证明二经典讲义学生.docx

1、证明二经典讲义学生证明（二）1等腰三角形一、主要知识点1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。2、 等腰三角形的有关知识点。等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）3、 等边三角形的有关知识点。判定：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是60的三角形是等边三角形； 有两个叫是60的三角形是等边三角形。性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60。 4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导

2、出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法一、填空题1、已知，等腰ABC，AB=AC：（1）若AB=BC，则ABC为_三角形；（2）若A=60，则ABC为_三角形；（3）若B=60，则ABC为_三角形.2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是_.3、底与腰不等的等腰三角形有_条对称轴，等边三角形有_条对称轴.请你在图（1）中作出等腰ABC，等边DEF的对称轴. 4图 5图 6图4、如图上右图，已知ABC是等边三角形，ADBC，CDAD，垂足为D，E为AC的中点，AD=DE=6cm则ACD=_,AC=_cm,DAC=_

3、，ADE是_三角形.5、如左下图，ABC是等边三角形，ADBC，DEAB，垂足分别为D，E，如果AB=8 cm，则BD=_cm，BDE=_,BE=_cm.6、如右上图，RtABC中，A=30,AB+BC=12 cm，则AB=_cm.二、选择题7、下列说法不正确的是 （ ）A.等边三角形有三条对称轴 B.线段AB只有一条对称轴C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线 D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线8、下列命题不正确的是 （ ）A.等腰三角形的底角不能是钝角 B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30的直角三角形可以

4、拼成一个等边三角形9、在RtABC中，如右图所示，C=90，CAB=60，AD平分CAB，点D到AB的距离DE=3.8 cm，则BC等于 （ ）A.3.8 cm B.7.6 cmC.11.4 cm D.11.2 cm三、解答与证明10、如下图，在ABC中，A=20，D在AB上，AD=DC，ACDBCD=23，求：ABC的度数. 11、如下图，在ABC中，B=90，M是AC上任意一点（M与A不重合）MDBC，交BAC的平分线于点D，求证：MD=MA.12、如右图，已知ABC和BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.2直角三角形一、主要知识点 1、直角三角形的有关知识。直角三角形两条直角边的平方和

5、等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.二、典型例题分析 例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互

6、补； （3）如果ab=0,那么a=0,b=0； （4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等一、填空题1、如图，RtABC和RtDEF，C=F=90（1）若A=D，BC=EF，则RtABCRtDEF的依据是_.（2）若A=D，AC=DF，则RtABCRtDEF的依据是_.（3）若A=D，AB=DE，则RtABCRtDEF的依据是_.（4）若AC=DF，AB=DE，则RtABCRtDEF的依据是_.（5）若AC=DF，CB=FE，则RtABCRtDEF的依据是_.2、如右图，在RtABC和RtDCB中，AB=DC，A=D=90，AC与BD交于点O，则有_，其判定依据是_，还有_，其

7、判定依据是_.3、已知：如图下左图，AEBC，DFBC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则_（HL）.4、已知：如上中图，BE，CF为ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=_.5、已知：如上右图，AB=CD，DEAC于E，BFAC于F，且DE=BF，D=60，则A=_.二、选择题6、如下左图，O是BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则AEOAFO的依据是( ) A.HL B.AAS C.SSS D.ASA7、在RtABC和RtABC中，C=C=90，如上右图，那么下列各条件中，不能使RtABCRtABC的是( )A.AB=AB=5

8、，BC=BC=3 B.AB=BC=5，A=B=40C.AC=AC=5，BC=BC=3 D.AC=AC=5，A=A=408、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边对应相等面 B.有两条边对应相等 C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等三、证明题9、如下图，CDAD，CBAB，AB=AD，求证：CD=CB.10、已知：如下图，CD、CD分别是RtABC，RtABC斜边上的高，且CB=CB，CD=CD.求证：ABCABC. 11、如下图，已知ABC=ADC=90，E是AC上一点，AB=AD，求证：EB=ED.3.线段的垂直平分线一、主要知识点1、 线段的垂直平

9、分线。线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。2、 角平分线。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。3、 逆命题、互逆命题的概念，及反证法如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点 （ ）2、以三角形两边的垂直平分线

10、的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点 （ ）3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等 （ ）4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称 （ ）二、填空题5、如图，点P为ABC三边中垂线交点，则PA_PB_PC. 5图 6图 7图 8图6、如图，在锐角三角形ABC中，A=50，AC、BC的垂直平分线交于点O，则1_2，3_4，5_6，2+3=_度，1+4=_度，5+6=_度，BOC=_度.7、如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD_DC，点D在_的垂直平分线上.8、如图，在ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则B

11、_1，C_2；若BAC=126，则EAG=_度.9、如左下图，AD是ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则_(HL)；从而BD=DC，则_(SAS)；ABC是_三角形.10、如右上图，BAC=120，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则ADB=_度.三、作图题11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC （2）观察各图中的点P与ABC的位置关系，并总结规律：当ABC为锐角三角形时，点P在ABC的_；当ABC为直角三角形时，点P在ABC的_；当ABC为钝角三角形时，点P在ABC的_；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想12、既然

12、任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.4.角平分线一、判断题1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个（ ）2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个（ ）3、三角形三条角平分线交于一点（ ）4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（ ）5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形（ ）二、填空题6、如图（1），点P为ABC三条角平分线交点，PDAB，PEBC，PFAC，则PD_PE_PF.7、如图（2），P是AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE

13、=2cm，则PE与OB的关系是_.8、如图（3），CD为RtABC斜边上的高，BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FGAB，垂足为G，则CF_FG，1+3=_度，2+4=_度，3_4，CE_CF. 9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，EBC、BCD的角平分线交于点M，BED、EDC的角平分线交于N. 求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NFAB，NHED，NKAC过点M作MJBC，MPAB，MQACEN平分BED，DN平分EDCNF_NH，NH_NK NF_NK N在A的平分线上又BM平分ABC，CM平分ACB_=_，_=_ _=_M在A的_上 M、N都在A的_上A、M、

14、N在一条直线上三、作图题10、利用角平分线的性质，找到ABC内部距三边距离相等的点.11、在下图ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点.12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题13、已知：如下图在ABC中，C=90，AD平分BAC，交BC于D，若BC=32，且BDCD=97，求：D到AB边的距离.单元测试一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70，则其余两角分别为_.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_.3.如下左图，ABC中，C=

15、90，AM平分CAB，CM=20 cm，则点M到AB的距离是_.4.如上右图，等边ABC中，F是AB中点，EFAC于E，若ABC的边长为10，则AE=_，AEEC=_.5.如下左图，ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，则ACD的周长为_. 6.如上右图，C=90，ABC=75，CDB=30，若BC=3 cm，则AD=_ cm.7.如下左图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，ACE=25，ADE=_.8.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_ cm.9.如上右图，在AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT

16、和QS相交于点C，则图中共有_对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是_，这个逆命题是_命题.11.三角形三边分别为a、b、c，且a2bc=a(bc)，则这个三角形（按边分类）一定是_三角形.二、选择题12.等边三角形的高为2，则它的边长为（ ） A.4 B.3 C.2 D.513.等腰三角形的顶角是n，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A. B.90 C. D.90n14.下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）A.a=3，b=4，c=5 B.a=1，b=，c= C.a=9，b=12，c=15 D.a=，b=2，c=15.直角三角形的三边长为连

17、续自然数，则它的面积为（ ）A.6 B.7.5 C.10 D.1216.ABC中，ABC=123，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）A.5 cm B.6 cm C. cm D.8 cm17.如右图，ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则A的度数为（ ）A.55 B.45 C.36 D.3018.等腰ABC中，AC=2BC，周长为60，则BC的长为（ ）A.15 B.12 C.15或12 D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ）A.13 cm B. cm C. cm D.9 cm20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方

18、形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ）A.25 B.50 C.100 D.6021.等腰三角形的底边为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ）A. a B. a C. a D. a22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形23.等腰三角形ABC中，A=120，BC中点为D，过D作DEAB于E，AE=4 cm，则AD等于（ ）A.8 cm B.7 cm C.6 cm D.4 cm24.下列说法中，正确的是（ ）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等 B.有一边对应相等

19、的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如右图，ABCD，ABD、BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为（ ）A.8 B.5 C.3 D. 26.将两个全等的有一个角为30的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A.4 B.3 C.2 D.1 27.下列定理中逆定理不存在的是（ ）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等*28.已知一个

20、直角三角形的周长是4+2，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）A.5 B.2 C. D.1三、解答题29.已知：如图，AB=AC，DEAC，求证：DBE是等腰三角形.30.已知：如图，在RtABC中，C=90，BAD=BAC，过点D作DEAB，DE恰好是ADB的平分线，求证：CD=DB.31.已知三角形的三边分别是n2+n，n+和n2+n+ (n0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图，ABC中，AB=AC，1=2，求证：AD平分BAC.33.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边ABD，连结DC，以DC当边作等边DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=，求BE的长.*34.在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M，A=30，求NMB的大小.如果将中的A的度数改为70，其余条件不变，再求NMB的大小.你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）将中的A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？