福建省普通高中毕业班质量检查数学理科试题.docx

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福建省普通高中毕业班质量检查数学理科试题

2009年福建省普通高中毕业班质量检查

数学（理科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页，全卷满分150分，考试时间120分钟．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）．

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）．

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn（k）=．

球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径．

球的体积公式V=πR3，其中R表示球的半径．

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：

本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把正确答案填在题目后面的括号内．

1．复数i（1一i）等于（）

A．1+iB．1一iC．一1+iD．一1一i

2．设全集为R，A={x|—1＜x＜1}，B={x|x≥0}，则CR（A∪B）等于（）

A．{x|0≤x＜1}B．{x|x≥0}C．{x|x≤-1}D．{x|x＞-1}

3．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ=6.3，则a的值为（）

ξ

4

a

9

P

0.5

0.1

b

A．5B．6C．7D．8

4．已知A、B为球面上的两点，O为球心，且AB=3，∠AOB=120°，则球的体积为（）

A．B．C．36πD．

5．已知条件p:

k=，条件q：

直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．已知数列的前n项和为Sn，且Sn是an。

与1的等差中项，则an等于（）

A．1B．-1C．（-1）nD．（-1）n-1

7．若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（）

A．若m∥α，nα，则m∥nB．若m∥α，mβ，α∩β=n，则m∥n

C．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α

8．函数y=Asin（ωx+φ）的周期为2π，其图象的一部分如图所示，

则此函数的解析式可以写成（）

A．=sin（2—2x）

B．=sin（2x一2）

C．=sin（x一1）

D．=sin（1一x）

9．已知函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）成中心对称，则函数y=f（x）一定是（）

A．奇函数B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数

lO．已知则方程f（x）=2的实数根的个数是（）

A．0B．1C．2D．3

11．某学校开设10门选修课程，其中3门是技能类课程，2门是理论类课程．学校规定每位学生应选修4门，且技能类课程和理论类课程每类至多选修1门，则不同的选修方法种数是（）

A．50B．100C．11OD．115

12．若函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f

（2）=0，则＜0的解集为（）

A．（-2,0）∪（0,2）B．（-∞，-2）∪（0,2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）D．（-2,0）∪（2，+∞）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分。

共16分．请把正确答案填在题目后面的横线上．

13．二项式（）6的展开式中，常数项为_____________.

14．椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为____．

15．已知向量a=（1，1），b=（sinx，-cosx），x∈（0，π），若a∥b，则x的值是_______．

16．阅读下面材料，并回答问题：

设D和D1是两个平面区域，且D1D．在区域D内任取一点M，记“点M落在区域D1内”为事件A，则事件A发生的概率P（A）=.

已知有序实数对（a，b）满足a∈[O，3]，b∈[0，2]，则关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有实数根的概率是________．

三、解答题：

本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明。

证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx（x∈R）

（I）求f（）的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

18．（本小题满分12分）

在数列中，a1=1，an+1=（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列．

（I）求证：

数列是等差数列；

（Ⅱ）求c的值；

（Ⅲ）设bn=anan+1，数列的前n项和为Sn，求．

19．（本小题满分12分）

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AA1，和CC1的中点．

（I）求证：

EF∥平面ACD，；

（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角；

（Ⅲ）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P-AC-B的大小

为30°?

若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值υ（美元）与其重量ω（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．

（I）写出υ关于ω的函数关系式；

（Ⅱ）若把一颗钻石切割成重量比为1∶3的两颗钻石，求价值损失的百分率；

（Ⅲ）试用你所学的数学知识证明：

把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：

1切割，价值损失的百分率最大．

（注：

价值损失的百分率=×100％；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

21．（本小题满分12分）

已知定点A（a，O）（a>0），B为x轴负半轴上的动点．以AB为边作菱形ABCD，使其两对角线的交点恰好落在y轴上．

（I）求动点D的轨迹E的方程；

（Ⅱ）过点A作直线l与轨迹E交于P、Q两点，设点R（-a，0），问当l绕点A转动时，∠PRQ是否可以为钝角?

请给出结论，并加以证明．

22．（本小题满分14分）

已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值．

（I）求实数a的值；

（Ⅱ）若关于x的方程，f（x）=在区间[O，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）证明：

对任意的正整数n，不等式ln都成立．

2009年福建省普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题

参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：

本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

1．A2．C3．C4．B5．A6．D7．B8．D9．A10．D11．D12．A

二、填空题：

本题考查基础知识和基本运算。

每小题4分。

满分16分．

13．15；14．；15．；16．

三、解答题：

本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；考查理解能力和运算能力．满分12分．

解：

……………………………………………………（4分）

………………………………………（6分）

…………………………………………………（8分）

…………………………………………（10分）

即时，f（x）单调递增.

∴f（x）单调递增区间为[，]……………………（12分）

18．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识考查化归与转化的思想方

法；考查推理与运算能力．满分12分．

解法一：

（I），且a1=1，显然an≠0

，又c为常数，

∴数列是等差数列.………………………………………………（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，……………………………（5分）

又∵a1，a2，a5成等比数列，，解得c=0或c=2.（7分）

当c=0时，an+1=an，不合题意，舍去.

∴c=2.……………………………………………………………………（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知c=2，∴…………………………………………（9分）

…………（10分）

……………………………………………………（11分）

.…………………………………………………………（12分）

解法二：

（Ⅰ），且a1=1，显然an≠0

，……………………………………………（2分）

，又c为常数，

∴数列是等差数列……………………………………………（4分）

（Ⅱ）、（Ⅲ）解法同解法一.

19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想象能力。

逻辑思维能力和探索问题、解决问题的能力．满分12分．

解法一：

如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知

得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、

C（0，2，0）、B1（2，2，2）、D1（0，0，2）、

E（1，0，2）、F（0，2，1）．…………（2分）

（Ⅰ）易知平面ACD1的一个法向量是

=（2，2，2）.…………………（4分）

又∵=（-1,2，-1），

由·=-2+4-2=0，

∴⊥，而EF平面ACD1，

∴EF∥平面ACD1……………………………………………………（6分）

（Ⅱ）∵=（0,2，0），cos<,>=

∴异面直线EF与AB所成的角为arccos……………………（8分）.

（Ⅲ）设点P（2，2，t）（0

则

∵=（0，2，t）,=（-2，2，0），

∴取.

易知平面ABC的一个法向量，

依题意知，<，>=30°或<，>=150°，

∴|cos<，>|=………………………（10分）

即，解得

∵，∴在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时，

二面角P-AC-B的大小为30°.……………………………（12分）

解法二：

（Ⅰ）同解法一知=（-1,2，-1），=（-2,0，2），

=（-2,2，0），∴-=，

∴、、共面.

又∵EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.……………………………（4分）

（Ⅱ）、（Ⅲ）同解法一．

解法三：

（Ⅰ）取AD1的中点K，连结EK、KC，在△AA1D1

中，EK∥AA1，且EK=AA1，

∵FC=CC1，CC1∥AA1，∴FCEK，

∴四边形EKCF为平行四边形，

∴EF∥CK．又∵CK平面ACD1，

EF平面ACD1，∴EF∥平面ACD1.（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EF∥CK，又AB∥CD，

∴∠DCK就是异面直线AB和EF所成的角（或补角）．

连DK，∵CD⊥平面AD1，DK平面AD1，

∴CD⊥DK，在Rt△CDK中，DC=2，DK=，∴tan∠DCK=，

∴异面直线AB和EF所成的角为arctan．…………………（8分）

（Ⅲ）假设存在点P，使得二面角P—AC—B的大小为30°．连结BD交AC于O点，连结OP，∵ABCD为正方形，∴BO⊥AC，而OB为OP在平面AC上的射影，由三垂线定理得OP