最新人教版初中数学八年级下册1821《矩形》优质课教案.docx
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最新人教版初中数学八年级下册1821《矩形》优质课教案
《18.2.1矩形》
本课是在学习了平行四边形后，通过角的特殊化引入了矩形的概念，并研究矩形的性质，得到直角三角形斜边上的中线的性质定理．通过研究性质定理的逆命题探索判定的条件，并从定义出发证明结论，得到矩形的判定定理．
1.理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别与联系；
2．探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题；
3．探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理．
4.掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，选取适当的定理进行推理计算；
5．经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比思想，体会类比学习和图形判定探究的一般思路,发现学生的推理思维.
矩形区别于一般平行四边形的性质的探索、证明和应用．矩形判定的探索、证明和应用．
课件，四根木条制作的平行四边形模型
第一课时
一、观察思考形成概念
活动1:
下图中的独木桥大家玩过吗？
请回答下列问题：
（1）当独木桥前后运动时，四边形ABCD是什么形状？
（2）当独木桥最后停下时，四边形ABCD有什么特殊的变化？
（3）当独木桥静止时，四边形ABCD是什么图形？
【活动说明】学生根据生活中的经验及已学过平行四边形的知识回答上述问题，关键是提醒学生独木桥停止时，铁链条AD和木条由于重力作用互相垂直，并且得到长方形的形象。
活动2：
拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是一个平行四边形吗？
为什么？
（动画演示拉动过程如图）
图18－2－1
再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？
（小学学过的长方形）引出本节课题及矩形定义.
图18－2－2
[说明与建议]说明：
通过平行四边形教具，操作探究矩形与平行四边形之间的关系，帮助学生体会矩形与平行四边形的区别和联系，感受由平行四边形变为矩形的过程，为研究矩形的性质做铺垫.建议：
在展示平行四边形教具的变化情况后让学生说出它的特征，尤其是和平行四边形相比较特殊的性质.
矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）.
举例说明矩形是我们常见的图形之一.学生体会矩形与平行四边形的关系.矩形具有哪些特殊性质呢？
教师强调分析：
矩形只比平行四边形多一个条件：
“有一个角是直角”.
二、类比思考探究性质
活动3矩形性质的探究
1.作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形所有的性质．此外，矩形还有哪些一般平行四边形没有的特殊性质呢？
【教师引导】再次演示教具，并用两只橡皮筋分别固定在AC和BD两端，观察再由平行四边形到矩形的过程中，图形的边、角和对角线哪些元素在发生变化，发生变化的元素也就是矩形特有性质的所在.
【学生活动】通过观察演示，发现矩形的特殊性质体现在角和对角线两个方面，通过画图度量，得出猜想.
猜想1：
矩形的四个角都是直角；
猜想2：
矩形的对角线相等.
2.试用推理论证验证上面两个猜想.
已知：
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，对角线AC和BD相交于O，
求证：
∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=BD.
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD,AB∥CD，∠BCD=∠BAD=90°，∠ABC=∠ADC.
∴∠BAD+∠ABC=90°，
又∵∠BAD=90°，
∴∠ABC=∠ADC=90°.
在△BAD和△CDA中，
∴△BAD≌△CDA.
∴AC=BD.
【小结】
矩形
性质
边
对边平行且相等
角
四个角都是直角
对角线
互相平行且相等
活动4直角三角形斜边上中线的性质
思考下列问题：
三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处.三个人的位置对每个人公平吗？
请画图说明.
一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能得到什么结论？
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
一般地，这个结论对所有直角三角形都成立吗？
请用一句话叙述刚才发现的结论：
定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三、运用性质解决问题
活动5填空：
1.如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
2.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，
（1）图中等腰三角形的个数是；图中直角三角形的个数为.
（2）若矩形对角线的长是10cm，一边长是6cm，则其周长是______cm，面积是___cm2.
（3）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长，则矩形的面积为cm2.
活动6例1 [教材P53例1]如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.求矩形的对角线的长.
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB.
又∵∠AOB=60°，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
练习：
如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线的长是13cm，则矩形的周长是多少？
例2如图，BD，CE是△ABC的两条高，G，F分别是BC，DE的中点.
求证：
FG⊥DE.
解：
连接EG、DG，
∵BD为△ABC的高，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，
∵DG为中线，
∴DG=
BC.
同理，EG=
BC.
∴DG=EG，
又∵EF=DF，
∴FG⊥ED.
四、课堂小结：
1.知识小结：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两条对称轴.
2.知识网络：
第二课时
一、创设情境复习引入
1.回顾平行四边形判定定理的探究过程，想想我们是如何由性质定理猜想出判定定理的？
2.小华想要制作一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他制作的是矩形相框吗？
看看谁的方法可行？
[说明与建议]说明：
通过对矩形定义的复习进一步感受什么是矩形，进而明确定义是判定的重要依据，在此基础上通过问题：
还有没有别的条件也能证明一个四边形是矩形呢？
引导学生思考利用其他的条件证明矩形的方法.
建议：
首先师生一起回顾矩形的定义，重点强调概念中的两个要素，并强调定义是最基本的判定方法.而后提出问题：
是否还有其他的判定方法？
是否可类比平行四边形的判定方法呢？
问题提出后给学生一定的思考时间，针对个别学生可以给出适当的引导.
二、合情猜想得出结论
1.矩形的性质定理有哪些？
能否通过研究矩形性质的逆命题，得到判定矩形的方法呢？
猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形．
猜想2 三个角是直角的四边形是矩形．
[说明与建议]说明：
学生通过复习性质定理发现，矩形的性质主要体现在对角线和角两个方面，试着让学生说出这两个性质定理的逆命题即判定，教师适时进行条件的规范得出猜想.
建议：
教学中让学生大胆说出猜想，作出尝试就好.在学生说出“矩形的四个角都是直角”这一性质定理的逆命题时，学生会说“四个角是直角的四边形是矩形”，这里老师追问，需要四个角吗？
提醒学生四边形内角和是360°.
2.请同学们证明上面两个猜想.
（1）矩形判定定理1：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形.
已知：
在平行四边形ABCD中，AC＝DB.
求证：
平行四边形ABCD是矩形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
在△ABD和△DCA中，
∴△ABD≌△DCA（SSS）.
∴∠BAD=∠CDA.
又∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠CDA=180°，
∴∠BAD=90°.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴□ABCD是矩形.
[说明与建议]
建议：
学生观察、思考后尝试证明判定定理.
教师引导学生证明结论.
提示：
平行四边形的对边相等且平行；有一个角是90°的平行四边形是矩形.
（2）矩形判定定理2：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
已知：
在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
求证：
四边形ABCD是矩形.
证明:
在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
又∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠D=360°—（∠A+∠B+∠C）=90°.
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=90°，
∴□ABCD是矩形.
3.练习：
下列各句判定矩形的说法是否正确？
为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ × ）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ √ ）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；（ √ ）
（4）对角线相等的四边形是矩形；（ × ）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ × ）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ √ ）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（ × ）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ √ ）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形.（ √ ）
三、活用结论形成能力
1.例1[教材P54例2]如图18－2－63，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数.
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
又∵OA=OD，
∴OA=OB=0C=OD.
∴□ABCD是矩形.
∴∠DAB=90°，
∴∠OAB=∠DAB-∠OAD=40°.
变式练习：
已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4cm，求这个平行四边形的面积.
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝
AC，BO＝
BD.
∵AO＝BO，∴AC＝BD.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
在Rt△ABC中，∵AB＝4cm，AC＝2AO＝8cm，
∴BC＝
＝4
（cm）.
∴矩形ABCD的面积为4×4
＝16
（cm）2.
2.例2已知：
如图18－2－64，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：
四边形EFGH是矩形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
又∵AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，
∴∠EAB＋∠ABG＝
×180°＝90°，
∴∠AFB＝90°.
同理可证∠AED＝∠BGC＝∠CHD＝90°.
∴四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
四、课堂小结：
略。
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