18章四边形训练题.docx

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18章四边形训练题

第十八章四边形练习题

1.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（　　）

　A．2

B．4

C．4D．8

2.下列命题中，真命题是（）

A．对角线相等的四边形是等腰梯形

B．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

C．对角线互相垂直的四边形是菱形

D．四个角相等的四边形是矩形

3.如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：

①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．

其中正确的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）

A．BC=ACB．CF⊥BFC．BD=DFD．AC=BF

5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（　　）

A．AC=BDB．OB=OCC．∠BCD=∠BDCD．∠ABD=∠ACD

6.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为　　．

7.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）

8.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．

9.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，

则CD=．

10.如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．

11.如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：

AE=CE．

12.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：

AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？

并说明理由．

13.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.

（1）求证：

AF=DC；

（2）若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

14.已知：

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点

（1）求证：

△ABM≌△DCM

（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AD：

AB=____________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）

15.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．

（1）证明：

∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．

（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；

（3）在

（2）的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．

16.如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE．

（1）求证：

BD=DE．

（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长．

答案

第十九章四边形练习题

1.B解析：

∵AE为∠ADB的平分线，

∴∠DAE=∠BAE，

∵DC∥AB，

∴∠BAE=∠DFA，

∴∠DAE=∠DFA，

∴AD=FD，

又F为DC的中点，

∴DF=CF，

∴AD=DF=

DC=

AB=2，

在Rt△ADG中，根据勾股定理得：

AG=

，

则AF=2AG=2

，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴AF=EF，

则AE=2AF=4

．

2.D解析：

对角线相等的四边形可能是等腰梯形、长方形、正方形等，所以A是假命题；对角线互相垂直且平分的四边形可能是正方形、菱形等，所以B是假命题；对角线互相垂直的四边形可能是菱形、正方形等，所以C是假命题；四个角相等的四边形是矩形是真命题.

3.D解析：

△ABC、△DCE是等边三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，

∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴AD=AC=BC，故①正确；

由①可得AD=BC，

∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴BD、AC互相平分，故②正确；

由①可得AD=AC=CE=DE，

故四边形ACED是菱形，即③正确．

综上可得①②③正确，共3个．

4.D解析：

∵EF垂直平分BC，

∴BE=EC，BF=CF，

∵CF=BE，

∴BE=EC=CF=BF，

∴四边形BECF是菱形；

当BC=AC时，

∵∠ACB=90°，

∴∠A=∠EBC=45°

∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°

∴菱形BECF是正方形．

故选项A正确，但不符合题意；

当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；

当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；

当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．

5.C解析：

A、∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD，

故本选项正确；

B、∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，

在△ABC和△DCB中，

∵

，

∴△ABC≌△DCB（SAS），

∴∠ACB=∠DBC，

∴OB=OC，

故本选项正确；

C、∵无法判定BC=BD，

∴∠BCD与∠BDC不一定相等，

故本选项错误；

D、∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，

∴∠ABD=∠ACD．

故本选项正确．

6.15解析：

∵□ABCD的周长为36，

∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．

∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，

∴OD=OB=BD=6．

又∵点E是CD的中点，

∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，

∴OE=BC，

∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．

故答案是：

15．

7.OA=OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC（答案不唯一）

8.（2，4）或（3，4）或（8，4）解析：

由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：

（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

在Rt△PDE中，由勾股定理得：

DE=

=

=3，

∴OE=OD-DE=5-3=2，

∴此时点P坐标为（2，4）；

（2）如答图②所示，OP=OD=5．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

在Rt△POE中，由勾股定理得：

OE=

=

=3，

∴此时点P坐标为（3，4）；

（3）如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

在Rt△PDE中，由勾股定理得：

DE=

=

=3，

∴OE=OD+DE=5+3=8，

∴此时点P坐标为（8，4）．

综上所述，点P的坐标为：

（2，4）或（3，4）或（8，4）．

9.

解析：

过点D作DE⊥BC于E．

∵AD∥BC，∠B=90°，

∴四边形ABED是矩形，

∴AD=BE=1，

∵BC=4，

∴CE=BC-BE=3，

∵∠C=45°，

∴CD=

．

10.

解析：

∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，

∴BE=

BD=1．

如图2，连接BB′．

根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．

∴∠BEB′=90°，

∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=

BE=

．

又∵BE=DE，B′E⊥BD，

∴DB′=BB′=

．

11.证明：

如图，过点B作BF⊥CE于F，

∵CE⊥AD，

∴∠D+∠DCE=90°，

∵∠BCD=90°，

∴∠BCF+∠DCE=90°，

∴∠BCF=∠D，

在△BCF和△CDE中，

，

∴△BCF≌△CDE（AAS），

∴BF=CE，

又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，

∴四边形AEFB是矩形，

∴AE=BF，

∴AE=CE．

12.

（1）证明：

在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，

∴∠DAF+∠BAF=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

∵在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（ASA），

∴AF=BE；

（2）解：

MP与NQ相等．

理由如下：

如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，

由

（1）可知MP＝NQ．

13.证明：

（1）∵E是AD的中点，∴AE=ED.

∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE,

∴△AFE≌△DBE.

∴AF=DB.

∵AD是BC边上的中点，∴DB=DC,AF=DC

（2）四边形ADCF是菱形.

理由：

由

（1）知，AF=DC,

∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.

又∵AB⊥AC,∴△ABC是直角三角形

∵AD是BC边上的中线,∴

.

∴平行四边形ADCF是菱形.

14.解：

（1）因为四边形ABCD是矩形，所以，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，又MA＝MD，

所以，△ABM≌△DCM

（2）四边形MENF是菱形；

理由：

因为CF＝FM，CN＝NB，

所以，FN∥MB，同理可得：

EN∥MC，

所以，四边形MENF为平行四边形，

又△ABM≌△DCM

∴MB＝MC，又∵

∴ME＝MF，

∴平行四边形MENF是菱形.

（3）2：

1

15.

（1）证明：

∵在△ABC和△ADC中

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC=∠DAC，

∵在△ABF和△ADF中

，

∴△ABF≌△ADF，

∴∠AFD=∠AFB，

∵∠AFB=∠CFE，

∴∠AFD=∠CFE，

∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE.

（2）证明：

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

又∵∠BAC=∠DAC，

∴∠CAD=∠ACD，

∴AD=CD，

∵AB=AD，CB=CD，

∴AB=CB=CD=AD，

∴四边形ABCD是菱形；

（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，

理由：

∵四边形ABCD为菱形，

∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，

在△BCF和△DCF中

，

∴△BCF≌△DCF（SAS），

∴∠CBF=∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠DEF=90°，

∴∠EFD=∠BCD．

16.

（1）证明：

∵AD∥BC，CE=AD，

∴四边形ACED是平行四边形，

∴AC=DE，

∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，

∴AC=BD，

∴BD=DE．

（2）解：

过点D作DF⊥BC于点F，

∵四边形ACED是平行四边形，

∴CE=AD=3，AC∥DE，

∵AC⊥BD，

∴BD⊥DE，

∵BD=DE，

∴S△BDE=

BD•DE=

BD2=

BE•DF=

（BC+CE）•DF=

（BC+AD）•DF=S梯形ABCD=16，

∴BD=4

，

∴BE=

BD=8，

∴DF=BF=EF=

BE=4，

∴CF=EF-CE=1，

∴AB=CD=

=

．