届湖南省长郡中学衡阳八中江西省南昌二中等十四校高三第二次联考理数试题.docx
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届湖南省长郡中学衡阳八中江西省南昌二中等十四校高三第二次联考理数试题
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长郡中学、衡阳八中、江西省（南昌二中）等十四校
高三第二次联考文数试题数学（理科）试卷
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
1.设集合，，则（）
A．B．C．D．
2.复数（为虚数单位）的共轭复数为（）
A．B．C．D．
3.下列有关命题的说法中错误的是（）
A．设，则“”是“”的充要条件
B．若为真命题，则，中至少有一个为真命题
C．命题：
“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题
D．命题“，且”的否定形式是“，且”
4.已知不等式的解集为，则二项式展开式的常数项是（）
A．B．C．D．
5.若函数，且，，的最小值是，则的单调递增区间是（）
A．B．
C．D．
6.某几何体的三视图如图所示（单位：
），则该几何体的表面积（单位：
）是（）
A．B．
C．D．
7.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借、、、四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅类课外书，则不同的借阅方案种类为（）
A．B．C．D．
8.如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
9.一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（）
A．B．C．D．
10.已知点，，点的坐标，满足，则的最小值为（）
A．B．C．D．
11.过圆：
的圆心的直线与抛物线：
相交于，两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最大值为（）
A．B．C．D．
12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，
13.已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为．
14.已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为．
15.三棱锥的底面是等腰三角形，，侧面是等边三角形且与底面垂直，，则该三棱锥的外接球表面积为．
16.已知是以为周期的上的奇函数，当，，若在区间，关于的方程恰好有个不同的解，则的取值范围是．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，.
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围.
18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，已知，，于.
（1）求证：
；
（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值.
19.随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随即抽取人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：
岁以下
岁或岁以上
总计
认为某电子产品对生活有益
认为某电子产品对生活无益
总计
（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？
（2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，奖金额以及发放的概率如下：
奖金额
元（谢谢支持）
元
元
概率
现在甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为，求的分布列和数学期望.
参与公式：
临界值表：
20.已知椭圆：
.
（1）若椭圆的离心率为，且过右焦点垂直于长轴的弦长为，求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，试判断是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.
21.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，，为自然对数的底数.当时，若，，不等式成立，求的最大值.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：
（其中为常数）.
（1）若曲线与曲线有两个不同的公共点，求的取值范围；
（2）当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数，.
（1）求的解集；
（2）若有两个不同的解，求的取值范围.
2018届高三·十四校联考第二次考试
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5:
DBDBA6-10:
CCDBA11、12：
AB
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.【解析】
（1）由及正弦定理得，
所以，.
（2），，所以，
，
为锐角三角形，的范围为，则，
∴的取值范围是，∴.
18.【解析】
（1）连接，
∵，，是公共边，
∴，∴，
∵，∴，
又平面，平面，，
∴平面，又平面，
∴.
（2）法一：
过作于，连接，
∵平面平面，平面，平面平面，，
∴平面，又平面，
∴，又，
∴平面，
∴为二面角的平面角，
∵，，，，
∴，，又，所以，
∴，，，
∴二面角的余弦值为.
法二：
由平面，平面平面，
所以，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示.
因为，，，
所以，，，
则，，，，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
又平面的一个法向量为，
设二面角所成的平面角为，
则，
显然二面角是锐角，故二面角的余弦值为.
19.【解析】
（1）依题意，在本次的实验中，的观测值，
故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为对电子产品的态度与年龄有关系.
（2）的可能取值为，，，，，
，，
，
，
，
.
20.【解析】
（1），即，，
不妨令椭圆方程为，
当时，，得出，
所以椭圆的方程为.
（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，
联立方程得，
即，
∴，，
∴
为定值.
21.【解析】
（1）对函数求导得，
令，得，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）当时，由
（1）可知，
，，不等式成立等价于当时，恒成立，
即对恒成立，
因为时，
所以对恒成立，
即对恒成立，
设，
则，
令，则，
当时，，
所以函数在上单调递增，
而，，
所以，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，，，所以函数单调递减；
当时，，，所以函数单调递增，
所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，
因为，
又，且，
所以的最大整数值是.
22.【解析】
（1）由已知：
，；：
.
联立方程有两个解，可得.
（2）当时，直线：
，设上的点为，，则，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为.
23.【解析】
（1），
若，
可得.
（2）结合图象易得.
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