届高考数学 问题11 数集与点集的运算提分练习.docx

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届高考数学问题11数集与点集的运算提分练习

1.1数集与点集的运算

一、考情分析

集合是高考数学必考内容,一般作为容易题.给定集合来判定集合间的关系、集合的交、并、补运算是考查的主要形式,常与函数的定义域、值域、不等式（方程）的解集相结合,在知识交汇处命题,以选择题为主,多出现在试卷的前3题中．

二、经验分享

（1）用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合；如下面几个集合请注意其区别：

①；②；③；④.

（2）二元方程的解集可以用点集形式表示,如二元方程的整数解集可表示为.

（3）集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

（4）空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系.

（5）一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况．

（6）解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点：

①紧扣新定义．首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质．

三、知识拓展

1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．奇数集：

.

4.数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:

若从某个非空数集中任选两个元素（同一元素可重复选出）,选出的这两个元素通过某种（或几种）运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种（或几种）运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）,仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.

四、题型分析

（一）与数集有关的基本运算

【例1】已知全集为R,集合A＝,B＝,则A∩RB等于（　　）．

A．{x|x≤0}B．{x|0≤x＜2或x＞4}

C．{x|2≤x≤4}D．{x|0

【分析】将集合A,B化简,结合数轴求A∩∁RB.

【解析】

（1）A＝{x|x≥0},B＝{x|2≤x≤4}．∴RB＝{x|x＞4或x＜2}．∴A∩RB＝{x|x≥0}∩{x|x＞4或x＜2}

＝{x|0≤x＜2或x＞4}．

【点评】对于集合的运算,一般先把参与运算的集合化简,求解本题的关键是准确求出B,并注意端点值的取舍．若给定集合涉及不等式的解集,可借助数轴进行．

【小试牛刀】【2017全国1理1】已知集合,,则（）.

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】,,所以,.

故选A.

（二）与点集有关的基本运算

【例2】已知,则（）

A．－2B．－6C．2D．一2或－6

【分析】首先分析集合是除去点的直线,集合表示过定点的直线,等价于两条直线平行或者直线过,进而列方程求的值．

【点评】分析集合元素的构成,将集合运算的结果翻译到两条直线的位置关系是解题关键．

【小试牛刀】【2017全国3理1】已知集合A=,,则中元素的个数为（）.

A．3B．2C．1D．0

【答案】B

【解析】集合表示圆上所有点的集合,表示直线上所有点的集合,如图所示,所以表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即元素的个数为2.故选B.

（三）根据数集、点集满足条件确定参数范围

【例3】设常数a∈R,集合A＝{x|（x－1）（x－a）≥0},B＝{x|x≥a－1},若A∪B＝R,则a的取值范围为（　　）

A．（－∞,2）B．（－∞,2]C．（2,＋∞）D．[2,＋∞）

【分析】先得到A＝（－∞,1]∪[a,＋∞）,B＝[a－1,＋∞）,再根据区间端点的关系求参数范围.

【点评】求解本题的关键是对a进行讨论.

【小试牛刀】已知P＝{x|2

【答案】（5,6]

【解析】因为P中恰有3个元素,所以P＝{3,4,5},故k的取值范围为5

（四）数集、点集与其他知识的交汇

【例4】已知集合M是满足下列性质的函数的全体：

存在非零常数T,对任意∈R,有成立.

（1）函数是否属于集合M？

说明理由；

（2）设函数且）的图象与的图象有公共点,证明：

∈M；（3）若函数∈M,求实数的取值范围.

【分析】抓住集合M元素的特征,集合M是由满足的函数构成．

【解析】

（1）对于非零常数T,f（x+T）=x+T,Tf（x）＝Tx．

因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f（x）＝xM．

（2）因为函数f（x）=ax（a>0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点,

所以方程组：

有解,消去y得ax=x,

显然x=0不是方程的ax=x解,所以存在非零常数T,使aT=T．

于是对于f（x）=ax,有

f（x＋T）=ax+T=aT·ax=T·ax=Tf（x）,故f（x）=ax∈M．

即sin（kx－k＋）=sinkx成立,则－k＋=2m,m∈Z,即k=－（2m－1）,m∈Z．综合得,实数k的取值范围是{k|k=m,m∈Z}．

【点评】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：

其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围,进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质,得到具有某种性质的曲线的位置关系,进而转化为几何问题处理．

【小试牛刀】在直角坐标系中,全集,集合,已知集合的补集所对应区域的对称中心为,点是线段上的动点,点是轴上的动点,则周长的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】∵点到直线的距离∴直线始终与圆相切,

∴集合表示除圆以外所有的点组成的集合,

∴集合表示圆,其对称中心

如图所示：

设是点关于直线线段的对称点,设,

则由求得,可得．设关于轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为,则此时,的周长为,为最小值,

（五）与数集、点集有关的信息迁移题

【例5】若集合A具有以下性质：

（Ⅰ）0∈A,1∈A；

（Ⅱ）若x∈A,y∈A,则x－y∈A,且x≠0时,∈A.

则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是（　　）

（1）集合B＝{－1,0,1}是“好集”；

（2）有理数集Q是“好集”；

（3）设集合A是“好集”,若x∈A,y∈A,则x＋y∈A.

A．0B．1C．2D．3

【分析】抓住新定义的特点,根据“好集”满足的两个性质,逐个进行验证．

【点评】紧扣新定义,抓住新定义的特点,把新定义叙述的问题的本质搞清楚,并能够应用到具体的解题过程中．

【小试牛刀】【2017浙江温州高三模拟】已知集合,若实数,满足：

对任意的,都有,则称是集合的“和谐实数对”,则以下集合中,存在“和谐实数对”的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C.

【解析】分析题意可知,所有满足题意的有序实数对所构成的集合为,将其看作点的集合,为中心在原点,,,,为顶点的正方形及其内部,A,B,D选项分别表示直线,圆,双曲线,与该正方形及其内部无公共点,选项C为抛物线,有公共点,故选C.

五、迁移运用

1．【2018届四川成都高三上学期一诊模拟】已知集合若则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】集合,,则,故选D.

2．【2018届安徽蒙城高三上学期“五校”联考】已知集合,若,则的值为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】因为,且,所以,所以,故选A.

3．【2018届湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考】已知集合,,则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】,选A.

4．【2018届湖北省八校高三上学期第一次联考】已知集合,则满足条件的集合的个数为（）

A.2B.3C.4D.8

【答案】C

【解析】∵,又,∴集合的个数为个,故选C．

5．【2018届湖南十校12月联考】已知集合,,则中所有元素的和为（）

A.2B.3C.5D.6

【答案】B

【解析】集合,.

所有元素的和为3.故选B.

6．【2018届湖北八校高三12月联考】已知集合,则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】由得：

,则,故,故选C.

7．【2018届河北衡水市高考模拟联考】设集合,,则下列运算正确的是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】,则,故选.

8．【2018届浙东北联盟高三上学期期中考试】已知集合,,若,则为（）

A.B.C.D.

【答案】D

9．【2018届辽宁鞍山市高三上学期第二次模拟】集合的真子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

所以真子集的个数为,故选C

10.【2016全国丙理1】设集合,,则（）.

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】由,得

故选D.

11.【2016全国甲理2】已知集合,,则（）.

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】因为,

所以,所以.故选C.

12.【2016全国乙理1】设集合,,则（）.

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】由题意可得,,所以.故选D.

13.【2017全国2理2】设集合,.若,则（）.

A．B．C．D．

【答案】C

14．【2017届河北磁县一中高三11月月考】若集合,则等于（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】因为,所以,故选C.

15．【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺】已知集合,则集合B不可能是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】,,故选D.

16.已知集合M是由具有如下性质的函数组成的集合：

对于函数,在定义域内存在两个变量且时有．则下列函数①；②；③；④在集合M中的个数是

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】由题对于函数,在定义域内存在两个变量且时有即

即对于函数,在定义域内存在两个变量且时,若为增函数,则,若为减函数,则,

对于①,不合题意

对于②,取特殊值验证,不合题意

对于③,函数在单调递增,在定义域内存在两个变量且时,在单调增区间时有,此时只须时可得.满足题意

对于④,函数在单调递减,在定义域内存在两个变量且时,在单调减区间时有,满足题意.

17．设是公比为的等比数列,,令,若数列有连续四项在集合中,则（）

A．B．C．D．

【答案】A

18.【2015湖北高考】已知集合A＝{（x,y）|x2＋y2≤1,x,y∈Z},B＝{（x,y）||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB＝{（x1＋x2,y1＋y2）|（x1,y1）∈A,（x2,y2）∈B},则AB中元素的个数为（　　）

A．77B．49C．45D．30

【答案】C

【解析】如图,集合A表示如图所示的所有圆点“”,集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合AB显