1）甲、乙两人相邻的排法有多少种？
（2）甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
（3）甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？
解：
（1）（捆绑法）将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A种排法．甲、乙两人可交换位置，有A种排法．故共有A·A＝1440种排法．
（2）法一（间接法）：
7人任意排列，有A种排法，甲、乙两人相邻有A·A种排法，故共有A－A·A＝3600种甲、乙不相邻的排法．
法二（插空法）：
将其余5人排列，有A种排法，5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A种排法．故共有A·A＝3600种排法．
（3）（捆绑法）将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A种排法，甲、乙、丙三人有A种排法，共有A·A＝720种排法．
解决排列应用题的常用方法：
（1）位置分析法：
以位置为主，特殊（受限）的位置优先考虑．有两个以上的约束条件时，往往根据其中的一个条件分类处理．
（2）元素分析法：
以元素为主，先满足特殊（受限）元素的要求，再处理其他元素．有两个以上的约束条件时，往往考虑一个元素的同时，兼顾其他元素．
（3）间接法：
也叫排异法，直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可考虑用间接法．
（4）插空法：
先把无限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好的元素的空中．要注意无限制条件的元素的排列数及所形成的空的个数，此方法适用于“不相邻”问题的排列．
（5）捆绑法：
把要求在一起的“小集团”看成一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列．此法适用于“相邻”问题的排列．
1．将2位新同学分到4个班中的2个班中去，共有的分法种数为（ ）
A．4 B．12
C．6D．24
解析：
共有A＝12种分法．
答案：
B
2．有不同的5本书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．现把它们摆放成一排，要求2本数学书不能相邻，则这5本书的不同摆放种数是（ ）
A．24B．36
C．48D．72
解析：
先排语文、物理书，有A种方法．然后将数学书插空，有A种方法，由分步乘法计数原理，得不同摆放种数为A×A＝72.
答案：
D
3．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．12种B．18种
C．24种D．36种
解析：
先排第一列，有A种方法；再排第二列，有2种方法．由分步乘法计数原理知，共有A×2＝12种排列方法．
答案：
A
4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）
A．6种B．12种
C．24种D．30种
解析：
分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次从剩余3门中任选2门进行排列，有A＝6种排列方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6＝24种．
答案：
C
5．为配制某种染色剂，需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为________．（用数字作答）
解析：
先排无机染料和添加剂，有A种不同的排法，再排有机染料．因为它们不能相邻，所以用插空的方法排有机染料，有A种不同的排法．共有AA＝1440种不同的试验方法．
答案：
1440
6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．（用数字作答）
解析：
先选出文娱委员，有3种选法，再选出学习委员、体育委员，有A＝12种选法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．
答案：
36
7．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像（排成一排）．
（1）要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
（2）要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
解：
（1）把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A·A＝144种排法．
（2）第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空（包括两端），有A种排法，共有A·A＝480种排法．
8．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法：
（1）一个唱歌节目开头，另一个压台．
（2）2个唱歌节目不相邻．
（3）2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
解：
（1）先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1440种排法．
（2）先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空（包括两端）中任选2个排唱歌节目，有A种插空方法，所以共有A·A＝30240种排法．
（3）把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插空法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，由分步乘法计数原理知，符合要求的排法共有：
A·A·A＝2880种．
1．2.2 组 合
组合与组合数
从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．
问题1：
所得商和积的个数相同吗？
提示：
不相同．
问题2：
它们是排列吗？
提示：
从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．
1．组合
（1）一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．
（2）如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同组合．
2．组合数
从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号C表示.
组合数公式
从1,3,5,7中任取两个数相除．
问题1：
可以得到多少个不同的商？
提示：
A＝4×3＝12个．
问题2：
如何用分步法求商的个数？
提示：
第一步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第二步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA.
问题3：
你能得出计算C的公式吗？
提示：
能．因为A＝CA，所以C＝.
问题4：
试用列举法求从1,3,5,7中任取两个元素的组合数．
提示：
1、3,1、5,1、7,3、5,3、7,5、7，共6种．
问题5：
你能把问题3的结论推广到一般吗？
提示：
可以，从n个不同元素中取出m个元素的排列数可由以下两个步骤得到：
第一步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有C种不同的取法；
第二步，将取出的m个元素全排列，共有A种不同的排法．
由分步乘法计数原理知，A＝C·A，故C＝.
组合数公式
组合数
公式
乘积形式C
＝
＝
阶乘形式C
＝
性质
C
＝
；C
＝
备注
①n，m∈N＋，m≤n；②规定C
＝1.C
＝1
1．组合的定义
定义包含两个基本内容：
一是“取出元素”；二是“合成一组”．“合成一组”表示与元素的顺序无关．
2．相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．
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