《几何画板》教程10.docx
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《几何画板》教程10
前言
从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。
不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。
同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。
正如前苏联著名数学家A.H.柯尔莫戈洛夫所指出的：
“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。
”《几何画板》，以其学习入门容易和操作简单的优点，以及其强大的图形和图像功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。
一、《几何画板》在代数教学中的应用
“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分。
同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻画，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。
就如华罗庚所说：
“数缺形少直观，形缺数难入微。
”为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端。
而应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端。
二、《几何画板》在几何教学中的应用
应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。
综上所述，使用《几何画板》进行数学学习与研究，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感的去把握它。
这样，既能激发学生的情感，培养学生的兴趣，从而大大提高课堂效率，提高学生开展数学研究性学习的积极性。
目录
第一章画板的世界------------------------------------------------------------------------------1
第二章几何关系与常见图形------------------------------------------------------------------8
第三章简单的数学实验
（一）----------------------------------------------------------------17
第四章简单的数学实验
（二）----------------------------------------------------------------22
第五章正多边形中的图案设计--------------------------------------------------------------31
第六章错觉图-----------------------------------------------------------------------------------39
第七章探索三角形全等的条件-------------------------------------------------------------47
第八章神奇的π--------------------------------------------------------------------------------54
《几何画板》——带你进入奇妙的数学世界
信息技术越来越多地影响我们的生活和学习，同学们也将从“学习计算机”转变为“计算机学习”，即利用计算机进行更有效地学习、探索和创新。
《几何画板》是教育部基础教育司向全国中小学数学教师推荐的教学辅助软件，它具有能够准确地绘制几何图形、在运动中保持给定的几何关系、使用简便、易于学习及占用内存小、运行速度快等诸多优点。
它操作简单、功能强大，教师可用其在最短的时间内制作出符合教学需要的课件，学生则可以利用《几何画板》进行研究性学习。
《几何画板》是一个优秀的教育软件，非常适合用于探索符合数学关系的问题。
《几何画板》形象直观、操作简单、功能强大，能真实地体现数学关系，是教师课堂教学和学生自主学习的好工具。
通过本单元的学习，相信同学们一定能感受到探索和发现的乐趣，并让自己的信息技术应用提高到一个新的层次。
第一章画板的世界
学习目标：
1、认识几何画板；2、熟悉几何画板的基本操作。
几何画板的界面与大多数软件类似，所不同的是，几何画板中对象之间通常都是通过某种数学关系相互联系的，在作图时，更要注意图形的数学性质。
一、界面
与其它常用软件一样，几何画板也有菜单栏、状态栏和工作区等，只是在窗口的左边有几何画板独有的作图工具，如图1-1所示。
图1-1
二、基本操作
（一）画点A、B
操作步骤：
1、单击
选择【点工具】，在工作区不同位置单击两次，得两点；
2、单击
选择【文本工具】，在画好的两个点上单击，出现标签A、B，再次单击又会隐藏（是不是有点象一个开关？
）。
文本工具可以给对象（点、线、圆等）标注标签，默认情况下点的标签从大写字母A开始，其它对象也有默认初值。
文本工具的另一个功能是在工作区中建立文本输入区（拖动鼠标画一个矩形，再松开鼠标），方便加入文字说明。
3、用【选择工具】
或【文本工具】
双击标签，弹出如图1-2所示的属性对话框，可以修改标签。
图1-2
（二）画线段CD
操作步骤：
1、单击【直尺工具】，压住鼠标不放，选择【线段工具】
（注意【直尺工具】中有三个选项）；
2、在工作区单击确定一个端点，移动鼠标到另一位置单击，确定另一个端点；
3、用【文本工具】
单击端点，可以给端点取名，用【文本工具】单击线段，看一看出现了什么？
以上所画的图如下：
图1-3
几何画板中给线段取名完全遵循数学规范，可以用端点的两个大写字母，也可以用一个小写字母（默认情况从j开始），当然也可以用上面介绍的方法改为其它的字母。
【试一试】
1、用【线段工具】
在点A上单击，再移动到点B上单击，看看得到了什么？
对点B、C，点A、D做同样的操作，最后会得到什么？
2、直接用【线段工具】
，画一个三角形，三个端点分别取名为M、N、P。
3、试选择【射线工具】
，画一条射线。
4、试选择【直线工具】
，画一条直线。
（三）对象的选择、移位与释放
1、对象的选择
几何画板中使用【选择工具】
选定对象：
图1-4
图1-5
图1-6
图1-7
选择工具未感应到对象时的状态。
选择工具感应到对象时，鼠标成水平向左。
单击对象，即可选定。
如图选定了线段AB
如需选择多个对象，连续单击即可。
如图选定了线段AB、点A、点B。
【小技巧】
（1）同时选择多个对象时，不需要按住Shift键单击，这与其它软件操作不同。
（2）选择多个对象的另一个方法是：
选取【选择工具】，在工作区的空白处按左键不放，移动鼠标，拉出一个矩形虚线框，框住想选的对象。
（3）需要说明的是：
几何画板中规定，“选定线段”时不包括端点，请比较图1-6和图1-7的区别。
【试一试】试选择你所画图形中的一个或多个对象。
2、对象的移动
用【选择工具】
在选定的对象上按左键不放，拖动选定的对象到新的位置。
如果是小距离的移动，可以选定后用键盘上的方向箭头移动。
【小知识】
如果你移动线段的端点，根据线段的数学定义，线段也会随之改变。
对于其它对象的控制也类似。
画出的图若不满意，可以用选择工具进行调整。
移动某些选定的对象时，未选定的其它相关对象也可能会同时移动。
【试一试】选择你所画的一些对象（例如点、线段），移动它们的位置。
3、对象的释放
当我们进行某种操作时（例如：
过直线外一点画已知直线的平行线），必须确保选定了符合要求的一个或几个对象。
多选会使菜单命令失效（灰色状态），从而操作失败。
一个常用的技巧是，当你要选择一些特定的对象时，先在工作区空白处单击，释放所有选定的对象后，再根据需要进行选取。
释放已选定的部分对象：
用【选择工具】在该对象上单击；
释放已选定的所有对象：
用【选择工具】在工作区的空白处单击。
【思考与练习】
1、在工作区中画两点A、B，用【选择工具】选定这两点，进入【构造】菜单，可以用的命令如图1-8所示：
图1-8
（1）对选定的两个点分别试用前三个命令（每次操作后，可以用Ctrl+Z撤消刚才的操作，再试用其它命令），看看能得到什么？
如果你画出了射线AB，你会画射线BA吗？
（2）对于“以圆心和圆周上的点绘图”，请按下面不同顺序选两点试用，看看有什么区别？
①先A后B；②先B后A。
2、用【圆规工具】
在工作区内画一个圆（如图1-9）。
图1-9
用【选择工具】
分别拖动圆心、圆上的控制点、圆，看能改变些什么？
3、画出一个点和一条线段，再选定这个点和线段，由菜单【构造】【以圆心和半径画圆】，看看能得到什么？
拖动线段的一个端点，看看哪些对象发生了变化？
4、单击【文本工具】
，按住左键不放在工作区拖出一个文本输入区域，在里面输入一些中文。
【阅读材料】分页显示不同的内容
在本单元的学习中，我们将做大量的实例练习，你可以把每一个实例练习保存为一个文件。
这里我们介绍一个更方便的办法，即使用几何画板中的“分页”显示功能。
我们可以在单个的文件中开设多个工作区，每个工作区中放置不同的内容，所有的实例练习都放在同一个文件的不同工作区中，这与Excel文件中有多个工作表是类似的。
操作步骤：
1、由菜单【文件】【文档选项】，可以打开文档选项对话框。
图1-10
2、选择“增加页”“空白页面”。
图1-11
重复操作可以增加多页，默认的页名称是1、2、3……，这里我们先增加到3页，以后可以根据需要再增加。
3、选取某一页后，在“页名称”下方的输入框修改名称，如图1-12。
请自己把“1”改为“实例一”，“3”改为“实例三”。
图1-12
4、移动鼠标到页名称的列表中，按住鼠标拖动可以调整页的顺序（如图3-13所示）。
图1-13
5、你也可以从所有打开的几何画板文件中复制页，只要在第2步时选“复制”即可。
6、完成后在工作区左下方会显示“页标签”，单击即可进入该页。
图1-14
7、保存好你的文件，今后的随堂练习就可在里面增加新的页来完成。
第二章几何关系与常见图形
学习目标：
1、了解根据几何关系作图的必要性；
2、通过运用几何关系作图，感受几何画板动态地反映数学关系的特点；
3、学会根据几何关系作一些基本的图形。
同学们都知道，在“画图”或Word中要画出符合一定要求的图形（例如：
画一个直角或画两个一样长的线段）是很难的，而这在几何画板中很容易做到。
更重要的是，如果你在几何画板中依据了一定的几何关系作图，那么当你改变了一些对象的位置时，其它对象会继续保持这种关系，即动态地保持几何关系。
没有根据垂直关系画的图形
根据垂直关系画的图形
图2-1
只凭眼睛观察，这是一个直角。
图2-2
此图看起来也只是一个直角，与图2-1相比似乎没有什么特别之处。
图2-3
用【选择工具】拖动改变点C的位置，看看还是直角吗？
图2-4
用【选择工具】拖动改变点F的位置，线段DE会自动调整，保持∠DEF＝900.
在以后的学习中，一定要根据数学关系来作图，而不能画那种“看上去”符合要求的图形。
为了保证这一点，我们将使用【构造】和【变换】来作图。
一、平行四边形
本例学习如何画一个符合数学关系的平行四边形。
操作步骤：
先在练习文件中新建一页，命名为“平行四边形”。
1、用【线段工具】画出两边，如图2-5所示。
图2-5
2、用【选择工具】顺序地选取了B、C两点（先单击B，后单击C）。
3、选择菜单【变换】【标记向量】，可以标记从B到C的一个向量。
【小知识】
向量是一个同时考虑了方向和大小（大小在这里可理解为距离）的量，当我们标记了向量，就可以把选取的对象按同样的方向、同样的距离进行移动。
如果我们改变了B、C的位置，按这个向量移动的所有对象都会相应的改变。
4、用【选择工具】选取点A、线段AB（不用选点B），由菜单【变换】【平移】，在弹出的对话框中作如图2-6的设置。
图2-6
5、画最后一条线段后围成平行四边形（如图2-7所示）。
图2-7
其中点
由点A变换而来（也可以改为别的字母，比如说D）。
【试一试】用【选择工具】拖动平行四边形的顶点，看看能否保持平行关系。
【想一想】画平行四边形还有别的方法吗？
二、画一个直角
直角是几何中常用的基本图形，几何画板没有提供直接画直角的方法，但我们可以用几个基本的操作来画出直角。
（一）两边长度不等
操作步骤：
在练习文件中新建一页，命名为“直角”。
1、画线段AB。
2、选取点A和线段AB，如图2-8所示。
图2-8
3、选择菜单【构造】【垂线】，结果如图2-9所示。
图2-9
如果你改变点A或B的位置，比如让线段AB倾斜一些，这条垂线会自动调整到与线段AB垂直的位置。
4、用【点工具】在垂线上画一点，如图2-10所示。
图2-10。
【小知识】
这里画的点是垂线上的一点，用【选择工具】也不能把它拖到垂线的外面，这时，我们称垂线是该点的“父对象”，该点是垂线的“子对象”。
类似地，线段AB的端点A、B确定了线段，这时点A、B是线段AB的“父对象”，线段AB是点A、B的“子对象”。
5、选取垂线AC（不包括点A、C），由菜单【显示】【隐藏垂线】，隐藏垂线AC，再连结线段AC，如图2-11所示。
图2-11
注意这里是“隐藏”垂线，而不是按Delete键删去它。
因为垂线是点C的父对象，如果父对象不存在了，子对象点C也会被删去。
隐藏对象的技巧今后会经常使用。
【试一试】改变各点的位置试试，看看能否保持直角。
（二）两边长度相等
在图2-11中，若线段AC、AB的长度必须一样长（这是画正方形的基础），那么该怎么画呢？
下面介绍画法：
1、画线段AB。
2、用【选择工具】双击点A，这样可以标记点A为中心（作为旋转或缩放的中心）。
3、选取线段AB、点B（不用选取点A），选择菜单【变换】【旋转】，设置如图2-12所示。
图2-12
【试一试】改变图2-12中点的位置，看看两条线段是不是保持一样长？
直角会改变吗？
【思考与练习】
1、通过上面的学习，你会画一个直角三角形吗？
2、矩形是有一个角为直角的平行四边形。
在图2-11的基础上，你能结合平行四边形的画法画一个矩形吗？
3、在图2-12的基础上，你能画一个等腰直角三角形吗？
你能结合平行四边形的画法画一个正方形吗？
请试一试。
4、画这些基本图形的方法不只一种，你能结合所学的数学知识试一试其它画法吗？
把你的发现与同学们分享。
三、等腰三角形
我们知道，“有两边相等的三角形是等腰三角形”，“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，应用这些知识就可以画一个等腰三角形。
操作步骤：
在练习文件中新建一页，命名为“等腰三角形”。
1、画一条线段AB。
2、选取线段AB（注意：
不包括点A、B）。
3、选择菜单【构造】【中点】，得到线段AB的中点，如图2-13所示。
图2-13
如果改变线段AB的长度或位置，所得的点始终是线段AB的中点，想一想为什么？
。
4、选取线段AB及中点，由菜单【构造】【垂线】，得到过中点且与线段AB垂直的直线（如图2-14所示），还记得这是什么线吧？
图2-14
【小技巧】如果你得到的不只是中垂线，比如还有过点A（或B）的垂线，那是因为第4步时多选了点A（或B），再次提醒，几何画板中，选取某一对象时，不包括上面的点。
5、在中垂线上画一个点，命名为C，画线段AC、BC，隐藏垂线和底边上的中点，最后得到图2-15。
图2-15
【试一试】拖动每个顶点试一试，看看是否能保持等腰三角形？
【思考与练习】
1、试试以下操作：
（1）在图2-15中，双击线段AB，看到一段小动画，可以把线段AB标记为镜面（即对称轴）。
（2）选取点C、线段CA、CB，由菜单【变换】【反射】（即轴对称的变换），如图2-16所示。
图2-16
你知道这是什么图形吗？
2、在图2-12中，如果把旋转参数中的900改为600，连结两个端点得到一个三角形，看一看得到的是什么样的三角形呢？
3、画出图2-17，可以在这个图的基础上作一个菱形，你能做到吗？
图2-17
【阅读材料】自定义工具的使用
几何画板中没有直接画常用图形的命令，我们只能根据数学关系来画。
但是，如果每一次都从头画起，则重复劳动、费时费力。
几何画板提供了“自定义工具”的功能，可以把按一定数学关系画好的基本图形定义成工具箱中的一个命令，以后就可以像用工具箱中的按钮一样使用了。
下面就介绍自定义工具及其用法。
（一）建立自定义工具
为了管理和使用的方便，应将同类工具放在一个独立的文件中。
例如：
平行四边形工具、正方形工具、矩形工具等放在同一个文件中。
建立自定义工具的前提是：
按照一定的数学关系作好基本图形。
建立一个画平行四边形工具的操作步骤如下：
1、新建一个几何画板文件。
按前面的方法画好平行四边形，这里不显示点的标签。
2、用【选择工具】在工作区空白处拖动画一个矩形框选中平行四边形的全部点和边，如图2-18所示。
图2-18
3、单击工具箱中的【自定义工具】
按钮，并选取【创建新工具】（见图2-19）。
图2-19
4、在弹出的新建工具对话框中，改工具名称为“平行四边形”（如图2-20），确定后建立了一个平行四边形工具。
图2-20
你可以根据需要在同一个文件中继续建立其它工具（如正方形等）吗？
（二）自定义工具的使用
1、自定义工具的相关知识
当你已建立了一些自定义工具后，单击【自定义工具】按钮出现如图2-21所示的选项。
图2-21
区域①中的【创建新工具】已使用过；
区域②是当前打开的文件中的所有自定义工具；
区域③是保存在特定的“工具文件夹”中的文件包含的所有工具。
其中【工具选项】可以对当前打开的文件中的自定义工具进行管理，点击时会弹出前面见过的“文档选项”对话框，但此时管理的是自定义工具（见图2-22）。
图2-22
如果想让“自定义工具”永远出现在区域③，则含有自定义工具的文件应保存在：
C:
\ProgramFiles\Sketchpad\ToolFolder内。
例如：
我们可以把含有“平行四边形”、“正方形”等自定义工具的文件保存在“工具文件夹”中，取名为“平面工具”。
只要重新打开几何画板，这些工具会自动调入图2-21的区域③。
2、自定义工具的使用
展开图2-21中的选项，选中某个工具，然后移动鼠标到工作区中。
对于简单的工具通过几次单击就可以画出相应图形，而复杂的工具还得参考制作者的说明。
第三章简单的数学实验
（一）
学习目标：
1、学会通过测量数据进行数学实验；
2、体验“在动态的变化过程中保持不变的数学关系”；
3、掌握数学实验的一般方法。
数学知识，一般都是人们在社会活动中发现，然后经过归纳总结形成的。
事实上，在我们的学习过程中，也经历了从实验数学到论证数学的过程。
随着信息技术的发展，我们可以借助几何画板等软件进行数学实验，以突破传统课堂教学模式，构建以学生自主探究为主线的基于信息技术的探索性数学实验教学模式。
本课将要学习用几何画板对三角形的三条角平分线、三条中线和三条高线作相关实验。
一、三角形的角平分线
操作步骤：
在练习文件中新建一页，命名为“三角形的角平分线”。
1、画出如图3-1所示的△ABC。
图3-1
2、顺序选中B、A、C三个点（这样也就选取了∠BAC）。
选择菜单【构造】【角平分线】，可以作出∠BAC的平分线（见图3-2）。
图3-2
【想一想】为什么要按B、A、C的顺序选中点作角平分线？
不按这个顺序行吗？
点。
3、用【选择工具】单击角平分线与线段BC的相交处，可以定义出它们的交点，如图3-3。
图3-3
【小知识】用菜单法也可以得到交点，操作方法是：
同时选中两条相交的线，选择菜单【构造】【交点】，就可以得到它们的交点。
4、选中“角的平分线”，由菜单【显示】【隐藏平分线】（Ctrl+H），将平分线隐藏。
交点取名为D，再连结AD（见图3-4）。
图3-4
5、用同样的方法作△ABC的角平分线BE、CF，如图3-5所示。
图3-5
【试一试】拖动三角形的顶点改变它的形状和位置，看看三角形的三条角平分线是不是总是交于一点。
【想一想】三角形的中线、高应该怎么作图？
二、角平分线的性质
在几何中知道，角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等，下面来验证这个性质。
操作步骤：
在练习文件中新建一页，命名为“角平分线的性质”。
1、按住【直尺工具】不放，在弹出的选项中选择【画射线工具】，在工作区中画出射线AB、AC，得一个角（见图3-6）。
图3-6
2、用【选择工具】依次选取点B、A、C，由、选择菜单【构造】【角平分线】，如图3-7所示。
图3-7
3、用【点工具】在角平分线上选一点D，选取点D和射线AC，由菜单【构造】【垂线】，得到过点D垂直于AC的直线。
同理，可作过D垂直于AB的直线（见图3-8）。
图3-8
4、用【选择工具】单击垂足处，构造垂足E、F，隐藏两条垂线，再连结线段DE、DF，如图3-9所示。
图3-9
5、依次选取点E、A、D，由菜单【度量】【角度】，可得到∠EAD的度数，（注意：
几何画板中，有的度量值的符号前有一个m）,请用同样的方法，度量∠FAD、∠DEA、∠DFA，这组数据可以说明AD是角平分线，线段DE、DF是垂线段，如图3-10。
6、选择点D、E，由菜单【度量】【距离】，得到D、E两点距离（即垂线段的长度），同样可度量点D、F的距离，如图3-11所示。
【小知识】表示点到直线的距离，还可以选中线段DE、DF，直接测量线段的长度；也可以选取点D和角的一边，度量出点D到角的这边的距离，你可以试一试这些方法，看看得到的数据是否一样。
【试一试】
（1）拖动点D，在变化的过程中，看看点D到角的两边的距离是否总是相等，体验一下什么叫“在动态中保持数学关系”。
（2）选取点D，由菜单【编辑】【从平分线中分离点】，可以断开点D与角平分线的关系，这时可拖动点D自由的运动，看一看两条垂线段的长度还相等吗？
（3）也可以选取点D和角平分线，由菜单【编辑】【合并点到平分线】，这时点D又只能在角平分线移动了，看看数据又是如何变化的。
【思考与练习】
1、前面已学过如何作一条线段的中点，请作出三角形的三条中线，验证一下三条中线有何特点。
2、请设计一个实验，验证“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”。
3、设计一个实验，可以验证“同位角相等，两直线平行”。
4、根据过一点画线段（直线、射线）的垂线的方法画出三角形的高，在实验过程中，你有什么发现吗？
如果三角形变成钝角三角形，你的三条高还在吗？
你能想办法画得更好吗？
第四章案例实践
案例一四人分饼
有一块厚度均匀的三角形薄饼，现在要把它平均分给四个人，应该如何分？
图1-1.1
思路：
这个问题在数学上就是如何把一个三角形分成面积相等的四部分。
方案一：
画三角形的三条中位线，分三角形所成的四部分面积相等，（其实四个三角形全等）。
如图1-1.2。
图1-1.2
方案二：
四等分三角形的任意一边，由等底等高的三角形面积相等，可以得出四部分面积相等，如图1-
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