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2019秋浙教版七年级数学上册测试：
微专题八线段和角的和差倍分计算
微专题八__线段与角的和差倍分计算__[学生用书B56]
一线段的和差倍分计算
（教材P153作业题第4题）
1
已知线段AB＝a（如图1），延长BA至点C，使AC＝2AB，D为线段BC的中点．
（1）求CD的长；
（2）若AD＝3cm，求a的值．
图1
解：
（1）∵BC＝AC＋AB＝
1
3
3
1
3
2AB＋AB＝2AB＝2a，∴CD＝2BC＝4a；
3
1
1
1
（2）∵AD＝CD－AC＝
4a－2a＝
4a，4a＝3，
∴a＝12cm.
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微专题八线段和角的和差倍分计算
在一条直线上顺次取A，B，C三点，
已知AB＝5cm，O是线段AC的中点，且OB＝1.5cm，则BC的长是（D）
A．6cmB．8cm
C．2cm或6cmD．2cm或8cm
【解析】两种情况：
如答图①，
变形1答图①
∵AB＝5cm，OB＝1.5cm，
∴OA＝AB＋OB＝6.5（cm）．
∵O是线段AC的中点，
∴OC＝OA＝6.5cm，
∴BC＝OB＋OC＝8（cm）；
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微专题八线段和角的和差倍分计算
如答图②，
变形1答图②
∵AB＝5cm，OB＝1.5cm，∴OA＝AB－OB＝3.5（cm）．
∵O是线段AC的中点，∴OC＝OA＝3.5cm，
∴BC＝OC－OB＝2（cm）．
综上所述，BC的长是2cm或8cm.故选D.
[2018秋·商水期末]如图2，C是线段
AB的中点．
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微专题八线段和角的和差倍分计算
图2
（1）若点D在CB上，且DB＝1.5cm，AD＝6.5cm，求线段CD的长度；
（2）若将
（1）中的“点D在CB上”改为“点D在CB的延长线上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD的长度．
解：
（1）AB＝AD＋BD＝6.5＋1.5＝8cm，
1
∵C是线段AB的中点，∴CB＝2AB＝4cm，
∴CD＝CB－BD＝4－1.5＝2.5cm；
（2）示意图如答图．
变形2答图
∵AB＝AD－BD＝6.5－1.5＝5cm，
1
∴CB＝2AB＝2.5cm，∴CD＝CB＋BD＝4cm.
如图3，已知线段AB上有两点C，
D，且AC＝BD，M，N分别是线段AC，AD的中点．若AB＝acm，AC＝BD＝b
b
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微专题八线段和角的和差倍分计算
图3
解：
∵（a－10）2＋b－4＝0，
2
∴a＝10，b＝8.
则AB＝a＝10cm，AC＝b＝8cm.
∵M，N分别是线段AC，AD的中点，
111
∴MN＝2AC－2AD＝4－2（AB－BD）＝4－1＝3（cm）．
[2017·河北]在一条不完整的数轴上
从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图4所示，设点A，B，C所
对应数的和是p.
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微专题八线段和角的和差倍分计算
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求p.
图4
解：
（1）若以B为原点，则C表示1，A表示－2，
∴p＝1＋0－2＝－1；
若以C为原点，则A表示－3，B表示－1，
∴p＝－3－1＋0＝－4；
（2）依题意知C表示－28，B表示－29，A表示－31，
∴p＝－31－29－28＝－88.
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微专题八线段和角的和差倍分计算
如图5，已知数轴上点A表示的数为
8，B是数轴上一点，且AB＝14.动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速
度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为ts（t＞0）．
图5
（1）数轴上点B表示的数为__－6__，点P表示的数为__8－5t__（用含t的代数式
表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度
是否发生变化？
若变化，请说明变化规律；若不变，请你画出图形，并求出线段
MN的长．
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微专题八线段和角的和差倍分计算
解：
（2）设点P运动xs时，在点C处追上点Q，则PC＝5x，QC＝3x.
∵PC－QC＝AB，∴5x－3x＝14，解得x＝7，
∴点P运动7s时，在点C处追上点Q；
（3）没有变化．如答图，分两种情况．
①当点P在点A，B两点之间运动时，如答图①.
1111
MN＝MP＋NP＝2AP＋2BP＝2（AP＋BP）＝2AB＝7；
变形5答图
②当点P运动到点B的左侧时，如答图②.
1111
MN＝MP－NP＝2AP－2BP＝2（AP－BP）＝2AB＝7.
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7.
二角的和差倍分计算
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微专题八线段和角的和差倍分计算
（教材P162作业题第4题）
如图6，∠ABC＝60°，∠ABD＝145°，BE平分∠ABC.求∠DBE的度数．
图6
解：
∵BE平分∠ABC，
11
∴∠EBA＝2∠ABC＝2×60°＝30°.
∴∠DBE＝∠ABD－∠EBA＝145°－30°＝115°.
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微专题八线段和角的和差倍分计算
如图7，OB是∠AOC的平分线，OD
是∠COE的平分线．如果∠AOE＝140°，∠COD＝30°，那么∠BOD是__70__°，
∠AOB是__40__°.
图7
【解析】∵OB是∠AOC的平分线，
OD是∠COE的平分线，
1
∴∠BOD＝2∠AOE＝70°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠BOD－∠COD＝40°.
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微专题八线段和角的和差倍分计算
[2018春·松北区期末]已知∠AOB内
部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.
图8
（1）如图8①，若∠AOB＝120°，∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；
（2）如图②，若∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；
12
（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB＝3∠COB，∠COF＝3∠COA，且∠AOB＝α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）．
解：
（1）∵OF平分∠AOC，
11
∴∠COF＝2∠AOC＝2×30°＝15°，
∵∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝120°－30°＝90°，
OE平分∠BOC，
1
∴∠EOC＝2∠BOC＝45°，
∴∠EOF＝∠COF＋∠EOC＝60°；
1
（2）∵OF平分∠AOC，∴∠COF＝2∠AOC，
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微专题八线段和角的和差倍分计算
1
同理，∠EOC＝2∠BOC，
∴∠EOF＝∠COF＋∠EOC
＝
1
1
1
（∠AOC＋∠BOC）
∠AOC＋∠BOC＝
2
2
2
＝
1∠AOB＝1α；
2
2
1
（3）∵∠EOB＝3∠COB，
2
∴∠EOC＝3∠COB，
∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF
＝
2∠BOC＋2∠AOC
3
3
＝
2∠AOB＝2α
3
3.
[2018春·道里区期末]点O在AB上，
∠BOC＝2∠AOC.
（1）如图9①，求∠AOC的度数；
（2）OD，OE的位置如图②所示，∠DOE＝3∠BOD，猜想∠COE与∠COD的数
量关系并说明理由；
（3）如图③，在
（2）的条件下，作∠COF＝∠COD，OG为∠AOE的平分线，求∠FOG
的度数．
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微专题八线段和角的和差倍分计算
图9
解：
（1）∵点O在AB上，∠BOC＝2∠AOC，
1
∴∠AOC＝3∠AOB＝60°；
（2）∠COE＝2∠COD.理由如下：
∵∠DOE＝3∠BOD，
∴∠BOE＝2∠BOD，
由
（1）可得，∠BOC＝120°，
∴∠COE＝360°－∠BOC－∠BOE
＝240－°2∠BOD，
又∵∠COD＝∠BOC－∠BOD＝120°－∠BOD，
∴∠COE＝2∠COD；
（3）∵∠COF＝∠COD，∠COE＝2∠COD，
1
∴∠COF＝2∠COE，
即OF是∠COE的平分线，
1
∴∠EOF＝2∠COE，
又∵OG为∠AOE的平分线，
1
∴∠EOG＝2∠EOA，
∴∠FOG＝∠EOF－∠EOG
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11
＝2∠COE－2∠EOA
11
＝2（∠COE－∠EOA）＝2∠AOC＝30°.
[2017·长春一模]如图10，O为直线
AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直
角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的
上方．
（1）将图①中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图②，
经过ts后，OM恰好平分∠BOC.
①求t的值；
②此时ON是否平分∠AOC？
请说明理由；
（2）在
（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速
度沿顺时针方向旋转一周，如图③，那么经过多长时间OC平分∠MON？
请说
明理由；
（3）在
（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？
请画图并说明理由．
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图10
解：
（1）①∵∠AON＋∠BOM＝90°，
∠COM＝∠MOB，∠AOC＝30°，∴∠BOC＝2∠COM＝150°，∴∠COM＝75°，∴∠CON＝15°，
∴∠AON＝∠AOC－∠CON＝30°－15°＝15°，∴t＝15°÷3°＝5（s）；
②是，理由如下：
∵∠CON＝15°，∠AON＝15°，∴ON平分∠AOC；
（2）5s时OC平分∠MON，理由如下：
∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠CON＝∠COM，
又∵∠MON＝90°，∴∠CON＝∠COM＝45°，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON为3t，∠AOC为30°＋6t，
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∵∠AOC－∠AON＝45°，
可得6t－3t＝15，解得t＝5s；
（3）如答图，OC平分∠MOB，
∵∠AON＋∠BOM＝90°，∠BOC＝∠COM，三角板绕点O以每秒3°的速度，
射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON为3t，∠AOC为30°＋6t，
∵∠BOM＋∠AON＝90°，
1
∴∠COM＝2（90°－3t），
1
可得180°－（30＋°6t）＝2（90°－3t），
70
解得t＝3s.
变形4答图
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