圆中多解题阴影面积.docx

1、圆中多解题阴影面积不规则图形面积的求法求不规则图形面积的基本思路是通过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转 化为规则图形或规则图形面积的和差。一、等积替换（1）三角形等积替换依据：等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相 等。例1、如图1所示，半圆0中，直径AB长为4,C、D为半圆0的三等分 点.，求阴影部分的面积.1解：连结0C、0D ,由C、D为半圆 0的三等分点知：Z C0D二60 0 ,且Z ADC二ZDAB二30 ,C D AB,所以SkDC = S/p DC （同底等咼的二角形面积相等）S阴影=S扇形ocd-化一勿360 3例2、如图2所示，在矩形 ABCD中，AB二1,以

2、AD为直径的 半圆与BC切于M点，求阴影部分面积.（2 ）弓形等积替换依据：等弧所对的弓形面积相等。例 3、在 RTA ABC 中,Z B二90 ,AB二BC二4,AB为直径的。0交AC于点D,求图屮两个阴影部分的面积之和二、整体思想（各部分的面积无法求得,但各部分面积的和或差可求得）大圆的弦A B与小圆相切于C,且AE=6,例4、如图5所示，一个同心圆环中, 求圆环的面积例5、如图：圆A、B、C、D、E相互外离，它们的半径都是1, 心，得五边形ABCDE,则图中五个扇形的面积之和是o顺次连结五个圆的圆（2002年甘肃中考题）B 图8 C图9分析：圆心角不知大小，所以每个扇形的面积无法求得，但

3、是所有的圆心角之和可 求得 Z A +ZB + ZC+ZD+ZE= （ 5-2） X 180 二 540例6、如图7所示，直角坐标系中，以原点为圆心的三个同心圆，最大的圆为单位圆（即 半径为1），求图中阴影部分的面积之和。分析：各部分的面积之和无法求得，但将第二、三彖限的阴影绕点 0旋转至第一象限后得扇形OAB o三、求重叠部分的面积（重叠部分的面积等于组成图形的各部分的面积之和 减去组合成的新图形的面积之差。）例7、如图8所示，正方形ABCD的边长为a, 以各边为直径在正方形内画半圆，求阴影部分的面积之 和。（1997年广东中考题）例8、如图9所示，国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个

4、圆环组成，每个圆环的内、外径分别是8和10, 屮两两相交成的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等， 已知五个圆环覆盖的面积为 122.5平方单位，计算每个小曲边四边形的面积为平方单位。分析：图中黑色部分是五个圆环的重叠部分，所以这8个曲边四边形的面积Z和等于五个圆环的面积之和减去 图屮五个圆环覆盖的面积。W： S曲四边形= -S阴影和= 一圆环一 S覆盖8 81四、分割转化（把不规则图形分割为规则图形的面积的和或差。）单5厂122.5）（平方单位）例9、如图10所示，：正方形ABCD的边长为以相邻的两边为直径分别画两个半圆 .求阴影部分的面积例10、如图：四边形ABCD为某住宅区的示意图，其周长

5、为 800米，为美化环境，计划 在住宅区周围5米以外作为绿化带(虚线以内，四边形以外) ；求此绿化带的面积。分析：要求该不规则图形的面积，将阴影分割为四个矩形和四个扇形，进而求得这 个阴影部分的面积。例11、( 2007年，滨洲)如图所示，分别以 n边形的顶点为圆心，以单位 1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位。分析：图中各扇形的圆心角无法求，但是所有扇形的圆心角这和恰好是 n边形的外角和，显然等于 360 o 即Z 1 + Z 2 + Z 3+ +Z n= 360图10FGNH 蜃11ABCD中，AD /BC ,ZA = ZB=90,E是AB的中点，连接DE、CE,AD+EC

6、二CD,12、如图，直角梯形以下结论(1) Z CED=90 ； (2) DE 平分Z ADC ；(3)以AE为直径的圆与CD相切；(4)以CD为直径的圆与AE相切；(5) ACDE的面积等于梯形ABCD面积的一半.其中正确结论的个数为()A2个 B . 3个C、4个B C13、如图，在半径为 ,圆心角等于45的扇形AOB内部,作一个正方形CDEF ,使点C在0 A上，点E在0B上，点F在弧AB上,则阴影部分的面积为（结果保留证明题：（1）如图，AB是。0的直径，BC丄AB , AD 0C交G） 0于D点，求证：CD 为。0的切线；（2） 如图，以R込ABC的直角边AB为直径作0 0 ,交斜边

7、AC于D ,点E为BC的中点，连 结DE,求证：DE是0 0的切线.（3） 如图，以等腰 ABC的一腰为直径作。0,交底边BC于D,交另一腰于F,若DE丄AC于E （或E为CF屮点），求证：DE是O 0的切线.（4） 如图，AB是O0的直径，AE平分Z BAF，交。0于点E,过点E作直线ED丄AF ,交AF的延长线于点 D,交AB的延长线于点C ,求证：CD是。0的切线.圆中的计算与证明1、如图在 ABC中，ZC二90，点0为AB上一点，以0为圆心的半圆切 AC于E,交AB于 D, AC 二 12, BC 二 9,求 AD 的长。ABD402、如图，AB是0 0的直径，BD是的弦，延长BD到点

8、C，使DC BD，连结AC ,过点D作DE AC丄垂足为E.(1)求证：AB 1C ；(2)求证：DE为的切线;3、如图AB是。O的直径，C,D是圆上的两点，若Z ABD=40，求Z BCD得度 数。4、如图，O0中，弓玄AB弦CD于E, 0FAB于F, 0G丄CD于G,AE=8cm , EB=4cm ,贝lj 0 G 二 cm5、（镇江市）如图，正方形 ABCD内接于O 0 , E为DC的中点，直线于点F.若的半径为 罷,则BF的长为6、（扬州市）如图，AB是0 0的直径，Z ACD= 15：，,则Z BAD的度数为7、边长为a的正方边形的边心距为8、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边

9、形的边比为9、）如图，AB、AC是的两条切线，切点分别为B、C,的一点，已知Z BAC = 80：那么Z BDC =度.长之BD是优弧能上10、 ABC是半径为2厘米的圆内接三角形，若 BC = 如厘米，则Z A的度数为11、（沈阳市）如图，已知OA、0B是。0的半径，且0 A=5, Z A0B =AC丄0B于C,则图中阴影部分的面积（结果保留 兀）S =12、（哈尔滨市）将两边长分别为 4厘米和6厘米的矩形以其一边所在AB0直线为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积为平方厘米.13、（陕西省）如图，在。0的内接四边形 ABCD中，ZBCD=13（f，则Z B0D的度数是14、（甘肃省）正三角形的内

10、切圆与外接圆面积之比为 厘米，内切圆半径是15扬州市）边长为 2厘米的正六边形的外接圆半径是 厘米（结果保留根号）16、（贵阳市）某种商品的商标图案如图所求（阴影部分） ，已知菱形ABCD的边长为4,ZA= 60 ；BD是以A为圆心，AB长为半径的弧,CD是以B为圆心，BC长为半径的弧,则该商标图案的面积为 B17、宁夏回族自治区）圆锥的母线长为米，高为3厘米，在它的侧面展开图中，18、（沈阳市）要用圆形铁片截出边长为扇形的圆心角是 度.4厘米的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要 厘米.19、 （重庆市）如图，四边形ABCD内接于0O,AD C c 小 广、Be, AB+CD=AD +

11、BC,若AD = 4, BC = 6,则四边形ABCD的面积为 20、 （天津市）已知。0屮，两弦AB与CD相交于点E,若E为AB的屮点,CE : ED = 1 ： 4, AB=4,则 CD 的长等于 21 （北京市海淀区）一种圆状包装的保鲜膜，如图所示，其规 格为“ 20厘米X 60米”，经测量这筒保鲜膜的内径 、夕卜径 的长分别为3.2厘米、4.0厘米，则该种保鲜膜的厚度约为 厘米（兀取3.14 ,结果保留两位有效数字）.22、（北京市东城区）在R tA ABC ZC =3 1,A B = , BC =旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是 23、山东省）如图，点P是半径为5的O 0内一点

12、，且OP= 3,在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有 个,以AC所在直线为轴24、（宁夏回族自治区）已知圆的内接正六边形的周长为18,那么圆的面积为25、（甘肃省）如图，在AABC中，ZBAC = 90 , AB = AC =2,以AB为直径的圆交 BC于D, 则图中阴影部分的面积为26、（甘肃省）弧长为6 n的弧所对的圆心角为 60 ,则弧所在的圆的半径为27、 北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为 20 n平方厘米，它的母线长为 5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于28、 （北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱九章算术中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一

13、寸，锯道长一尺，问径几何？ ”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为。0的直径，弦AB丄CD,垂足为E, CE=1寸，AB=寸，求直径CD的长”.依题意，CD长29、 （河南省）如图，O 、0、0 、0、0 相互外离，它们的半径都是 1,顺次连A B C D E结五个圆心得到五边形 ABCDE,则图中五个扇形（阴影部分）的面积Z和是（第32题）6厘米，母线长为5厘米，围30、（贵阳市）一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是31、（哈尔滨市）如图，圆内接正六边形ABCDEF中，AC、BF交于点M.则SAABM : S A AFM32、女口图，RtA ABC 中，

14、ZC 二90。，Z ABC 二30。, AB二6 .点 D 在 AB 边上，点 E 是 BC 边 上一点（不与点B、C重合），且DA=DE,则AD的取值范围是 典型基本图型: 图形1：如图1： AB是。0的直径，点 E、C是0 0上的两点，基本结论有:(1)在“ AC平分Z BAE ” ； “ AD丄CD ” ； “ DC是。0的切线”三个论断中，知二推一。(2)如图2、3, DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距 OF (或弓形BCE的半弦EF)。(3)如图(4)：杵CK丄AB CK二CD ； BK二DE ； CK二丄于K,则：ZBE二DC ； AE+AB二2BK二2AD ; ZlADC

15、sZACB= AC2 二 AD?AB(4)在(1)中的条件、中任选两个条件，当 BG丄CD于E时(如图5),则:4 DG 21DE 二 GB ； DC 二 CG ； AD+BG 二 AB ； AD?BG 二 二 DC2图形2：如图：RtZ ABC中，ZACB二90。点0是AC上一点，以0CAAC于点E,基本结论有： 图(1)在 “ B0 平分Z CBA ” ； “ BO DE ” ； “ AB 是。0 的切线” ；“ BD 二BC ”。四个论断中，知一推三。(2)G是/ BCD的内心；(3)在图(1)中的线段_1、 2 /BCOs/CDE BO ?DE=CO ?CE= CE2；aE 1BC、C

16、E、AE、ADF 知二求四。(4)如图(3),若 BC二CE ,则： AD 二 2 二mnZ ADEBC： AC : AB 二 3 ： 4： 5 ；(在、中知一推二)设BE、CD 交于点 H,，贝IJBH二2EH图形3：如图：RtNABC中，Z ABC二90 ，以AB为直径作。0交AC于D ,基本结论有:如右图：(1) DE切G) 0E是BC的中点;(2)若 DE 切0 0 ,贝IJ： DE=BE=CE ；2D、0、B、E 四点共圆=ZCED 二 2ZA 圆中多解问题DE _ CD _ BC3CD CA 二 4BE2, R BD BA图形特殊化：在(1)的条件下如图1： DE AB U / A

17、BC、Z1 CDE是等腰直角三角形;DE 1 BE如阿約延长线迂柏 葫廷EF 3 0 JBCAF交AC于点F,图形4：如图，Z ABC 基本结论有：屮，AB二AC ,以图1(1)DE 丄 AC= DE(2)在DE丄AC或DE切2：下，有：/ DFC是等腰三角形；EF二EC ；。是 衬点。与基本图形1的结论重合。BF连AD ,产生母子三角形。图形5：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,AB基本结论有:(1)如图 1： AD+BC = CD ；1AB AD BC= 4 2 二 R2； Z COD 二 Z AEB 二 90 ；“CD是0的切线”0D平分Z ADC 四个论断中，知一推(或0C

18、三)(2)如图2,连AE、C0 ,则有：COAE , CO?AE二2R2(与基本图形2重合)(3)如图3,若EF丄AB于F,交AC于G,贝归EG二FG.图形6：如图：直线 PR丄O 0的半径0B于E, PQ切O 0于Q , BQ交直线PQ于R。 基本结论有：10圆中多解问题(1)PQ二PR 3PQR是等腰三角形)；(2)在 “ PR 丄 0 B”、“ PQ 切 O 0 ”、“PQ 二 PR ” 中，知二推一(3) 2PR RE 二 BR RQ 二 BE 2R 二 AB2 图形7：如图，(1)如图1,(2)如图2, BD 二 CD 二 1D ； DI2若Z BAC 二60 0 ,贝/ ABC内接

19、于G) 0 ,1ACB ;AC图2图形8：已知,1于E.AB是0 0的直径，C是 中点，CD ABB?Fc基本结论有：1恥；BE二EF二CE ； GF = 2DE(1)CD二 2 仮之，由丄2(2)0E 二 AF , 0E/7AC ； ZODEs/AGF(3)BE BG二ED BA(4)若D是OB的中点，贝lj： CEF是等边三角形；四、范例讲解：例题1： AABP中，Z ABP=90 ,以AB为直径作0 0交AP 作AF的垂线，垂足为 M, MC的延长线交BP于D.EFAT-求 的值。,AB二AD+BC , AB(1)求证：CD为。0的切线;(2)连 BF 交 AP 于 E,若 BE二6,

20、EF二2 , 例题2：直角梯形ABCD中，Z BCD二90 OC、BD 交于 F.BE 3 BF求证：CD为0 0的切线O 5 DK(2)若 ，求 的值例题3：如图，AB为直径，PB为切线，点(1)(2)求证：PC为0 0的切线。 过D点作DE丄AB ,屮点)BGC 在O 0 ,ACFEB0D于图1D o BG交C D、GA于C点，弧CF二CB,过C为直径的圆交BC于E,连 OP。DGP例题4 ( 2009调考)：如图，已知 AABC中，以边BC为直径的G) 0与边AB交于点D , 圆中多解词题 11BD /|a点E为 的中点，AF为 ABC的角平分线，且AF丄EC。(1)求证：AC与0 0相

21、切；(2)若 AC =6, BC =8,求 EC 的长五、练习：1.如图，RtA ABC，以AB为直径作。0交AC于点D, 垂足.(1)求证：DF为。0的切线；(2)若DF二3 , Q 0的半径为5,求tan ZBAC的值.BD=DE,过D作AE的垂线，F为AD 二 DC2如图，AB为0 0的直径，C、D为上的两点， 交直线AB于点E, F为垂足.(1)求证：EF为O0的切线；q in F(2)若 AC 二 6 , BD 二 5 ,求 的值.3.如图，AB为0 0的直径，半径 0C丄AB , D为AB 线，E为切点，连结CE交AB于点F.，过D作直线BC的垂线延长线上一点，过 D作O0的切(1

22、)求证：DE=DF ；(2)连结AE ,若OF二1 , BF二3 ,求 一的值.F4.如图，RtA ABC 中，Z C=90 , BD 平分Z ABC ,以 作0 0,0 0交AB于点一点E, EF丄AC于点F.(1)求证：。0与AC相切；(2)若 EF二3 , BC二4 ,求 的值.AB上一点0为圆心过B、D两点5.如图，等腰ZABC中，AB二AC ,以AB为直径作0 0交BC于点D, DE丄AC于E.(1)求证：DE为O 0的切线；4 5 co s 二(2)若 BC二二1 ,求AEO的值.C6.如图，BD內O 0的直径,点、,且圆中多解的中点，AD交BCBC12D延氏线EA点E0(1)求证

23、：DF为。0的切线；(2)若AE二2 , DE二4 , A BDF的面积为返,求nDF的值7、如图，AB是0 0的直径，M是线段0A上一点，过M作AB的垂线交 AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且Z ECF=Z E. ( 1)的长.求证：CF是。0的切线；(2)设0 0的半径为1,且AC二CE8、如图，AB是。0的直径，BC丄AB,过点C作O 0的切线CE,点D是CE延长线上求线段BC的长.一点，连结 AD ,且 AD+BC 二 CD.(1)求证：AD是。0的切线；E(2)设 0E 交 AC 于 F,若 0F 二 3, EF9、如图， ABC中，AB二BC ,以AB为直径

24、的0 0交AC于点D ,且CD二BD.(1)求证：BC是0 0的切线；(2)BN的延长线于H、F,若DH二2 ,求EF的长.10、如图，AB是半上的直径，E是BC的中点， 的平行线交0E的延长线于点F. Z ADO二ZB.(1)求证：CF为。0的0 0切线；BD、0E交弦BC于点D,过点C作交AD11、如图，zd ABC中，AB= AC ,以AC为直径的 占八、(1)求证：DF是。0的切线.0与AB相交于点E,点F是BE的中E作Uo的切线分别交AC , BD于点C ,NA,B重合的点，过点交AE, BE于点M点E为圆上不与A,D ,连结0 C , 0D分别已知点M、N分别是AD、CD的中点，B

25、M延长线交。0于E, EFAC ,分别交(1)若AC =4, BD =9 ,求U 0的半径及弦AE的长；(2)当点E在|JO上运动时，试判定四边形 OMEN的形状，并给出证明.B D解：（1）Vac , bd , cd 分别切 L o 于a, b, e, ac 4, b=d = 9, CE = AC =4, DE =BD = 9.CD = 13.V AB 为Uo 的直径， Z BAC =Z ABD =90.过点C作CF丄BD于F ,则四边形ABFC是矩形.J化 FD =5, CF =V132-52 = 12 二 AB = 12 , .- U 0 的半径为 6. 连结0E.+ C A C E ,

26、 0 A = 0 E ,0C垂直平分弦AE ./0C =4 62+ 42=2x/TAO 恆C 12 J13 AM = 0C13二 AE =2 AM24山3(2)当点E在13 0上运动时，由(1)知0C垂直平分AE .同理，0D垂直平分BE AB为直径,Z AEB = 90 .二四边形OMEN为矩形当动点E满足0E丄AB时,7o A =0E , ZOEA 耳 5 G二 MO =M E .矩形 OMEN为正方形.如图，ABCD是边长为1的正方形，其中DE、EF、FG的圆心依次是 A、B、C.(1)(2)(1)E9 Or x 1 7T D E 的长 1 = =180 2同理,EF的长h =FG90c

27、 x 2 =71 ,180 9ft x 3 3的长b = = 兀180 2所以，点D运动到点G所经过的路线长1=11+ b+ 班(2)直线GB丄DF.理由如下：延长GB交DF于H.TCD 二 CB, ZDCF 二 ZBCG, CF 二 CG, /.A FDCA GBC ZF二ZG .O又.ZF+ ZFDC 二90 ,即Z GHD 二 90 ,故 GB 丄DF.如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC , Z B=90 , AB=8cm , AD=24cm , BC=26cm , AB为O 0的直径.动点P从A点开始沿AD边向点D以lcm 的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm 的速度运动，P、Q两点同时岀发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t （s）,求：（1） t分别为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（2） t分别为何值时，直线PQ与相切。BOE F C解答： 图1在直角梯形 ABCD 中,AD | BC, ZB=90 ,AB=8cm , AD=24cm ,BC=26cm , AB为圆0直径，动点P从点A开始沿AD向点D以lcm k的速度移动，动点Q从点C开始沿CB向B点以3cm的速度,如果P,Q分别从A,C同时出发，设移动时间为t(s).问：t为何值时，直线PQ与00相交、相切、相离？t为何值时PQCD为直角梯形 为平行四边形