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1、重庆大学出版社高等数学题库参考答案第五章不定积分 1( 直接积分法、换元积分法 )、单选题为(A).f (x) f (x) C1.设 f (x)是可导函数 ,则( f(x)dx)f (x) f (x) C函数 f(x)的(B)原函数,称为 f ( x)的不定积分 .A.任意一个 B.所有C.唯一D.某一个3.f (x)dx ex cos2x C, 则f (x)A).ex(cos2x 2sin2x)ex(cos2x 2 sin 2x) C excos2xexsin2x函数 f(x) ex的不定积分是( B).xx eec ln x ln xc函数 f (x) cos x的原函数是( A).sin

2、 xc cosxsinx cosx c 函数 f (x)1 12 的原函数是( A) . x2cx223xxc设2x是 f(x) 的一个原函数 ,则 f (x)dx (B)2x.22xex ce2xec e 2x c 函数 f(x) sin x 的原函数是( D)sinx c cosxsin xcosx c 若F(x)、G(x)均为f (x)的原函数，则 F (x) G (x)=(B)f (x) .01F(x) f (x)函数 f(x) 1 2 的原函数是( A)xcxx2c函数 f(x) 1 12 的原函数是( A)xcxc若函数 f(x)、g(x)在区间 (a, b)内可导，且 f (x)

3、 g (x)，则B)f (x)g(x) . f(x)g(x)x x 2xx2若 exdx ex c, 则 e2xd2x=(A)f(x) g(x).不能确定 f(x)与 g(x)之间的关系14.若F (x) f (x) ，则下列等式成立的是( B).F (x)dx f(x) C. f(x)dx F(x) CF(x)dx f (x) C. f (x)dx F(x) C15.经过点 (0, 1) ，且切线斜率为 2x的曲线方程是( D).y x y x2 y x2 1 y x2 1二 . 填空题1. 5dx2x 2 dln(5 2x).2. xdx3. a xdx1d(1 x2 )2x aC.ln

4、a7.cos7xdx17sin7x C4.设 f (x)是连续函数，则 d f (x)dx f (x)dx25.2x cosx 的原函数是 x sinx.8. 3x 1 3x . a dx d(a 1) 3lna9. sin 3xdxd (cos 3x) .310. lnxdx 1ln2 x C x211. x3dx 1 x4 C .412. xe 2x dx d ( 1e 2x C)413.14.15.16.cosx sin xdx1 19x2 dx2 sin2xdxf (2x)dxsin 2 x C21arctan3x C3(x sin x) C21 f(2x) C2F(0)17.设 f(

5、x)dx F(x) C., 若积分曲线通过原点，则常数 C18.dx1 9x21d(arctan3x).19. xex dx1 x220. 已知 f (x)dx sin 2 x C,则f (x) sin2x22.23.x2 1dx x111x2e dxx12x x C21ex C24.x2 dx x2 11 dln(x2 1) .225.若 f (x)的导函数是 sin x ,则f (x)的原函数为sin x C26.设x3为f (x)的一个原函数，则df (x)3x2dx27.sin 2xdx1 d(1 4cos2x)828.2x2 sinx 的一个原函数是1 x33cosx29.xsin

6、dx33 d (cos 3x ) .30.tan xdxln cos x C31.cos1 2x dx1 sin(1 2x) C232.sec2 xdx tanx C33.dxsin2 3x1cot3x C334.设2x是 f (x)的一个原函数，则 f ( x) dx 2.判断题1.sin xdx cosx c e dx ( )2.xe ()3.sin xdx cosx. sin xdx( )4.cosx c()5.sin(1 2x)dx sin(1 2x)( )6.cos xdx sin x c)四 . 计算题1. 求不定积分21x 1 x2dx.解：原式 =12x2 d(1x2) 13(

7、13x2 )2 C2. 求不定积分3. 求不定积分4. 求不定积分11 dx. 解: 原式= ln3 3xx1 e x dx. 解：原式 = 1 1 ex 1( 1 2sinxxxCx d(1e3)dx. 解: 原式=2 xxex)ln(1 ex )2cosx 3ln x5. 求不定积分2 1 2xe x dx. 解:原式= 1e x C26.求不定积分 2x dx. 解: 原式= 1 ln( 1 x2) Cx2 1 2x x x7.求不定积分 (2x 7x)2dx .解:原式= 4 2 14 49 C 2ln 2 ln14 2ln 78.求不定积分 (2x 1)10 dx . 解: 原式=

8、1 (2x 1)11 C229.求不定积分 ( x 1)(x 1 )dx. 解: 原式=2 x x 1 x x 2 x Cx 5 21110.求不定积分 sin2 xdx.解:原式=1 x 1sin2x C2411.求不定积分 2 1 2 dx.解: 原式= tan x cotx C sin 2 xcos2 x112.求不定积分 1 dx.解:原式=1ln 2x 3 C 2x 3 2113.求不定积分 1 2 arctan xdx . 解: 原式= 1 (arctan x)2 C1 x2 214.求不定积分 3x 4 dx.解:原式= 3ln1 x4 C1 x4 4115. 求不定积分 1 d

9、x. 解: 原式= 1 arctan 2x C 1 4x2 21 5x16.求不定积分 (x3 5x)dx.解:原式=1 x4 5 C4 ln517.求不定积分 e 5xdx.解:原式= 1e 5x C5五. 应用题1.设一质点作直线运动 , 已知其加速度为 a 12t2 3sin t ,如果 t 0时v0 5,s0 3,求(1) v与t的函数关系；( 2) s与t的函数关系 .v(t) (12t2 3sint )dt 4t3 3cost C t 0,v 5 v(t) 4t3 3cost 2 解：s(t) (4t3 3cost 2)dt t4 3sint 2t c t 0,s 3 s(t) t

10、 4 3sint 2t 32.求经过点( 0,0 ),且切线斜率为 2x的曲线方程 .解： y 2xdx x2 C x 0,y 0 y x223.一物体由静止开始运动 , t 秒末的速度是 3t (米/ 秒), 问(1) 在3秒末物体与出发点之间的 距离是多少？ (2) 物体走完 360米需多长时间？解：设运动方程为： S S(t) 3t2dt t3 C t 0,s 0 S(t) t31)当t 3时， S(3) 27(米)2)当 S(t) t 3 360 t 3 360秒.34. 一曲线过原点且在曲线上每一点(x,y)处的切线斜率等于 x3, 求这曲线的方程 .解： yx3dx 41 x4 C

11、x 0,y 014 y 4 x45. 已知物体由静止开始作直线运动, 经过 t 秒时的速度为 360t180 (米/ 秒), 求3秒末物体离开出发点的距离 .解： S(t)2(360t -180)dt 180t2180t C t 0,s 0 S(t)2180t2 180t .当t 3时， S(3) 1080 (米) .16.求经过点 (e,1) , 且切线斜率为 x 的曲线方程 .1 解： y 1dx ln x C x e,y 1 y ln x .x 17.求经过点( 0,0 ),且切线斜率为 1 x2的曲线方程 .1 x 0,y 0解： y 2 dx arctan x C x 0,y 0 y

12、 arctan x .1 x 第五章不定积分 2 一. 单选题1.下列分部积分法中 , u, dv选择正确的是( A).xsin2xdx，u x，dv sin2xdx ln xdx,u 1,dv lnxdxx2e xdx,u e x,dv x2dx xexdx,u ex,dv xdx2. arctan2xdx x arctan2x xd( A ).arctan2x arctan4x - arctan2x - arctan4x dx4-x2x arcsinx arccos arcsinx C 2CarccosxC 二 . 判断题1. 分部积分法 udv uvvdu 的关键是恰当的选择u和dv,

13、使 vdu应比 udv容易积分 .)2.)若被积函数中含有 x2 a2 , 则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分 三. 填空题1. 1 dx 2 x 1 C . x13. x ln xdx4. dx1 9x21x2lnx 1x2 C241.3 d (arcsin3x)6. x sin 3xdx四 . 计算题1. 求不定积分2. 求不定积分3. 求不定积分4. 求不定积分5. 求不定积分6. 求不定积分7. 求不定积分8. 求不定积分9. 求不定积分10. 求不定积分11. 求不定积分12. 求不定积分13. 求不定积分52 x x 2. x e dx e (x 2x 2) Cxcos

14、3x3x2 3x 21sin3x C9dx. 解：原式 =12 3x2d(23x2)122 3x C32x 2e2xx2dx .解：原式 =1 e2x(x2 x 1)22xdx原式 x 1 t(2t22t)dt. 解：23t3t223(x21)3x1Cdxx(1 x) .解：t22 2 dt1 t 22 arctan t C 2 arctan x原式 xxsin 2xdx . 解：5x(x 2)e dx原式 = 1 xcos2x 1sin2x24. 解：原式 =1e5x(x 9) C554xxe dx. 解：原式e 4x(1x 1 ) C4 16dx1 x 1 . 解：原式2 1 x ln(1

15、 1 x) C1 x dx1 ex . 解：原式 =ln 1 ex 1 C1 ex 1x2 ln xdx. 解：原式 1x(ln x 1) C33x1dxx . 解：原式 2( x 1 arctan x 1) C11 2x 1dx- 2x 1 ln 2x 1 1 C. 解：原式214. 求不定积分x a dx(a 0,a 1) .解：原式 ax( x 2x 23 ) Cln a ln 2 a ln 3 a12 dx15. 求不定积分4 9x . 解：原式 1 arcsin 3 x C3216. 求不定积分sin xdx. 解：原式-2 xcos x 2sin x C17. 求不定积分x cos

16、 3xdx. 解：原式1xsin3x31 cos3x C918. 求不定积分x dxx2. 解：原式23(x32)214(x 2) 2 C五. 应用题增加题)第六章定积分一. 单选题xdx(D1. 04 2 020(2x)dx42(2x)dx20(x2)dx42 (x 2)dx20(x2)dx42(2x)dx20 (2x)dx42 (x 2)dxA.大于0B.小于0113. f(x)dx f(x)dxC.(C)等于0D.不能确定A.大于0B.小于0b4.定积分 a f(x)dxC.等于0D.不能确定是( D)A.一个原函数B. f x 的一个原函数 C.一个函数族D.一个常数b5. 定积分 a

17、 f (x)dx 的值的大小取决于 (C)f(x).区间 a,b C. f(x)和 a,b D.都不正确 b6.定积分 a f(x)dx 的值的大小取决于 (C)f(x).区间 a,b C. f(x)和 a,b .无法确定337. f(x)dx f(x)dx(A)42f ( x)dx f (x)dx24433 f(x)dx 2 f (x)dx 下列命题中正确的是( C)(其中 f(x),g(x)均为连续函数)A.在 a,b 上若 f (x)bbg(x) 则 a f(x)dx a g(x)dxB.bf (x)dxba f (t)dtC.若 f(x) g(x), 则f(x)dxbf (x)dx g

18、(x)dx d f(x)dx D. a9. ddx a f(x)dx(B)f (x).0f (x) F(x)若 f (x) 1, 则bf (x)dxa(C)a b b a 定积分ba f(x)dx 是( B)A.任意的常数B.确定的常数 C. f (x)的一个原函数D.f(x) 的全体原函数k)dx 2, 则k (B)1(2x12. 若 0.12x 4dx .12判断题2.3.b(a f(x)dx) 0.( )4.dbsin xdx sinx dx a. 填空题.( )1.设 f (x)在a,b 上连续, 则(x)dx f (b) f (a)2.3x dx6x Cln 63.1012x2 dx

19、x4.1xex2 dxxee5.设51 f(x)dx 3, 2 f (x)dx5,2f (x)dx 21.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件 .( )b0dx b a.( )a3dx 07.若 f(x)在 a,b 上连续,且bf(x)dxa0b,则 f (x) 1dx b a a5238.由曲线 y x2 2,直线x 1,x 3及x轴围成曲边梯形的面积 A 31(x2 2)dx9. d 2sin x dx 0 dx 011x10. 141ln 1 xdx 011.2 sin(1 )1 x dx1x12.12x dx113.1x cos xdx12314. 利用定积分的几何意

20、义填写定积分的值01 10x2dx15.d x 2 sin t 2 dt dx 02 sinx16.22x 2 sin xdx217.13x3dx118.积分e ln xdx的值为19.2 4 22 (3x 5x20.1x0 e dx21.3dx1121 x ln xdx22.2四计算题2)dx4的值的符号为负 .4e11x20 dx1. 求定积分dx 解：原式 2(11xln 2)32. 求定积分104dx2x . 解：原式arcsin x3. 求定积分01(1x)(2 3x)dx. 解：原式 124. 求定积分1 dx解：原式arcsinx12125. 求定积分1 dx211 5x解：原式

21、 =1 ln(1155x)6. 求定积分9 1 dx 解：原式41 x22t ln(t 1) 3254ln22(1 ln2)7. 求定积分8. 求定积分9. 求定积分10. 求定积分11. 求定积分12. 求定积分13. 求定积分14. 求定积分15. 求定积分16. 求定积分17. 求定积分18. 求定积分19. 已知 f(x)20. 求定积分21. 求定积分e xdx0e dx .解：原式1 x2dx1解：原式1 3 2 7 x31304 tan2 d解：原式tan4 sin 22x dx解：原式0 1 sin2 x23ln(1 sin x) 4 ln 32x3 sin2 xdx. 解：原

22、式 =012122arcsin xdx. 解：原式=13 (arcsin x)312123241 dxxx. 解：原式2ln( x 1)3 2ln2x2exdx. 解：原式ex(x2 2x 2)1 e 201 dx 解：原式0 (1 x)413-13(1 x) 37242xexdx0.解：原式ex(x 1)22 e101x xe xdx 0. 解：原式-e x (x1)1120esin xdx3 . 解：原式 cos(x ) 0332x,0x1，计算20 f(x)dx.解：原式12x dx21 (2x)dx12 x,1x30169x1xdx：原式231292714.解(2x22x)32461x

23、 arcta0nxdx解：原式 =1(x2 arctanxx1 arctan x)41202求定积分 1arcsin xdx . 解：原式0(x arcsinx1 x2 )10求定积分2cos2 udu6 . 解 : 原式11(u sin 2u)22求定积分02 x xsin xdx. 解: 原式12x2x cos xsin x求定积分1 1 x 21 2 dx2 x . 解 : 原式 xsintcott14求定积分2111 2 sin dxx x . 解 : 原式 cosx121求定积分12 x 1 2 x 1010 dx.解: 原式 1012ln 10 0495ln10求定积分2sin x

24、cos3 xdx0 解 : 原式14- cos42104求定积分14x2xdx .解:原式018 x 1ln 10 07ln10求定积分e 1 ln xdx1 x . 解 : 原式ln x1ln2xe213 dx求定积分求定积分1 x(1 x) .解:原式 x t 2arctan t 1 2sin 3 xcos xdx 1 40 . 解 : 原式 sin x422.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.1 1 dx 1 求定积分 32 x .解:原式 -ln 2 x 3 ln52 x 2 20 x ex dx .解:原式 1ex22002 sin xdx

25、10(1.解: 原式 cosxx)(2 3x)dx . 解 : 原式t2212te 2 dt0 .解: 原式1 2x22 dx01 x2 . 解: 原式0 xsin xdx.解:原式e ln 2 xdx1 x . 解 : 原式02 3sin xcos xdx2tsin tdt02x1( 42(e452x21)1 1102t2e22(x1e21arctan x) 0xcosxsin x 013ln. 解 : 原式3 sin x2为常数 解: 原式cosxdx.解:原式x2 1dx3131. 解：原式1 2 dxx . 解：原式dx . 解：原式161 4 x xsin x 0213x31 tcos3sinx 222 sin13x3arctanx 133x t 44 1t22t ln(1t)2 ln 321.已知生产某产品 x（百台）时,总收入 R的变化率 R 台） 增加到3（百台）时,总收入的增加量 .x（ 万元 / 百台 ） ，求产量从从 1（ 百解：由已知 R 8 x 得总收入的增加量为： R3Rdx13(8 x)dx 8x12x23136. 求定积分37. 求定积分38. 求定积分39. 求定积分40. 求定积分41. 求定积分42. 求定积分43. 求定积分44. 求定积分45. 求定积分46. 求定积分47. 求定积分48. 求定积分五. 应用题2. 试描画出定积分