新高一数学暑假衔接课程.docx
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新高一数学暑假衔接课程
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新高一数学暑假衔接课程
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新高一数学衔接课程说明
课程目标
初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在学习方法上，都存在较大的差异，对于刚升入新高
一的学生来说，在学习中存在很多不适应的地方：
比如学习习惯、学习方法等.因此我们编写了这套《初高
中数学衔接课程》，旨在解决以上问题.
1．补充初高中脱节的数学知识、需要加深的初中数学知识等，为高中学习铺路搭桥.
2．学习集合与函数等知识，使新高一的学生了解高中数学的基本特点、要求、学法及教学方法；
3．培养学生学习高中数学的自信心.
适用对象
新高一学生
课时安排
授课时间：
7-8月，共计10-15次课，20小时（一对一）或30小时（班组课）.
课程特色
以初中所学知识为起点，逐步过渡到高一知识，注重在初高中知识之间搭台阶，平稳起步；对于高中
新知识，注重对概念、定理、公式的理解，避免死记硬背；在知识衔接的同时，注重学习方法、学习习惯
的衔接.课程结构
第1讲数与式
第2讲一元二次方程与韦达定理
第3讲一元二次函数与二次不等式
第4讲集合的基本概念
第5讲集合的基本运算
第6讲集合的综合复习
第7讲函数的概念与定义域
第8讲求函数的值域
第9讲函数的解析式
第10讲函数的表示方法及值域综合复习
第11讲函数的单调性
（1）
第12讲函数的单调性
（2）
第13讲函数的奇偶性
第14讲指数运算
第15讲对数运算
第1讲数与式
知识点一：
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式；
（2）完全平方公式．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式；
（2）立方差公式；
（3）三数和平方公式；
（4）两数和立方公式；
（5）两数差立方公式．
【典型例题】：
（1）计算：
=___________________________________
（2）计算：
=______________________________
（3）计算=____________________________
（4）=___________________________________
变式1：
利用公式计算
（1）=_______________________
（2）=________________________
变式2:
利用立方和、立方差公式进行因式分解
（1）
（2）（3）（4）
【典型例题】
（1）
（2）已知，求的值．
（3）已知，求的值．
变式1:
计算：
变式2:
已知，，求的值．
知识点二、根式
式子叫做二次根式，其性质如下：
（1）
（2）
（3）（4）
【典型例题】：
基本的化简、求值
化简下列各式：
（1）=___________
（2）=_____________
（3）计算=_______________________
（4）=_______________________
（5）=_______________________
（6）设，求=_______________________
变式1:
二次根式成立的条件是（）
A．B．C．D．是任意实数
变式2:
若，则的值是（）
A．－３B．３C．－９D．９
变式3：
计算
（1）
（2）
知识点三、分式
【典型例题—1】：
1、分式的化简
化简
化简
2、
（1）试证：
（其中n是正整数）；
（2）计算：
；
（3）证明：
对任意大于1的正整数，有．
3、分式的运用
设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值
变式1：
对任意的正整数n，______________
变式2:
选择题：
若，则=（ ）
（A）１（B）（C）（D）
变式3:
计算
知识点四、因式分解
【内容概述】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。
在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。
是一种重要的基本技能。
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等。
1、【典型例题】：
公式法（立方和、立方差公式）
我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：
（立方和公式）
（立方差公式）
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）。
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。
例：
（1）
（2）
变式：
分解因式：
（1）
（2）
【典型例题】：
分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．
分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：
分组后能提取公因式
（2）分组后能直接运用公式
例：
分解因式
（1）=_______________________
（2）=_______________________
（3）=_______________________
（4）=_______________________
3、【典型例题】：
十字相乘法
型的因式分解
把下列各式因式分解：
（1）=_______________________
（2）=_______________________
（3）=_______________________
（4）=_______________________
（5）=_______________________
（6）=_______________________
一般二次三项式型的因式分解
（1）
（2）
变式练习:
（1）x2-6x+5=_______________________
（2）x2+15x+56=_______________________
（3）x2+2xy-3y2=_______________________
（4）（x2+x）2-4（x2+x）-12=_______________________
4、拆项法（选讲）
分解因式=_______________________
课后练习：
1．填空：
（1）（）；
（2）；
（3）．
（4）若，则的值为________
（5）若，则______________
（6），，则________________
（7）若，则_______________
（8）若，则（ ）
（A）（B） （C） （D）
（9）计算等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
（10）若，则的值为（）
A．B．C．D．
2．化简：
（1）
（2）
3．把下列各式分解因式：
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
第2讲一元二次方程与韦达定理
知识点一、一元二次方程根的判别式
【典型例题】
例1.求下列方程的根
（1）
（2）（3）
例2.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x2－3x＋3＝0；
（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋（a－1）＝0（4）x2－2x＋a＝0．
变式练习:
已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程有实数根；（4）方程无实数根。
知识点二、根与系数的关系（韦达定理）
【内容概述】
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，，
则有：
；
．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
x1＋x2＝，x1·x2＝．
这一关系也被称为“韦达定理”．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知：
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即：
p＝－（x1＋x2），q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0。
由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0的两根．因此有：
以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·x2＝0．
例3.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
例4.已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
例5.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
例6.若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求|x1－x2|的值；
（2）求的值；（3）．
变式：
若是方程的两个根，试求下列各式的值：
（1）；
（2）；（3）；（4）
例7.若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的范围．
例8.已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值。
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根满足。
例9.已知是一元二次方程的两个实数根。
（1）是否存在实数，使成立？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
求使的值为整数的实数的整数值。
变式1：
填空:
（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝．
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是．
（4）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．
（5）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．
变式2:
已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
变式3:
已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求（x1－3）（x2－3）的值．
变式4:
已知关于x的方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x1和x2，如果2（x1＋x2）＞x1x2，求实数k的取值范围．
变式5：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．
求：
（1）|x1－x2|和；
（2）x13＋x23．
变式6：
关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|x1－x2|＝2，求实数m的值．
课堂练习
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）
（A）－3（B）3（C）－2（D）2
（2）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）
（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．
（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．
（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．
（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－（2m＋1）x＋1＝0有两个不相等的实数根？
有两个相等的实数根？
没有实数根？
第3讲一元二次函数与二次不等式
知识点一、的图像与性质、
【内容概述】
当时，
eq\o\ac（○,1）函数图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；
eq\o\ac（○,2）当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最小值．
2、当时，
eq\o\ac（○,1）函数图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；
eq\o\ac（○,2）当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最大值．
上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．
【典型例题】:
例1.求二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？
并画出该函数的图象．
变式1：
作出以下二次函数的草图
（1）
（2）（3）
例2.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？
此时每天的销售利润是多少？
把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值
知识点二、二次函数的三种表示方式
【内容概述】
1、一般式：
y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
2、顶点式：
y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），其中顶点坐标是（－h，k）．
3、交点式：
y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）
例4.已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．
例5.已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．
例6.已知二次函数的图象过点（－1，－22），（0，－8），（2，8），求此二次函数的表达式．
例7.函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）
（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定
变式1:
已知二次函数的图象经过与x轴交于点（－1，0）和（2，0），则该二次函数的解析式可设为
y＝a（a≠0）．
变式2：
二次函数y＝－x2+2eq\r（3）x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为．
变式3：
根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点（1，－2），（0，－3），（－1，－6）；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点（1，11）；
（3）函数图象与x轴交于两点（1－eq\r
（2），0）和（1＋eq\r
（2），0），并与y轴交于（0，－2）．
知识点三、二次函数的最值问题
【内容概述】
1．二次函数的最值．
二次函数在自变量取任意实数时的最值情况：
当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值
2．二次函数最大值或最小值的求法．
第一步：
确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；
第二步：
配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
3．求二次函数在某一范围内的最值．
如：
在（其中）的最值．
第一步：
先通过配方，求出函数图象的对称轴：
；
第二步：
讨论：
（1）若时求最小值或时求最大值，需分三种情况讨论：
①对称轴小于即，即对称轴在的左侧；
②对称轴，即对称轴在的内部；
③对称轴大于即，即对称轴在的右侧。
（2）若时求最大值或时求最小值，需分两种情况讨论：
①对称轴，即对称轴在的中点的左侧；
②对称轴，即对称轴在的中点的右侧；
说明：
求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置
【典型例题】
例8.求下列函数的最大值或最小值．
（1）；
（2）
例9.当时，求函数的最大值和最小值．
例10.当时，求函数的取值范围．
例11.当时，求函数的最小值（其中为常数）．
变式1：
设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．
变式2：
已知函数在上的最大值为4，求的值．
变式3：
求关于的二次函数在上的最大值（为常数）．
变式4：
已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；
（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．
知识点四、一元二次不等式
【内容概述】
通过前面的学习，咱们已经掌握了根据二次函数的解析式画函数的图像，现在同学们根据图像与x轴交点的个数分类，详细总结，然后对比二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系.（在黑板上画出表格的框架，让学生来填，引导学生自主找规律）
1、一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，
则不等式的解的各种情况如下表：
2．简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法：
对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零.
3．含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为的形式：
（1）当时，不等式的解为：
；
（2）当时，不等式的解为：
；
（3）当时，不等式化为：
；
①若，则不等式的解是全体实数；
②若，则不等式无解．
【典型例题】
例12解下列不等式：
（1）
（3）（4）（5）
（6）（7）（8）
（9）
例13已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．
例14解关于x的不等式
课后练习：
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，），B（1，0），C（，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（，0），（5，0），且与y轴交于点（0，）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，），且与x轴两交点间的距离为4．
2.已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
3.若0A.a或xa
4.如果方程ax2＋bx＋b＝0中，a＜0，它的两根x1，x2满足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解是_______________
5.解下列不等式：
（1）3x2－2x＋1＜0；
（2）3x2－4＜0；（3）2x－x2≥－1；
（4）4－x2≤0．（5）4+3x－2x2≥0;（6）9x2－12x>－4;
6.解关于x的不等式x2－（1＋a）x＋a＜0（a为常数）．
关于x的不等式的解为求关于x的不等式的解．
第四讲：
集合的基本概念
知识点一、集合的概念
【内容概述】
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称“元”
例1.考查下列每组对象能否构成一个集合：
（1）著名的数学家；
（2）某校2010年在校的所有高个子同学；
（3）不超过20的非负数；（4）方程x2－9＝0在实数范围内的解；
（5）直角坐标平面内第一象限的一些点；（6）eq\r（3）的近似值的全体．
变式1:
下面有三个命题：
其中正确的命题有________个．
（1）自然数中最小的数是零
（2）0是自然数
{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；
【概括】：
集合中元素的特性
确定性：
它的元素必须是确定的。
互异性：
同一集合中不应重复出现同一元素.一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象。
无序性：
对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的
例2.下列各组对象：
其中能构成集合的组数是（）
eq\o\ac（○,1）接近于0的数的全体eq\o\ac（○,2）比较小的正整数全体eq\o\ac（○,3）的近似值的全体
eq\o\ac（○,4）平面上到点O的距离等于1的点的全体eq\o\ac（○,5）正三角形的全体
A.2B.3C.4D.5
变式2：
下列各种对象，可以构成集合的有_________个
eq\o\ac（○,1）某班身高超过1米8的女学生eq\o\ac（○,2）某班比较聪明的学生
eq\o\ac（○,3）某书中的难题eq\o\ac（○,4）使||最小的x的值
A.1B.2C.3D.4
知识点二、元素与集合的关系及常用数集记法
【内容概述】
1．集合通常用表示，用表示集合中的元素．
2．如果a是集合A的元素，就说a集合A，记作A，读作“”；
如果a不是集合A的元素，就说aA，记作A，读作“”．
3。
数学中一些常用的数集及其记法：
实数集：
有理数集：
整数集：
非负整数集：
正整数集或
例3.用，填空：
1_____N,-3_____N,0_____N,_____N,
1_____Z,-3_____Q,0______Z_______R
变式3：
下面命题：
正确的个数是______个。
eq\o\ac（○,1）集合N中最小的数是1eq\o\ac（○,2）若-a不属于N，则a属于N
知识点三、集合的表示方法
【内容概述】
1、自然语言：
通过日常语言来描述集合问题中被研究的对象，如全体实数组成的集合、正整数集等。
2、列举法：
把集合的元素一一列出来写在大括号的方法。
如{1，-2}
说明：
（1）书写时，元素与元素之间用逗号分开；
（2）一般不必考虑元素之间的顺序；
（3）在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
（4）在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某
种规律,其余元素以省略号代替
例4.用列举法表示下列集合：
（1）小于5的正奇数组成的集合
（2）能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合
（3）从51到100的所有整数的集合；（4）小于10的所有自然数组成的集合；
（5）方程的所有实数根组成的集合；（6）由1-20以内的所有质数组成的集合。
【内容概述】
我们不能用列举法表示不等式x-7<3的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的，但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述：
例如：
不等式x-7<3的解集中所含元素的共同特征是：
所以，我们可以把这个集合表示为
描述法：
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法（即把集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号里的方法）。
表示形式：
，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则xA；若xA,则x具有性质p。
说明:
（1）有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；
（2）应防止集合表示中的一些错误。
如：
把{（1,2）}表示
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