离散数学结构 第6章 集合代数复习.docx
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离散数学结构第6章集合代数复习
第六章集合代数
1.
集合，相等，（真）包含，子集，空集，全集，幂集
2.
交，并，（相对和绝对）补，对称差，广义交，广义并
3.
文氏图，有穷集计数问题
4.
集合恒等式（等幂律，交换律，结合律，分配律，德·摩根律，吸收律，零律，同一律，排中律，矛盾律，余补律，双重否定律，补交转换律等）
学习要求
1.
熟练掌握集合的子集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表示
2.
熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、广义交、广义并的定义及其性质
3.
掌握集合的文氏图的画法及利用文氏图解决有限集的计数问题的方法
4.
牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零律、同一律、排中律、矛盾律、余补律、双重否定律、补交转换律）
5.
准确地用逻辑演算或利用已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式
6.1集合的基本概念
一．集合的表示
集合是不能精确定义的基本概念。
直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。
例如：
二．集合之间的关系
下面考虑在同一层次上的两个集合之间的关系。
定义6.1设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。
这时也称B被A包含，或A包含B，记作B
A。
如果B不被A包含，则记作B
A。
包含的符号化表示为
B
A
x（x∈B→x∈A）
例如N
Z
Q
R
C，但Z
N。
显然对任何集合A都有A
A。
定义6.2设A，B为集合，如果A
B且B
A，则称A与B相等，记作A＝B。
如果A与B不相等，则记作A≠B。
相等的符号化表示为
A＝B
A
B∧B
A
定义6.3设A，B为集合，如果B
A且B≠A，则称B是A的真子集，记作B
A。
如果B不是A的真子集，则记作B
A。
真子集的符号化表示为
B
A
B
A∧B≠A
例如N
Z
Q
R
C，但N
N。
定义6.4不含任何元素的集合叫做空集，记作
。
空集可以符号化表示为
＝{x|x≠x}。
例如{x|x∈R∧x2+1=0}是方程x2+1=0的实数解集，因为该方程无实数解，所以是空集。
定理6.1空集是一切集合的子集。
证：
任何集合A，由子集定义有
A
x（x∈
→x∈A）
右边的蕴涵式因前件假而为真命题，所以
A也为真。
推论空集是唯一的。
定义6.5设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集，记作P（A）（或PA，2A）。
幂集的符号化表示为
P（A）＝{x|x
A}
对于例6.1中的集合A有
P（A）＝{
，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}
不难看出，若A是n元集，则P（A）有2n个元素。
定义6.6在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作E。
全集是有相对性的，不同的问题有不同的全集，即使是同一个问题也可以取不同的全集。
例如在研究平面上直线的相互关系时，可以把整个平面（平面上所有点的集合）取作全集，也可以把整个空间（空间上所有点的集合）取作全集。
一般地说，全集取得小一些，问题的描述和处理会简单些。
6.2集合的运算
一．集合的基本运算
集合的基本运算有并，交，相对补和对称差。
定义6.7设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B对A的相对补集A－B分别定义如下：
A∪B＝{x|x∈A∨x∈B}
A∩B＝{x|x∈A∧x∈B}
A－B＝{x|x∈A∧x
B}
由定义可以看出，A∪B是由A或B中的元素构成，A∩B由A和B中的公共元素构成，A－B由属于A但不属于B的元素构成。
例如
A＝{a，b，c}，B＝{a}，C＝{b，d}
则有
A∪B＝{a，b，c}，A∩B＝{a}，A－B＝{b，c}，
B－A＝
，B∩C＝
如果两个集合的交集为
，则称这两个集合是不相交的。
例如B和C是不相交的。
两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交：
A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}
A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}
上述的并和交可以推广成n个集合的并和交：
＝A1∪A2∪…∪An
＝A1∩A2∩…∩An
并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况：
＝A1∪A2∪…
＝A1∩A2∩…
定义6.8设A，B为集合，A与B的对称差集A
B定义为：
A
B＝（A－B）∪（B－A）
例如A＝{a，b，c}，B＝{b，d}，则A
B＝{a，c，d}。
对称差运算的另一种定义是
A
B＝（A∪B）－（A∩B）
可以证明这两种定义是等价的，证明可留作练习。
在给定全集E以后，A
E，A的绝对补集～A定义如下：
定义6.9～A＝E－A＝{x|x∈E∧x
A}
二．有穷计数集
使用文氏图可以很方便地解决有穷集的计数问题。
首先根据已知条件把对应的文氏图画出来。
一般地说，每一条性质决定一个集合。
有多少条性质，就有多少个集合。
如果没有特殊说明，任何两个集合都画成相交的，然后将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。
通常从n个集合的交集填起，根据计算的结果将数字逐步填入所有的空白区域。
如果交集的数字是未知的，可以设为x。
根据题目中的条件，列出一次方程或方程组，就可以求得所需要的结果。
例6.2对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。
其统计结果如下：
会英、日、德和法语的人分别为13，5，10和9人，其中同时会英语和日语的有2人，会英、德和法语中任两种语言的都是4人。
已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言（英、德、法、日）的人数和会三种语言的人数。
解令A，B，C，D分别表示会英、法、德、日语的人的集合。
根据题意画出文氏图如图6.3所示。
设同时会三种语言的有x人，只会英、法或德语一种语言的分别为y1，y2和y3人。
将x和y1，y2，y3填入图中相应的区域，然后依次填入其它区域的人数。
根据已知条件列出方程组如下：
解得x＝1，y1＝4，y2＝2，y3＝3。
三．广义交和广义并
以上定义的并和交运算称为初级并和初级交。
下面考虑推广的并和交运算，即广义并和广义交。
定义6.10设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广义并，记为∪A。
符号化表示为
∪A＝{x|
z（z∈A∧x∈z）}。
例6.4设
A＝{{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}}
B＝{{a}}
C＝{a,{c,d}}
则
∪A＝{a,b,c,d,e,f}
∪B＝{a}
∪C＝a∪{c,d}
∪
＝
根据广义并定义不难证明，若A＝{A1,A2,…,An}，则∪A＝A1∪A2∪…∪An。
类似地可以定义集合的广义交。
定义6.11设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的集合称为A的广义交，记为∩A。
符号化表示为
∩A＝{x|
z（z∈A→x∈z）}
考虑例6.4中的集合，有
∩A＝{a}，∩B＝{a}，∩C＝a∩{c，d}
细心的读者一定会注意到在定义6.11中特别强调了A是非空集合。
对于空集
可以进行广义并，即∪
＝
。
但空集
不可以进行广义交，因为∩
不是集合，在集合论中是没有意义的。
和广义并类似，若A＝{A1,A2,…,An}，则∩A＝A1∩A2∩…∩An。
在后面的叙述中，若只说并或交，则这都是指集合的初级并或初级交；如果在并或交前边冠以“广义”两个字，则指集合的广义并或广义交。
为了使得集合表达式更为简洁，我们对集合运算的优先顺序做如下规定：
称广义并，广义交，幂集，绝对补运算为一类运算，并，交，相对补，对称差运算为二类运算。
一类运算优先于二类运算。
一类运算之间由右向左顺序进行。
二类运算之间由括号决定先后顺序。
例如下面的集合公式：
∩A－∪B，∪P（A），～P（A）∪∪B，～（A∪B）
都是合理的公式。
6.3集合恒等式
一．基本集合恒等式
下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。
幂等律A∪A＝A（6.1）
A∩A＝A（6.2）
结合律（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）（6.3）
（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）（6.4）
交换律A∪B＝B∪A（6.5）
A∩B＝B∩A（6.6）
分配律A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）（6.7）
A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）（6.8）
同一律A∪
＝A（6.9）
A∩E＝A（6.10）
零律A∪E＝E（6.11）
A∩
＝
（6.12）
排中律A∪～A＝E（6.13）
矛盾律A∩～A＝
（6.14）
吸收律A∪（A∩B）＝A（6.15）
A∩（A∪B）＝A（6.16）
德摩根律A－（B∪C）＝（A－B）∩（A－C）（6.17）
A－（B∩C）＝（A－B）∪（A－C）（6.18）
～（B∪C）=～B∩～C（6.19）
～（B∩C）=～B∪～C（6.20）
～
＝E（6.21）
～E＝
（6.22）
双重否定律～（～A）＝A（6.23）
我们选证其中的一部分，其余留给读者完成。
在证明中大量用到命题逻辑的等值式，在叙述中采用半形式化的方法，其中
表示当且仅当。
例6.6证明式6.17，即A－（B∪C）＝（A－B）∩（A－C）。
证对任意的x，
x∈A－（B∪C）
x∈A∧x
B∪C
x∈A∧┐（x∈B∨x∈C）
x∈A∧（┐x∈B∧┐x∈C）
x∈A∧x
B∧x
C
（x∈A∧x
B）∧（x∈A∧x
C）
x∈A－B）∧x∈A－C
x∈（A－B）∩（A－C）
所以A－（B∪C）＝（A－B）∩（A－C）
例6.7证明式6.10，即A∩E＝A。
证对任意的x，
x∈A∩E
x∈A∧x∈E
x∈A（因为x∈E是恒真命题），所以A∩E＝A。
以上证明的基本思想是：
设P，Q为集合公式，欲证P＝Q，即证
P
Q∧Q
P为真。
也就是要证对于任意的x有
x∈P
x∈Q和x∈Q
x∈P
成立。
对于某些恒等式可以将这两个方向的推理合到一起，就是
x∈P
x∈Q
不难看出，集合运算的规律和命题演算的某些规律是一致的，所以命题演算的方法是证明集合恒等式的基本方法。
等式6.1～6.23都可以利用这个方法得到。
证明集合恒等式的另一种方法是利用已知的恒等式来代入。
举例如下。
例6.8假设已知等式6.1～6.14，试证等式6.15即A∪（A∩B）＝A。
证A∪（A∩B）＝（A∩E）∪（A∩B）（由等式6.10）
＝A∩（E∪B）（由等式6.8）
＝A∩（B∪E）（由等式6.5）
＝A∩E（由等式6.11）
＝A（由等式6.10）
二．证明技巧
证明技巧一
除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果。
例如：
A∩B
A，A∩B
B（6.24）
A
A∪B，B
A∪B（6.25）
A－B
A（6.26）
A－B＝A∩～B（6.27）
我们只选证其中的一部分。
例6.9证明等式6.27，即A－B＝A∩～B。
证对于任意的x，
x∈A－B
x∈A∧x
B
x∈A∧x∈～B
x∈A∩～B
所以A－B＝A∩～B。
等式6.27把相对补运算转换成交运算，这在证明有关相对补的恒等式中是很有用的。
例6.10证明（A－B）∪B＝A∪B
证（A－B）∪B
＝（A∩～B）∪B
＝（A∪B）∩（～B∪B）
＝（A∪B）∩E
＝A∪B
证明技巧二
A∪B＝B
A∩B＝A
A－B＝
（6.28）
例6.11证明命题6.28是真命题。
证先证A∪B＝B
A
B
对于任意的x，
x∈A
x∈A∨x∈B
x∈A∪B
x∈B（因为A∪B＝B）
所以A
B。
再证A
B
A∩B＝A。
显然有A∩B
A，下面证A
A∩B。
对于任意的x，
x∈A
x∈A∧x∈A
x∈A∧x∈B（因为A
B）
x∈A∩B
由集合相等的定义有A∩B＝A。
然后证A∩B＝A
A－B＝
。
A－B
＝A∩～B
＝（A∩B）∩～B（因为A∩B＝A）
＝A∩（B∩～B）
＝A∩
＝
最后证A－B＝
A∪B＝B。
由例6.10及A－B＝
有
A∪B＝B∪（A－B）＝B∪
＝B
式6.28给出了A
B的另外三种等价的定义，这不仅为证明两个集合之间的包含关系提供了新方法，同时也可以用于集合公式的化简。
例6.12化简（（A∪B∪C）∩（A∪B））－（（A∪（B－C））∩A）。
解因为A∪B
A∪B∪C，A
A∪（B－C），由式6.28有
（（A∪B∪C）∩（A∪B））－（（A∪（B－C））∩A）
＝（A∪B）－A
＝B－A
证明技巧三
A
B＝B
A（6.29）
（A
B）
C＝A
（B
C）（6.30）
A
＝A（6.31）
A
A＝
（6.32）
A
B＝A
C
B＝C（6.33）
式6.29～6.33是关于对称差运算的算律，前四条可通过对称差的定义加以证明，最后一条叫做消去律，它的证明给在下面。
例6.13已知A
B＝A
C，证明B＝C。
证已知A
B＝A
C，所以有
A
（A
B）＝A
（A
C）
（A
A）
B＝（A
A）
C（由式6.30）
B＝
C（由式6.32）
B
＝C
（由式6.29）
B＝C（由式6.31）
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