证明二经典讲义学生.docx

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证明二经典讲义学生

证明

（二）

1．等腰三角形

一、主要知识点

1、证明三角形全等的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL）及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

2、等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）

3、等边三角形的有关知识点。

判定：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；

三条边都相等的三角形是等边三角形；

三个角都是60°的三角形是等边三角形；

有两个叫是60°的三角形是等边三角形。

性质：

等边三角形的三边相等，三个角都是60°。

4、反证法：

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法

一、填空题

1、已知，等腰△ABC，AB=AC：

（1）若AB=BC，则△ABC为_________三角形；

（2）若∠A=60°，则△ABC为_______三角形；

（3）若∠B=60°，则△ABC为_______三角形.

2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.

3、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图

（1）中作出等腰△ABC，等边△DEF的对称轴.

4图5图6图

4、如图上右图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为D，E为AC的中点，AD=DE=6cm

则∠ACD=_____°,AC=______cm,∠DAC=_______°，△ADE是______三角形.

5、如左下图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，如果AB=8cm，则BD=_______cm，∠BDE=_____°,BE=______cm.

6、如右上图，Rt△ABC中，∠A=30°,AB+BC=12cm，则AB=__________cm.

二、选择题

7、下列说法不正确的是（）

A.等边三角形有三条对称轴B.线段AB只有一条对称轴

C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线

8、下列命题不正确的是（）

A.等腰三角形的底角不能是钝角B.等腰三角形不能是直角三角形

C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形

D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形

9、在Rt△ABC中，如右图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=3.8cm，则BC等于（）

A.3.8cmB.7.6cm

C.11.4cmD.11.2cm

三、解答与证明

10、如下图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶

∠BCD=2∶3，求：

∠ABC的度数.

11、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：

MD=MA.

12、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：

AE=CD.

2．直角三角形

一、主要知识点

1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、互逆命题、互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

二、典型例题分析

例1：

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

（1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，同旁内角互补；

（3）如果ab=0,那么a=0,b=0；

（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等

一、填空题

1、如图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90

（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

2、如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.

3、已知：

如图下左图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△_______≌△_______（HL）.

4、已知：

如上中图，BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.

5、已知：

如上右图，AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=______°.

二、选择题

6、如下左图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）

A.HLB.AASC.SSSD.ASA

7、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如上右图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）

A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°

C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°

8、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）

A.两条直角边对应相等面B.有两条边对应相等

C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等

三、证明题

9、如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：

CD=CB.

10、已知：

如下图，CD、C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB=

C′B′，CD=C′D′.求证：

△ABC≌△A′B′C′.

11、如下图，已知∠ABC=∠ADC=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：

EB=ED.

3.线段的垂直平分线

一、主要知识点

1、线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

2、角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法

如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

一、判断题

1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点（）

2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点（）

3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等（）

4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称（）

二、填空题

5、如图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.

5图6图7图8图

6、如图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.

7、如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.

8、如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.

9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________（HL）；从而BD=DC，则△________≌△_________（SAS）；△ABC是__________三角形.

10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=_______度.

三、作图题

11、

（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC

（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：

当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；

当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；

当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；

反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.

四、类比联想

12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.

4.角平分线

一、判断题

1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个（）

2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个（）

3、三角形三条角平分线交于一点（）

4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（）

5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形（）

二、填空题

6、如图

（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.

7、如图

（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.

8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.

9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：

A、M、N在一条直线上.

证明：

过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC

过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC

∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC

∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上

又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB

∴__________=__________，__________=__________∴__________=__________

∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上

∴A、M、N在一条直线上

三、作图题

10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.

11、在下图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点.

12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.

四、解答题

13、已知：

如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：

D到AB边的距离.

单元测试

一、填空题

1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.

2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.

3.如下左图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_________.

4.如上右图，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE∶EC=_________.

5.如下左图，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10cm，AC=6cm，则△ACD的周长为_________.

6.如上右图，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3cm，则AD=_________cm.

7.如下左图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.

8.等腰直角三角形一条边长是1cm，那么它斜边上的高是_________cm.

9.如上右图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于点C，则图中共有_________对全等三角形.

10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.

11.三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a（b－c），则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.

二、选择题

12.等边三角形的高为2

，则它的边长为（）A.4B.3C.2D.5

13.等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（）

A.

B.90－

C.

D.90°－n°

14.下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（）

A.a=3，b=4，c=5B.a=1，b=

，c=

C.a=9，b=12，c=15D.a=

，b=2，c=

15.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（）

A.6B.7.5C.10D.12

16.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是（）

A.5cmB.6cmC.

cmD.8cm

17.如右图，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数为（）

A.55°B.45°C.36°D.30°

18.等腰△ABC中，AC=2BC，周长为60，则BC的长为（）

A.15B.12C.15或12D.以上都不正确

19.直角三角形两直角边分别是5cm、12cm，其斜边上的高是（）

A.13cmB.

cmC.

cmD.9cm

20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（）

A.25B.50C.100D.60

21.等腰三角形的底边为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）

A.

aB.

aC.

aD.

a

22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形

23.等腰三角形ABC中，∠A=120°，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE=4cm，则AD等于（）

A.8cmB.7cmC.6cmD.4cm

24.下列说法中，正确的是（）

A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等

C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

25.如右图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，

那么AC长为（）

A.8B.5C.3D.

26.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

27.下列定理中逆定理不存在的是（）

A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等

B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等

C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等

*28.已知一个直角三角形的周长是4+2

，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（）

A.5B.2C.

D.1

三、解答题

29.已知：

如图，AB=AC，DE∥AC，求证：

△DBE是等腰三角形.

30.已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=

∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：

CD=

DB.

31.已知三角形的三边分别是n2+n，n+

和n2+n+

（n＞0），求证：

这个三角形是直角三角形.

32.如图，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：

AD平分∠BAC.

33.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=

，求BE的长.

*34.①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，∠A=30°，求∠NMB的大小.

②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.

③你感到存在什么样的规律性？

试证明.（请同学们自己画图）

④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？