圆中多解题阴影面积.docx
《圆中多解题阴影面积.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆中多解题阴影面积.docx（42页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
圆中多解题阴影面积
不规则图形面积的求法
求不规则图形面积的基本思路是通过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转化为规则图形或规则图形面积的和差。
一、等积替换
（1）三角形等积替换
依据：
等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相等。
例1、如图1所示，半圆0中，直径AB长为4,C、D为半圆0的三等分点.，求阴影部分的面积.
1
解：
连结0C、0D,
由C、D为半圆0的三等分点知：
ZC0D二600,且ZADC二Z
DAB二30°,
CD〃AB,所以S^kDC=S/pDC（同底等咼的二角形面积相等）
・・・S阴影=S扇形ocd-^
化一勿
3603
例2、如图2所示，在矩形ABCD中，AB二1,以AD为直径的半圆与BC切于M点，求阴影部分面积.
（2）弓形等积替换
依据：
等弧所对的弓形面积相等。
例3、在RTAABC中,ZB二90°
AB二BC二4,AB为直径的。
0交AC于点D,
求图
屮两个阴影部分的面积之和
二、整体思想（各部分的面积无法求得,
但各部分面积的和或差可求得）
大圆的弦AB与小圆相切于C,且AE=6,
例4、如图5所示，一个同心圆环中,求圆环的面积
例5、如图：
圆A、B、C、D、E相互外离，它们的半径都是1,心，得五边形ABCDE,则图中五个扇形的面积之和是—o
顺次连结五个圆的圆
（2002年甘肃中考题）
B图8C
图9
分析：
圆心角不知大小，所以每个扇形的面积无法求得，但是所有的圆心角之和可求得ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=（5-2）X180°二540°
例6、如图7所示，直角坐标系中，以原点为圆心的三个同心圆，最大的圆为单位圆（即半径为1），
求图中阴影部分的面积之和。
分析：
各部分的面积之和无法求得，但将第二、三彖限的阴影绕点0旋转至第一象限后
得扇形OABo
三、求重叠部分的面积（重叠部分的面积等于组成图形的各部分的面积之和减去组合成的新图形的面积之差。
）
例7、如图8所示，正方形ABCD的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆，求阴影部分的面积之和。
（1997年广东中考题）
例8、如图9所示，国际奥委会会旗上的图案是由代表五
大洲的五个圆环组成，每个圆环的内、外径分别是8和10,屮两两相交成的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积为122.5平方单位，计算每个小
曲边四边形的面积为—平方单位。
分析：
图中黑色部分是五个圆环的重叠部分，所以这
8个曲边四边形的面积Z和等于五个圆环的面积之和减去图屮五个圆环覆盖的面积。
W：
S曲四边形=-S阴影和=一圆环一S覆盖
88
1
四、分割转化
（把不规则图形分割为规则图形的面积的和或差。
）
—单5厂122.5）（平方单位）
例9、如图10所示，：
正方形ABCD的边长为％以相邻的两边为直径分别画两个半圆.求
阴影部分的面积•
例10、如图：
四边形ABCD为某住宅区的示意图，其周长为800米，为美化环境，计划在住宅区周围5米以外作为绿化带（虚线以内，四边形以外）；求此绿化带的面积。
分析：
要求该不规则图形的面积，将阴影分割为四个矩形和四个扇形，进而求得这个阴影部分的面积。
例11、（2007年，滨洲）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，
则图中阴影部分的面积之和为个平方单位。
分析：
图中各扇形的圆心角无法求，但是所有扇形的圆心角这和恰好是n边形的外
角和，显然等于360°o即Z1+Z2+Z3++Zn=360°
图10
F
G
N
H蜃11
ABCD
中，AD//BC,
ZA=ZB=90°
E是AB的中点，连接DE、CE,
AD+EC二CD,
12、如图，直角梯形
以下结论
（1）ZCED=90°；
（2）DE平分ZADC；
（3）以AE为直径的圆与CD相切；（4）以CD为直径的圆与AE
相切；
（5）ACDE的面积等于梯形ABCD面积的一半.
其中正确结论的个数为（）
A・2个B.3个
C
、4个
BC
13、如图，在半径为,圆心角等于45°的扇形AOB内部,作一个正方形CDEF,使
点C在0A上，点
E在0B上，点F在弧AB上,
则阴影部分的面积为（结果保留
证明题：
（1）如图，AB是。
0的直径，BC丄AB,AD〃0C交G）0于D点，求证：
CD为。
0的切线；
（2）如图，以R込ABC的直角边AB为直径作00,交斜边AC于D,点E为BC的中点，连结DE,求证：
DE是00的切线.
（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作。
0,交底边BC于D,交另一腰于F,若DE
丄AC于E（或E为CF屮点），求证：
DE是O0的切线.
（4）如图，AB是O0的直径，AE平分ZBAF，交。
0于点E,过点E作直线ED丄AF,
交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点
C,求证：
CD是。
0的切线.
圆中的计算与证明
1、如图在△ABC中，ZC二90°，点0为AB上一点，以0为圆心的半圆切AC于E,交AB
于D,AC二12,BC二9,求AD的长。
A
B
D
40°
2、如图，AB是00的直径，BD是的弦，延长BD到点C，使DCBD，连结AC,过
点D作DEAC丄垂足为E.
（1）求证：
AB1C；
（2）求证：
DE为的切线;
3、如图AB是。
O的直径，C,D是圆上的两点，若ZABD=40°，求ZBCD得度数。
4、如图，O0中，弓玄AB±弦CD于E,0F±AB于F,0G丄CD于G,
AE=8cm,EB=4cm,贝lj0G二cm
5、（镇江市）如图，正方形ABCD内接于O0,E为DC的中点，直线
于点F.若的半径为罷,则BF的长为
6、
（扬州市）如图，AB是00的直径，ZACD=15：
，,则ZBAD的度数为
7、
边长为a的正方边形的边心距为
8、
半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边
比为
9、）如图，AB、AC是的两条切线，切点分别为B、C,
的一点，已知ZBAC=80：
那么ZBDC=
度.
长之
B
D是优弧能上
10、△ABC是半径为2厘米的圆内接三角形，若BC=如厘米，则ZA
的度数为
11、
（沈阳市）如图，已知OA、0B是。
0的半径，且0A=5,ZA0B=
AC丄0B于C,则图中阴影部分的面积（结果保留兀）S=
12、（哈尔滨市）将两边长分别为4厘米和6厘米的矩形以其一边所在
A
B
0
直线为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积为
—平方厘米.
13、（陕西省）如图，在。
0的内接四边形ABCD中，ZBCD=13（f，则ZB0D的度数是
14、（甘肃省）正三角形的内切圆与外接圆面积之比为
厘米，内切圆半径是
15扬州市）边长为2厘米的正六边形的外接圆半径是
厘米（结果保留根号）•
16、（贵阳市）某种商品的商标图案如图所求（阴影部分），已知菱形ABCD的边长为4,
ZA=60；
BD是以A为圆心，AB长为半径的弧,
CD是以B为圆心，BC长为半径的弧,
则该商标图案的面积为
B
17、宁夏回族自治区）圆锥的母线长为
米，高为3厘米，在它的侧面展开图中，
18、
（沈阳市）要用圆形铁片截出边长为
扇形的圆心角是度.
4厘米的正方形铁片，则选用的
圆形铁片的直径最小要厘米.
19、（重庆市）如图，四边形ABCD内接于0O,AD〃Cc小广、
Be,AB+CD=AD+BC,
若AD=4,BC=6,则四边形ABCD的面积为・
20、（天津市）已知。
0屮，两弦AB与CD相交于点E,若E为AB的屮点,
CE:
ED=1：
4,AB=4,则CD的长等于
21（北京市海淀区）一种圆状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为“20厘米X60米”，经测量这筒保鲜膜的内径％、夕卜径的长分别为3.2厘米、4.0厘米，则该种保鲜膜的厚度约为厘米（兀取3.14,结果保留两位有效数字）.
22、（北京市东城区）在RtAABCZC=
31
AB=,BC=旋
转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是・
23、山东省）如图，点P是半径为5的O0内一点，且OP=3,在过点
P的所有弦中，长度为整数的弦一共有个
以AC所在直线为轴
24、（宁夏回族自治区）已知圆的内接正六边形的周长为
18,那么
圆的面积为
25、（甘肃省）如图，在AABC中，ZBAC=90,AB=AC=2,以AB为直径的圆交BC
于D,则图中阴影部分的面积为
26、（甘肃省）弧长为6n的弧所对的圆心角为60,则弧所在的圆的半径为
27、北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20n平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此
圆锥的底面半径的长等于
28、（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，
“今在圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？
”用
现在的数学语言表述是：
“如图，CD为。
0的直径，弦AB丄CD,垂足为E,CE=1寸，AB
=寸，求直径CD的长”.依题意，CD长
29、（河南省）如图，O、0、0、0、0相互外离，它们的半径都是1,顺次连
ABCDE
结五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形（阴影部分）的面积Z和是
（第32题）
6厘米，母线长为5厘米，围
30、（贵阳市）一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为
成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是
31、（哈尔滨市）如图，圆内接正六边形ABCDEF中，AC、BF交于点M.则SAABM:
SAAFM
32、女口图，RtAABC中，ZC二90。
，ZABC二30。
AB二6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE,则AD的取值范围是・
典型基本图型:
图形1：
如图1：
AB是。
0的直径，点E、C是00上的两点，基本结论有:
（1）在“AC平分ZBAE”；“AD丄CD”；“DC是。
0的切线”三个论断中，知二推一。
（2）如图2、3,DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。
（3）如图（4）：
杵CK丄AB
①CK二CD；BK二DE；CK二
丄于K,则：
Z
BE二DC；AE+AB二2BK二2AD;
②ZlADCsZACB=AC2二AD?
AB
（4）在
（1）中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG丄CD
于E时（如图5）,则:
4DG2
1DE二GB；②DC二CG；③AD+BG二AB；④AD?
BG二二DC2
图形2：
如图：
RtZABC中，ZACB二90。
。
点0是AC上一点，以0C
A
AC于点E,基本结论有：
图'
（1）在“B0平分ZCBA”；“BO〃DE”；“AB是。
0的切线”；“BD二BC”。
四个论断
中，知一推三。
（2）①G是/BCD的内心；②
（3）在图
（1）中的线段
_1
、2
③/BCOs/CDEBO?
DE=CO?
CE=CE2；
aE1
BC、CE、AE、ADF知二求四。
（4）如图（3）,若①BC二CE,
则：
②AD二2二mnZADE
®BC：
AC:
AB二3：
4：
5；
（在①、②、③中知一推二）④设
BE、CD交于点H,，贝IJBH二2EH
图形3：
如图：
RtNABC中，ZABC二90°，以AB为直径作。
0交AC于D,基本结论有:
如右图：
（1）DE切G）0
E是BC的中点;
（2）若DE切00,贝IJ：
①DE=BE=CE；
2D、0、B、E四点共圆=ZCED二2ZA圆中多解问题
DE_CD_BC
3CD・CA二4BE2,RBDBA
图形特殊化：
在
（1）的条件下
如图1：
DE〃ABU/ABC、Z1CDE是等腰直角三角形;
DE1BE
如阿約延长线迂柏葫廷
©EF3②
\0J
B
C
A
F
交AC于点F,
图形4：
如图，ZABC基本结论有：
屮，AB二AC,以
图1
（1）DE丄AC=DE
（2）在DE丄AC或DE切2：
下，有：
①/DFC是等腰三角形；
②EF二EC；③。
是衬点。
④与基本图形1的结论重合。
BF
⑤连AD,产生母子三角形。
图形5：
：
以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,
A
B
基本结论有:
（1）如图1：
©AD+BC=CD；
1
AB
④AD・BC=42二R2；
②ZCOD二ZAEB二90°；
“CD是©0的切线”
③0D平分ZADC四个论断中，知一推
（或0C
三）
（2）如图2,连AE、C0,则有：
CO〃AE,CO?
AE二2R2（与基本图形2重合）
（3）如图3,若EF丄AB于F,交AC于G,贝归EG二FG.
图形6：
如图：
直线PR丄O0的半径0B于E,PQ切O0于Q,BQ交直线PQ于R。
基本结论有：
10
圆中多解问题
（1）PQ二PR3PQR是等腰三角形）；
（2）在“PR丄0B”、“PQ切O0”、“PQ二PR”中，知二推一
（3）2PR・RE二BR•RQ二BE•2R二AB2图形7：
如图，
（1）如图1,
（2）如图2,
①BD二CD二1D；②DI2
若ZBAC二600,贝
/ABC内接于G）0,
1
ACB;
AC
图
2
图形8：
已知,
1
于E.
AB是00的直径，C是中点，CD±AB
B?
Fc基本结论有：
1
恥；BE二EF二CE；GF=2DE
（1）CD二2仮之，由丄„
2
（2）0E二AF,0E/7AC；ZODEs/AGF
（3）BE•BG二ED•BA
（4）若D是OB的中点，贝lj：
CEF是等边三角形；②四、
范例讲解：
例题1：
AABP中，ZABP=90°,以AB为直径作00交AP作AF的垂线，垂足为M,MC的延长线交BP于D.
EF
AT-
求的值。
AB二AD+BC,AB
（1）求证：
CD为。
0的切线;
（2）连BF交AP于E,若BE二6,EF二2,例题2：
直角梯形ABCD中，ZBCD二90°OC、BD交于F.
BE3BF
⑴求证：
CD为00的切线
O■5DK
（2）若，求的值
例题3：
如图，AB为直径，PB为切线，点
（1）
（2）
求证：
PC为00的切线。
过D点作DE丄AB,
—屮点）
BG
C在O0±,
AC
F
E
•B
0
D
于图1DoBG交CD、
G
A
于C点，弧CF二CB,过C
为直径的圆交
BC于E,连
〃OP。
DG
P
例题4（2009调考）：
如图，已知AABC中，以边BC为直径的G）0与边AB交于点D,圆中多解词•题11
BD/|a
点E为的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF丄EC。
（1）求证：
AC与00相切；
（2）若AC=6,BC=8,求EC的长
五、练习：
1.如图，RtAABC，以AB为直径作。
0交AC于点D,垂足.
（1）求证：
DF为。
0的切线；
（2）若DF二3,Q0的半径为5,求tanZBAC的值.
BD=DE,过D作AE的垂线，F为
AD二DC
2•如图，AB为00的直径，C、D为上的两点，交直线AB于点E,F为垂足.
（1）求证：
EF为O0的切线；
qinF
（2）若AC二6,BD二5,求的值.
3.如图，AB为00的直径，半径0C丄AB,D为AB线，E为切点，连结CE交AB于点F.
，过D作直线BC的垂线
延长线上一点，过D作O0的切
（1）求证：
DE=DF；
（2）连结AE,若OF二1,BF二3,求一的值.
F
4.如图，RtAABC中，ZC=90°,BD平分ZABC,以作00,00交AB于点一点E,EF丄AC于点F.
（1）求证：
。
0与AC相切；
（2）若EF二3,BC二4,求的值.
AB上一点0为圆心过B、D两点
5.如图，等腰Z\ABC中，AB二AC,以AB为直径作00
交BC于点D,DE丄AC于E.
（1）求证：
DE为O0的切线；
4^5cos二
（2）若BC二—二1,求
AEO的值.C
6.如图，BD內O0的直径,
点、,且
圆中多解
的中点，AD交BC
BC
12
D
延氏线
E
A
点E
0
（1）求证：
DF为。
0的切线；
（2）若AE二2,DE二4,ABDF的面积为'返,求^n^DF的值
7、如图，AB是00的直径，M是线段0A上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,
交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且ZECF=ZE.
（1）
的长.
求证：
CF是。
0的切线；
（2）设00的半径为1,且AC二CE
8、如图，AB是。
0的直径，BC丄AB,
过点C作O0的切线CE,
点D是CE延长线上
求线段BC的长.
一点，连结AD,且AD+BC二CD.
（1）求证：
AD是。
0的切线；
E
（2）设0E交AC于F,若0F二3,EF
9、如图，△ABC中，AB二BC,以AB为直径的00交AC于点D,且CD二BD.
（1）求证：
BC是00的切线；
（2）
BN的延长线于H、F,若DH二2,求EF的长.
10、如图，AB是半上的直径，E是BC的中点，的平行线交0E的延长线于点F.ZADO二ZB.
（1）求证：
CF为。
0的00切线；
BD、
0E交弦BC于点
D,过点C作交AD
11、如图，zdABC中，AB=AC,以AC为直径的占
八、、•
（1）求证：
DF是。
0的切线.
0与AB相交于点
E,点F是BE的中
E作Uo的切线分别交AC,BD于点C,
N・
A,
B重合的点，过点
交AE,BE于点M
点E为圆上不与A,
D,连结0C,0D分别
已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交。
0于E,EF〃AC,分别交
（1）若AC=4,BD=9,求U0的半径及弦AE的长；
（2）当点E在|JO上运动时，试判定四边形OMEN的形状，并给出证明.
BD
解：
（1）Vac,bd,cd分别切Lo于a,b,e,ac4,b=d=9,CE=AC=4,DE=BD=9.
CD=13.
VAB为Uo的直径，「・ZBAC=ZABD=90°.
过点C作CF丄BD于F,则四边形ABFC是矩形.
J
化FD=5,CF=V132-52=12・二AB=12,.■-U0的半径为6.连结0E.
+CA~CE,0A=0E,
「・0C垂直平分弦AE.
/0C=462+42=2x/T
AO恆C12J13
「・AM=
0C
13
二AE=2AM
24山3
（2）当点E在
13
□0上运动时，由
（1）知0C垂直平分AE.同理，0D垂直平分
BE
•AB为直径,
ZAEB=90.二四边形OMEN为矩形•
当动点E满足0E丄AB时,
7oA=0E,・•・ZOEA耳5G
二MO=ME.
「・矩形OMEN为正方形.
如图，ABCD是边长为1的正方形，其中DE、EF、FG的圆心依次
是A、B、C.
（1）
（2）
（1）
E
9Orx17T
•••DE的长1==—
1802
同理,
EF的长h=
FG
90cx2
=71,
180'
9ftx33
的长b==—兀
1802
所以，点D运动到点G所经过的路线长1=11+b+班•
（2）直线GB丄DF.
理由如下：
延长GB交DF于H.
TCD二CB,ZDCF二ZBCG,CF二CG,/.AFDC^AGBC・
・・・ZF二ZG.
O
又・.・ZF+ZFDC二90,
即ZGHD二90°,故GB丄DF.
如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,AB为O0的直径.动点P从A点开始沿
AD边向点D以lcm的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点
B以3cm的速度运动，P、Q两点同时岀发，当其中一点到
达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）,求：
（1）t分别为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
（2）t分别为何值时，直线PQ与相切。
BOEFC
解答：
图1
在直角梯形ABCD中,AD||BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,
BC=26cm,AB为圆0直径，动点P从点A开始沿AD向点D以
lcmk的速度移动，动点Q从点C开始沿CB向B点以3cm的速度,
如果P,Q分别从A,C同时出发，设移动时间为t（s）.
问：
t为何值时，直线PQ与00相交、相切、相离？
t为何值时PQCD为直角梯形为平行四边形
升级会员 