初中数学八年级上册知识点梳理人教版.docx

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初中数学八年级上册知识点梳理人教版

数学八年级上册知识点梳理

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

一、三角形的边

三角形：

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。

注意点：

（1）三条线段

（2）不在同一直线上（3）首尾顺次相接

三角形的表示：

三角形用符号“△”表示，记作“△ABC”，

读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,

△CAB,△ACB等.

三角形的分类：

按角分按边分

等腰三角形：

两边相等的三角形叫等腰三角形。

相等的两边都叫腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

三角形中三边的关系：

三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

（在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小

于第三边.）

二、三角形的高、中线与角平分线

三角形的高：

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。

1、锐角三角形的三条高交于同一点。

三条高都在

三角形的内部。

2、直角三角形的三条高交于直角顶点.

3、钝角三角形的三条高不相交于一点。

钝角三角形的三条高所在

直线交于一点。

总结：

三角形的三条高的特性

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

高在三角形内部的数量

3

1

1

高所在的直线是否相交

相交

相交

相交

高之间是否相交

相交

相交

不相交

三条高所在直线的交点的位置

三角形内部

直角顶点

三角形外部

三角形的三条高所在直线交于一点

三角形的中线：

在三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段叫

做这个三角形这边的中线.

三角形中线的符号语言：

∵AD是△ABC的中线

∴BD=CD=1/2BC

三角形的角平分线：

在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段,叫做三角形的角平分线。

∵AD是△ABC的角平分线

∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC

三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部

三、三角形的稳定性

三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性

11.2与三角形有关的角

四、三角形的内角

三角形的内角：

三角形两边的夹角叫做三角形的内角。

三角形内角和定理：

三角形的内角和等于1800.

直角三角形的两个锐角互余.

由三角形内角和定理可得：

有两个角互余的三角形是直角三角形。

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC.

例：

已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。

A

D

BC

小结：

由三角形内角和等于180°，可得出

（1）直角三角形两锐角互余；

（2）一个三角形最多有一个直角或钝角；

（3）任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；

（4）一个三角形中至少有一个角小于或等于60°。

五、三角形的外角

三角形的外角：

三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．三角形的外角和等于360°。

三角形外角的两条性质：

1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

11.3多边形及其内角和

六、多边形

多边形：

在平面内，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形的内角和外角：

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.n边形有n个内角，2n个（n对）外角

多边形的对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

正多边形：

如果多边形的各个角都相等，各条边都相等，那么就称它为正多边形.

多边形的内角和与外角和：

一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于（n－2）·180°.多边形的外角和等于360o.

第十二章全等三角形

一、全等三角形

全等形：

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

两个图形全等，它们的形状一定相同，大小一定相等！

全等三角形：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

其中：

互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。

全等的表示：

.“全等”用符号“≌”来表示，读作全等于。

书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.

二、全等三角形的判定

判定定理1：

三边对应相等的两个三角形全等。

（简写为“边边边”或“SSS”）

判定定理2：

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

（简写为“边角边”或“SAS”）

判定定理3：

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.（简写成“角边角”或“ASA”）

判定定理4：

两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。

（简写成“角角边”或“AAS”）

判定定理5（直角三角形）：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

（简写成“斜边、直角边”或“HL”）

证明的书写步骤：

①准备条件：

证全等时要用的条件要先证好；

②三角形全等书写三步骤：

写出在哪两个三角形中

摆出三个条件用大括号括起来

写出全等结论

例：

已知：

如图，AB=AD，BC=DC，

求证：

△ABC≌△ADC

证明：

在△ABC和△ADC中

AB=AD（已知）

BC=DC（已知）

AC=AC（公共边）

∴△ABC≌△ADC（SSS）

三、角的平分线的性质

角平分线：

一条射线把一个角分成两个相等的

角，这条射线叫做这个角的平分线。

尺规作角的平分线：

画法：

1．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，

交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．

2．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ

的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．

３．作射线ＯＣ．

射线ＯＣ即为所求．

角平分线的性质：

1、角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

用数学语言表示为：

∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上

∴QD＝QE

2、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

用数学语言表示为：

∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．

∴点Q在∠AOB的平分线上．

第十三章轴对称

一、轴对称

轴对称图形：

把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形。

这条直线是这个图形的对称轴。

轴对称：

平面上的两个图形，将其中一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，简称轴对称,这条直线叫对称轴。

两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做关于这条直线的对称点。

注意：

如果一点在对称轴上，它的对称点就是它本身。

例：

判断：

1、轴对称图形必有对称轴（）

2、轴对称图形至少有一条对称轴（）

3、关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合（）

4、两个完全互相重合的图形必是轴对称（）

垂直平分线：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

图形轴对称的性质：

1、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

2、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

二、线段的垂直平分线的性质：

1、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

2、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

尺规作线段的垂直平分线（p63）

三、画轴对称图形

例：

如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC

关于直线l对称的图形。

作法：

（1）过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂

线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直

线l的对称点。

（2）过点B作直线l的垂线，垂足为点P，在垂线

上截取PB′=PB，点B′就是点B关于直线l的对称点。

（3）过点C作直线l的垂线，垂足为点M，在垂线上截取MC′=MC，点C′就是点C关于直线l的对称点。

（4）连接A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求。

作图步骤：

1、找特征点2、作垂线3、截取等长4、依次连线

四、等腰三角形

等腰三角形：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做

底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.

等腰三角形的性质：

性质1：

等腰三角形的两底角相等。

（简写成“等边对等角”）

性质2：

等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。

（简称“三线合一”）

例：

在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数

解:

AB=AC,BD=BC=AD,

∠ABC=∠C=∠BDC

∠A=∠ADD（等边对等角）

设A=x,则

∠BDC=∠A+∠ABD=2x

从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x

于是在△ABC中,有

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=1800.

解得x=360

在△ABC中,∠A=360∠,ABC=∠C=720

等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简写成“等角对等边”）

五、等边三角形

等边三角形：

三边相等的三角形，叫做等边三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形。

等边三角形的性质：

（1）边三角形的三边都相等；

（2）边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。

（3）等边三角形的内角都相等,且都等于60°。

等边三角形的判定定理：

1、三边相等的三角形是等边三角形.

2、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形.

3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

直角三角形的性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所

对的直角边等于斜边的一半。

即在Rt△ABC中，如果

∠ACB＝90°,∠A＝30°,那么BC=1/2AB

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

一、同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即am·an=am+n（m,n都是正整数）

二、幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即（am）n=amn（m,n都是正整数）

三、积的乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

即（ab）n=anbn（n是正整数）

四、整式的乘法

单项式乘以单项式：

单项式相乘，把它们的系数相乘、字母部分的同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

例：

单项式乘以多项式：

用单项式分别去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

例：

注意：

1、单项式乘多项式的结果仍是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。

2、在单项式乘法运算中要注意系数的符号。

3、不要出现漏乘现象，运算要有顺序。

多项式乘以多项式：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加。

例：

（3x+1）（x+2）

=（3x）·x+（3x）·2+1·x+1·2

=3x2+6x+x+2

=3x2+7x+2

五、同底数幂相除

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即：

am/an=am-n（a不等于0，m,n都是正整数，且m>n）

规定：

a0=1（a不等于0），即任何不等于0的数的0次幂都等于1.

六、单项式除以单项式

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

例：

28x4y2/7x3y=（28/7）·x4-3·y2-1=4xy

七、多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

例：

（12a3-6a2+3a）/3a=12a3/3a-6a2/3a+3a/3a=4a2-2a+1

14.2乘法公式

八、平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫做（乘法的）平方差公式.

即：

（a+b）（a-b）=a2-b2

例：

运用平方差公式计算:

（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4

（b+2a）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2

（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2

九、完全平方公式

两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

即：

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a-b）2=a2-2ab+b2

这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。

14.3因式分解

十、因式分解：

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

也叫做把这个多项式分解因式。

即：

一个多项式→几个整式的积

注意：

必须分解到每个多项式因式不能再分解为止

例：

X2-1=（x+1）（x-1）

十一、分解因式的方法：

1、提取公因式法

如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。

这种分解因式的方法叫做提公因式法。

即：

ma+mb+mc=m（a+b+c）

例题：

把下列各式分解因式

16x3y2-9x2y3+3x2y2②p（y-x）-q（x-y）③（x-y）2-y（y-x）2

2、运用公式法

运用公式法中主要使用的公式有如下几个：

①a2－b2＝（a＋b）（a－b）[平方差公式]

②a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2[完全平方公式]

a2－2ab+b2＝（a－b）2[完全平方公式]

例题：

把下列各式分解因式

①x2－4y2②9x2-6x+1

3、十字相乘法

公式：

x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

例题：

把下列各式分解因式

①X2-5x+6②a2-a-2

4、分组分解法

分组的原则：

分组后要能使因式分解继续下去

1、分组后可以提公因式

2、分组后可以运用公式

例题：

把下列各式分解因式

1

解：

原式=x2-2x+1-4y2

=（x-1）2-（2y）2

=（x-1+2y）（x-1-2y）

3x+x2-y2-3y②x2-2x-4y2+1

解：

原式=（x2-y2）+（3x-3y）

=（x+y）（x-y）+3（x-y）

=（x-y）（x+y+3）

分解因式的技巧：

一提：

对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。

二套：

对于二项式，考虑应用平方差公式分解。

对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。

三分：

再考虑分组分解法

四查：

检查：

特别看看多项式因式是否分解彻底

第十五章分式

一、分式

分式：

如果整式A除以整式B,可以表示成

的形式,且除式B中含有字母，那么称式子

为分式.其中，A叫做分式的分母，B叫做分式的分子。

分式的特点：

1、分式是两个整式相除的商式。

对于任意一个分式，分母都不为零。

即当B不等于0时，分式

才有意义。

2、分数线有除号和括号的作用，如：

可表示为（x-1）÷（x-3）.

分式的基本性质：

分式的分子与分母乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

约分：

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

通分：

把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

二、分式的运算

分式的乘除：

分式的乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式的除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

上述法则用式子表示为：

例子：

p136例1

分式的的乘方：

分式乘方要把分子、分母分别乘方。

即：

例：

p139例5

分式的加减：

法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

用式子表示为：

例子：

p141练习计算2

整数指数幂：

整数指数幂的运算性质：

若m,n为整数，且a≠0,b≠0，则有

例：

p144例9

三、分式方程

分式方程：

如方程

，像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解．

解分式方程的一般步骤：

1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.

2、解这个整式方程.

3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.

4、写出原方程的根.

例：

p151例1例2