重庆大学出版社高等数学题库参考答案.docx
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重庆大学出版社高等数学题库参考答案
第五章不定积分1（直接积分法、换元积分法）
、单选题
为（A）.
f（x）f（x）C
1.设f（x）是可导函数,则（f（x）dx）
f（x）f（x）C函数f（x）的（B）原函数,称为f（x）的不定积分.
A.任意一个B.所有C.唯一D.某一个
3.
f（x）dxexcos2xC,则f（x）
A）.
ex（cos2x2sin2x）ex（cos2x2sin2x）Cexcos2xexsin2x函数f（x）ex的不定积分是（B）.
xxee
clnxlnx
c函数f（x）cosx的原函数是（A）.
sinx
ccosx
sinxcosxc函数f（x）
112的原函数是（A）.x2
cx
22
3x
x
c设2x是f（x）的一个原函数,则f（x）dx（B）
2x.2
2x
e
xce
2x
e
ce2xc函数f（x）sinx的原函数是（D）
sinxccosx
sinx
cosxc若
F（x）、G（x）均为f（x）的原函数，则F（x）G（x）=（B）
f（x）.0
1
F（x）f（x）函数f（x）12的原函数是（A）
x
cx
x2
c函数f（x）112的原函数是（A）
x
cx
c若函数f（x）、g（x）在区间（a,b）内可导，且f（x）g（x），则
B）
f（x）
g（x）.f（x）
g（x）
xx2x
x2若exdxexc,则e2xd2x=（A）
f（x）g（x）.不能确定f（x）与g（x）之间的关系
14.若F（x）f（x），则下列等式成立的是（B）.
F（x）dxf（x）C.f（x）dxF（x）C
F（x）dxf（x）C.f（x）dxF（x）C
15.经过点（0,1），且切线斜率为2x的曲线方程是（D）.
yxyx2yx21yx21二.填空题
1.5dx2x2dln（52x）.
2.xdx
3.axdx
1
d（1x2）
2
xa
C.
lna
7.
cos7xdx
17sin7xC
4.设f（x）是连续函数，则df（x）dxf（x）dx
2
5.2xcosx的原函数是xsinx.
8.3x13x.adxd（a1）3lna
9.sin3xdx
d（cos3x）.
3
10.lnxdx1ln2xCx2
11.x3dx1x4C.
4
12.xe2xdxd（1e2xC）
4
13.
14.
15.
16.
cosxsinxdx
119x2dx
2sin
2xdx
f（2x）dx
sin2xC
2
1
arctan3xC
3
（xsinx）C
2
1f（2x）C
2
F（0）
17.设f（x）dxF（x）C.,若积分曲线通过原点，则常数C
18.
dx
19x2
1
d（arctan3x）.
19.xexdx
1x2
20.已知f（x）dxsin2xC,则f（x）sin2x
22.
23.
x21
dxx1
1
1x
2edx
x
12
xxC
2
1
exC
24.
x
2dxx21
1dln（x21）.
2
25.若f（x）的导函数是sinx,则f（x）的原函数为
sinxC
26.设x3为f（x）的一个原函数，则
df（x）
3x2dx
27.
sin2xdx
1d（14cos2x）
8
28.
2
x2sinx的一个原函数是
1x3
3
cosx
29.
x
sindx
3
3d（cos3x）.
30.
tanxdx
lncosxC
31.
cos12xdx
1sin（12x）C
2
32.
sec2xdxtanxC
33.
dx
sin23x
1cot3xC
3
34.设2x是f（x）的一个原函数，则[f（x）dx]2.
判断题
1.
sinxdxcosxcedx（×）2.
x
e（×）
3.
sinxdxcosx.sinxdx
（×）4.
cosxc
（√）
5.
[sin（12x）]
dxsin（12x）（×）6.
cosxdxsinxc
×）
四.计算题
1.求不定积分
21
x1x2dx.解：
原式=1
2
x2d（1
x2）13（1
3
x2）2C
2.求不定积分
3.求不定积分
4.求不定积分
1
1dx.解:
原式=ln33x
x1exdx.解：
原式=11ex1
（12sinx
x
xC
xd（1
e
3）dx.解:
原式=2x
x
ex）
ln（1ex）
2cosx3lnx
5.求不定积分
212
xexdx.解:
原式=1exC
2
6.求不定积分2xdx.解:
原式=1ln（1x2）C
x212
xxx
7.求不定积分（2x7x）2dx.解:
原式=421449C2ln2ln142ln7
8.求不定积分（2x1）10dx.解:
原式=1（2x1）11C
22
9.求不定积分（x1）（x1）dx.解:
原式=2xx1xx2xC
x52
11
10.求不定积分sin2xdx.解:
原式=1x1sin2xC
24
11.求不定积分212dx.解:
原式=tanxcotxCsin2xcos2x
1
12.求不定积分1dx.解:
原式=1ln2x3C2x32
1
13.求不定积分12arctanxdx.解:
原式=1（arctanx）2C
1x22
14.求不定积分3x4dx.解:
原式=3ln1x4C
1x44
1
15.求不定积分1dx.解:
原式=1arctan2xC14x22
15x
16.求不定积分（x35x）dx.解:
原式=1x45C
4ln5
17.求不定积分e5xdx.解:
原式=1e5xC
5
五.应用题
1.设一质点作直线运动,已知其加速度为a12t23sint,如果t0时v05,s03,
求
（1）v与t的函数关系；
（2）s与t的函数关系.
v（t）（12t23sint）dt4t33costCt0,v5v（t）4t33cost2解：
s（t）（4t33cost2）dtt43sint2tct0,s3s（t）t43sint2t3
2.求经过点（0,0）,且切线斜率为2x的曲线方程.
解：
y2xdxx2Cx0,y0yx2
2
3.一物体由静止开始运动,t秒末的速度是3t（米/秒）,问
（1）在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？
（2）物体走完360米需多长时间？
解：
设运动方程为：
SS（t）3t2dtt3Ct0,s0S（t）t3
1）当t3时，S（3）27（米）
2）当S（t）t3360t3360秒.
3
4.一曲线过原点且在曲线上每一点
（x,y）处的切线斜率等于x3,求这曲线的方程.
解：
y
x3dx41x4C
x0,y0
14y4x4
5.已知物体由静止开始作直线运动
经过t秒时的速度为360t
180（米/秒）,求3秒末物体离
开出发点的距离.
解：
S（t）
2
（360t-180）dt180t2
180tCt0,s0S（t）
2
180t2180t.
当t3时，S（3）1080（米）.
1
6.求经过点（e,1）,且切线斜率为x的曲线方程.
1解：
y1dxlnxCxe,y1ylnx.
x1
7.求经过点（0,0）,且切线斜率为1x2的曲线方程.
1x0,y0
解：
y2dxarctanxCx0,y0yarctanx.
1x第五章不定积分2一.单选题
1.下列分部积分法中,u,dv选择正确的是（A）.
xsin2xdx，ux，dvsin2xdxlnxdx,u1,dvlnxdx
x2exdx,uex,dvx2dxxexdx,uex,dvxdx
2.arctan2xdxxarctan2xxd（A）.
arctan2xarctan4x-arctan2x-arctan4xdx
4-x2
xarcsin
xarccosarcsinxC2
C
arccosx
C二.判断题
1.分部积分法udvuv
vdu的关键是恰当的选择
u和dv,使vdu应比udv容易积分.
√）
2.
√）
若被积函数中含有x2a2,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分三.填空题
1.1dx2x1C.x1
3.xlnxdx
4.dx
19x2
1x2lnx1x2C
24
1.
3d（arcsin3x）
6.xsin3xdx
四.计算题
1.求不定积分
2.求不定积分
3.求不定积分
4.求不定积分
5.求不定积分
6.求不定积分
7.求不定积分
8.求不定积分
9.求不定积分
10.求不定积分
11.求不定积分
12.求不定积分
13.求不定积分
5
2xx2
.xedxe（x2x2）C
xcos3x
3
x
23x2
1sin3xC
9
dx
.解：
原式=
1
23x2
d（2
3x2）
12
23xC
3
2x2
e2xx2dx.解：
原式=1e2x（x2x1）
22
x
dx
原式x1t
（2t2
2t）dt
.解：
23t3
t2
23（x
2
1）3
x1C
dx
x（1x）.解：
t2
22dt
1t2
2arctantC2arctanx
原式x
xsin2xdx.解：
5x
（x2）edx
原式=1xcos2x1sin2x
24
.解：
原式=1e5x（x9）C
55
4x
xedx.解：
原式
e4x（1x1）C
416
dx
1x1.解：
原式
21xln（11x）C
1xdx
1ex.解：
原式=ln1ex1C
1ex1
x2lnxdx
.解：
原式1x（lnx1）C
33
x1
dx
x.解：
原式2（x1arctanx1）C
1
12x1
dx
-2x1ln2x11C
.解：
原式
2
14.求不定积分
xadx（a0,a1）.解：
原式ax（x2x23）C
lnaln2aln3a
1
2dx
15.求不定积分
49x.解：
原式1arcsin3xC
32
16.求不定积分
sinxdx.解：
原式
-2xcosx2sinxC
17.求不定积分
xcos3xdx
.解：
原式
1xsin3x
3
1cos3xC
9
18.求不定积分
xdx
x2
.解：
原式
2
3（x
3
2）2
1
4（x2）2C
五.应用题
增加题）
第六章定积分
一.单选题
xdx
（D
1.0420
2
0（2
x）dx
4
2（2
x）dx
2
0（x
2）dx
4
2（x2）dx
2
0（x
2）dx
4
2（2
x）dx
2
0（2
x）dx
4
2（x2）dx
A.大于0B.小于0
11
3.f（x）dxf（x）dx
C.
（C）
等于0D.不能确定
A.大于0B.小于0
b
4.定积分af（x）dx
C.
等于0D.不能确定
是（D）
A.一个原函数B.fx的一个原函数C.一个函数族D.一个常数
b
5.定积分af（x）dx的值的大小取决于（C）
f（x）.区间a,bC.f（x）和a,bD.都不正确b
6.定积分af（x）dx的值的大小取决于（C）
f（x）.区间a,bC.f（x）和a,bＤ.无法确定
33
7.f（x）dxf（x）dx
（A）
42
f（x）dxf（x）dx
24
43
3f（x）dx2f（x）dx下列命题中正确的是（C）（其中f（x）,g（x）均为连续函
数）
A.在a,b上若f（x）
bb
g（x）则af（x）dxag（x）dxB.
b
f（x）dx
b
af（t）dt
C.若f（x）g（x）,则
f（x）dx
b
f（x）dxg（x）dxdf（x）dxD.a
9.ddxaf（x）dx
（B）
f（x）.0
f（x）F（x）若f（x）1,则
b
f（x）dx
a
（C）
abba定积分
b
af（x）dx是（B）
A.任意的常数B.确定的常数C.f（x）的一个原函数
D.
f（x）的全体原函数
k）dx2,则k（B）
1
（2x
12.若0
.1
2x4dx.12
．判断题
2.
3.
b
（af（x）dx）0.（×）
4.
db
sinxdxsinxdxa
.填空题
.（×）
1.设f（x）在
a,b上连续,则
（x）dxf（b）f（a）
2.
3xdx
6xC
ln6
3.
1
01
2
x
2dx
x
4.
1x
ex
2dx
x
ee
5.设
5
1f（x）dx3,2f（x）dx
5,
2
f（x）dx2
1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件.（×）
b
0dxba.（×）
a
3dx0
7.若f（x）在a,b上连续,且
b
f（x）dx
a
0b
则f（x）1dxbaa
52
3
8.由曲线yx22,直线x1,x3及x轴围成曲边梯形的面积A31（x22）dx
9.d2
sinxdx0dx0
1
1x
10.141ln1xdx0
11.
2sin
（1）
1xdx
1
x
12.
12
xdx
1
13.
1
xcosxdx
1
2
3
14.利用定积分的几何意义填写定积分的值
011
0
x2dx
15.
dx2sint2dtdx0
2sinx
16.
22x2sinxdx
2
17.
13
x3dx
1
18.
积分
elnx
dx的值为
19.
242
2（3x5x
20.
1x
0edx
21.
3
dx
1
12
1xlnxdx
22.
2
四．
计算题
2）dx
4
的值的符号为负.
4
e1
1
x
2
0dx
1.求定积分
dx．解：
原式2（1
1x
ln2）
3
2.求定积分
1
04
dx
2
x.解：
原式
arcsinx
3.求定积分
0
1（1
x）（23x）dx.解：
原式12
4.求定积分
1dx
解：
原式
arcsinx
1
2
1
2
5.求定积分
1dx
2115x解：
原式=
1ln（11
5
5x）
6.求定积分
91dx解：
原式
41x
2
2tln（t1）32
54ln2
2（1ln2）
7.求定积分
8.求定积分
9.求定积分
10.求定积分
11.求定积分
12.求定积分
13.求定积分
14.求定积分
15.求定积分
16.求定积分
17.求定积分
18.求定积分
19.已知f（x）
20.求定积分
21.求定积分
exdx
0edx.解：
原式
1x2dx
1
解：
原式
1327x
313
04tan2d
解：
原式
tan
4sin22xdx．解：
原式
01sin2x
23
ln（1sinx）4ln32
x3sin2xdx
.解：
原式=0
1
2
1
2
2
arcsinx
dx
.解：
原式=13（arcsinx）3
1
2
1
2
324
1dx
xx
.解：
原式
2ln（x1）32ln2
x2exdx
.解：
原式
ex（x22x2）1e2
0
1dx解：
原式
0（1x）4
13
-13（1x）3
7
24
2
xexdx
0.
解：
原式
ex（x1）
2
2e
1
0
1xxexdx0
.解：
原式
-ex（x
1）
1
1
2
0
e
sinx
dx
3.解：
原式cos（x）0
33
2
x,
0
x1
，计算
2
0f（x）dx.
解：
原式
12
xdx
2
1（2
x）dx
1
2x,
1
x3
0
1
6
9
x1
xd
x
：
原式
23
12
9
271
4
.解
（2x2
2
x
）
3
2
4
6
1
xarcta
0
nxdx
解：
原式=
1（x2arctanx
x
1arctanx）
4
1
2
0
2
求定积分1
arcsinxdx.解：
原式
0
（xarcsinx
1x2）10
求定积分
2cos2udu
6.解:
原式
11
（usin2u）
22
求定积分
02xxsinxdx.解:
原式
12
x
2
xcosx
sinx
求定积分
11x2
12dx
2x.解:
原式x
sint
cott
14
求定积分
2
11
12sindx
xx.解:
原式cos
x
12
1
求定积分
1
2x12x1
010dx.解:
原式10
1
2ln100
495
ln10
求定积分
2sinxcos3xdx
0解:
原式
14
-cos
4
21
04
求定积分
14x2xdx.解:
原式
0
1
8x1
ln100
7
ln10
求定积分
e1lnx
dx
1x.解:
原式
lnx
1ln2xe
21
3dx
求定积分
求定积分
1x（1x）.解:
原式xt2arctant1
2sin3xcosxdx14
0.解:
原式sinx
4
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
11dx1求定积分32x.解:
原式-ln2x3ln5
2x22
0xexdx.解:
原式1ex2
20
02sinxdx
1
0（1
.解:
原式cosx
x）（23x）dx.解:
原式
t2
2
12
te2dt
0.解:
原式
12x2
2dx
01x2.解:
原式
0xsinxdx.解:
原式
eln2x
dx
1x.解:
原式
023sinxcosxdx
2
tsintdt
0
2x
1（4
2（e4
52
x
2
1）
111
02
t2
e2
2（x
1
e2
1
arctanx）0
xcosx
sinx0
13ln
.解:
原式
3sinx
2
为常数解:
原式
cosxdx.解:
原式
x21dx
3
1
31
.解：
原式
12dx
x.解：
原式
dx.解：
原式
16
14xx
sinx02
13
x
3
1tcos
3
sinx2
2
2sin
13
x
3
arctanx13
3
xt441t2
2
tln（1
t）
2ln32
1.已知生产某产品x（百台）时,总收入R的变化率R台）增加到3（百台）时,总收入的增加量.
x（万元/百台），
求产量从从1（百
解：
由已知R8x得总收入的增加量为：
R
3
Rdx
1
3
（8x）dx8x
12
x
2
3
1
36.求定积分
37.求定积分
38.求定积分
39.求定积分
40.求定积分
41.求定积分
42.求定积分
43.求定积分
44.求定积分
45.求定积分
46.求定积分
47.求定积分
48.求定积分
五.应用题
2.试描画出定积分
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