东城区届初三第一学期期末考试数学试题及答案.docx
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东城区届初三第一学期期末考试数学试题及答案
东城区2020-2021学年度第一学期期末教学统一检测
初三数学2021.1
一、选择题(本题共24分,每小题3分)
第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A.直角三角形B.圆C.等边三角形D.四边形
2.在平面直角坐标系xOy中,下列函数的图象上存在点P(m,n)(m>0,n>0)的是
A.
B.
C.
D.
3.若关于x的方程
的一个根是-1,则a的值是
A.1B.-1C.
D.-3
4.若菱形的面积为定值,则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是
A.正比例函数关系B.反比例函数关系C.一次函数关系D.二次函数关系
5.在平面直角坐标系xOy中,△ABC与△A’B’C’关于原点O中成心对称的是
6.不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片,卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案,每张卡片只有一种图案,除图案不同外其余均相同,其中印有冰墩墩的卡片共有n张.从中随机摸出1张卡片,若印有冰墩墩图案的概率是
,则n的值是
A.250B.10C.5D.1
7.如图,在圆形花圃中有两条笔直的小径,两端都在花圃边界上,分别记为AC,BD,设交点为P,点C,D之间有一座假山.为了测量C,D之间的距离,小明已经测量了线段AP和PD的长度,只需再测量一条线段的长度,就可以计算C,D之间的距离.小明应该测量的是
A.线段BPB.线段CPC.线段ABD.线段AD
8.如图所示,在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形,使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R,圆的半径为r,则R与r满足的数量关系是
A.R=
rB.R=2rC.R=3rD.R=4r
二、填空题(本题共24分,每小题3分)
9.写出一个二次函数,使其满足:
①图象开口向下;②当
时,y随着x的增大而增小.这个二次函数的解析式可以是:
_.
10.如图,点A在⊙O上,弦BC垂直平分OA,垂足为D.若OA=4,则
的长为.
11.A盒中有2个黄球、1个白球,B盒中有1个黄球、1个白球,这些球除颜色外无其它差别.分别从每个盒中随机取出1个球,取出的2个球都是白球的概率是________.
12.2017年生产1吨某种商品的成本是3000元,由于原料价格上涨,两年后,2019年生产1吨该商品的成本是5000元,求该种商品成本的年平均增长率.设年平均增长率为x,则所列的方程应为(不增加其它未知数).
13.在平面直角坐标系xOy中,将抛物线
沿着y轴平移2个单位长度,所得抛物线的函数解析式为.
14.如图,△
是等边三角形.若将
绕点A逆时针旋转角
后得到
,连接
和
,则
的度数为.
15.已知抛物线
与直线y=m相交于A,B两点,若点A的横坐标
,则点B的横坐标
的值为________.
16.如图1,在△ABC中,AB>AC,D是边BC上的动点.设B,D两点之间的距离为x,A,D两点之间的距离为y,表示y与x的函数关系的图象如图2所示.线段AC的长为,线段AB的长为.
三、解答题(本题共52分,第17-21题,每小题5分,第22题6分,第23-25题,每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.已知:
如图,线段AB.
求作:
以AB为斜边的直角△ABC,使得一个内角等于30°.
作法:
作线段AB的垂直平分线交AB于点O;
以点O为圆心,OA长为半径画圆;
以点B为圆心,OB长为半径画弧与⊙O相交,记其中一个交点为C;
分别连接AC,BC;
△ABC就是所求作的直角三角形.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:
连接OC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=°()(填推理的依据).
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形.
∵OC=OB=BC,
∴△OBC是等边三角形.
∴∠COB=60°.
∴∠A=°.
18.在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与y轴交于点A(0,-1),且过点B(1,4),
C(-2,1).
(1)求二次函数的解析式;
(2)当-1≤x≤0时,求y的取值范围.
19.如图,AM平分∠BAD,BF//AD交AM于点F,点C在BF的延长线上,CF=BF,DC的延长线交AM于点E..
(1)求证:
AB=BF;
(2)若AB=1,AD=4,求
的值
20.关于x的一元二次方程
.
(1)若方程有两个相等的实数根,用含m的代数式表示n;
(2)若方程有两个不相等的实数根,且m=-4.
①求n的取值范围;
②写出一个满足条件的n的值,并求此时方程的根.
21.在平面直角坐标系xOy中,双曲线
过点A(1,1),与直线
交于B,C两点(点B的横坐标小于点C的横坐标).
(1)求k的值;
(2)求点B,C的坐标;
(3)若直线x=t与双曲线
交于点
,与直线
交于点
,当
时,写出
的取值范围.
22.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,以点D为圆心,DC长为半径画⊙D.
(1)补全图形,判断直线AB与⊙D的位置关系,并证明;
(2)若BD=5,AC=2DC,求⊙D的半径.
23.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线
.
(1)若此抛物线经过点(-2,-2),求b的值;
(2)写出抛物线的顶点坐标(用含b的式子表示);
(3)若抛物线上存在两点A(m,m)和B(n,n),且|m|>2,|n|<2,求b的取值范围.
24.在△ABC中,AB=
,CD⊥AB于点D,CD=
.
(1)如图1,当点D是线段AB中点时,
①AC的长为;
②延长AC至点E,使得CE=AC,此时CE与CB的数量关系为,
∠BCE与∠A的数量关系为;
(2)如图2,当点D不是线段AB的中点时,画∠BCE(点E与点D在直线BC的异侧),使∠BCE=2∠A,CE=CB,连接AE.
①按要求补全图形;
②求AE的长.
25.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.
给出如下定义:
记线段AB的中点为M,当点M不在⊙O上时,平移线段AB,使点M落在⊙O上,得到线段A'B'(A',B'分别为点A,B的对应点).线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”.
(1)已知点A的坐标为(-1,0),点B在x轴上.
①若点B与原点O重合,则线段AB到⊙O的“平移距离”为________;
②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2,则点B的坐标为________;
(2)若点A,B都在直线
上,AB=2,记线段AB到⊙O的“平移距离”为
,求
的最小值;
(3)若点A的坐标为(3,4),AB=2,记线段AB到⊙O的“平移距离”为
,直接写出
的取值范围.
东城区2020-2021学年度第一学期期末教学统一检测
初三数学参考答案及评分标准2021.1
一、选择题(本题共24分,每小题3分)
答案
B
A
C
B
D
B
C
D
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
二、填空题(本题共24分,每小题3分)
9.答案不唯一,如
10.
11.
12.
13.
或
14.
15.316.
,
三.解答题(本题共52分,第17-21题,每小题5分,第22题6分,第23-25题,每小题7分)
17.解:
(1)补全的图形如图所示.
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
(2)90,直径所对的圆周角是直角,30.
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
18.解:
(1)设二次函数的解析式为
.
∵点A(0,-1),B(1,4),C(-2,1)都在二次函数的图象上,
∴
解得
所以,二次函数的解析式为
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分
(2)函数图象的顶点坐标为
.
当-1≤x≤0时,y的取值范围是
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
19.
(1)证明:
∵AE平分
∴∠1=∠2.
∵BF//AD,
∴∠3=∠2.┈┈┈┈┈┈┈┈1分
∴∠1=∠3.
∴AB=BF.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
(2)解:
∵CF=BF,AB=1,
∴CF=1.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分
∵BF//AD,
∴△EFC∽△EAD.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
∴
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
20.解:
(1)∵方程
有两个相等的实数根,
∴
.
∴
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
(2)当m=-4,方程为
.
①∵方程有两个不相等的实数根,
∴
.
解得
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分
②答案不唯一,如
时,方程的两根为
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
(参考:
)
21.解:
(1)∵双曲线
过点A(1,1),
∴
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
(2)由
得
,
去分母,得
.
解得
,
.
经检验,
,
是原方程的解.
∴
,
.
∵点B的横坐标小于点C的横坐标,
∴B
,C
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分
(3)当
时,
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
22.解:
(1)补全图形如图,直线AB与⊙D相切.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分
证明:
作DE
AB于点E.
∵∠DCA=90°,AD是∠BAC的平分线,
DE=DC.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
直线AB与⊙D相切.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分
(2)∵DE=DC,AC=2DC,
AC=2DE.
∵∠BCA=∠BED=90°,∠B=∠B,
∆BCA∽∆BED.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
.
AB=2DB.
∵BD=5,
AB=10.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分
设DC=
,则AC=2
.
Rt∆ABC中,
,
.
解得
.
⊙D的半径为3.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分
23.解:
(1)∵抛物线经过点(-2,-2),
∴
∴
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分
(2)抛物线的对称轴为直线
,纵坐标
,顶点坐标
.
┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分
(3)由
(1)知,当抛物线经过点(-2,-2)时,
当抛物线经过点(2,2)时,
①当
时,令
,则
;
令
,则
.
∵
时,y随着x的增大而增大,
时,y随着x的增大而减小,
∴
符合题意;
②当
时,令
,则
;
令
,则
.
∵
时,y随着x的增大而减小,
时,y随着x的增大而增大,
∴
符合题意;
③当
时,令
,则
;
令
,则
.
∵抛物线的开口向上,
∴
不符合题意.
综上所述,b的取值范围是
,或
.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分
24.解:
(1)①
.