最新10考研高等数学强化讲义第三章全.docx
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最新10考研高等数学强化讲义第三章全
10考研高等数学强化讲义（第三章）全
第三章一元函数积分学
§3.1不定积分
（甲）内容要点
一、基本概念与性质
1．原函数与不定积分的概念
设函数«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上有定义，若«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上成立。
则称«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»的原函数，«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»中的全体原函数成为«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»的不定积分，记为«SkipRecordIf...»。
原函数：
«SkipRecordIf...»
其中«SkipRecordIf...»称为积分号，«SkipRecordIf...»称为积分变量，«SkipRecordIf...»称为被积分函数，«SkipRecordIf...»称为被积表达式。
2．不定积分的性质
设«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的一个原函数，«SkipRecordIf...»为任意常数。
则
（1）«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»或«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...»
（4）«SkipRecordIf...»
3．原函数的存在性
一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。
原函数存在的条件：
比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。
可导要求比连续高。
«SkipRecordIf...»这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来
设«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上连续，则«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。
二、基本积分表（略）
补充公式：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
三、换元积分法和分部积分法
1．第一换元积分法（凑微分法）
设«SkipRecordIf...»，又«SkipRecordIf...»可导，
则«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。
例：
«SkipRecordIf...»
口诀（30）第一换元经常用；微分方程要背熟。
2．第二换元积分法
例：
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（3）遇«SkipRecordIf...»令«SkipRecordIf...»
假如令«SkipRecordIf...»；«SkipRecordIf...»；«SkipRecordIf...»；«SkipRecordIf...»（不行）
令«SkipRecordIf...»；«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
；遇«SkipRecordIf...»令«SkipRecordIf...»；遇«SkipRecordIf...»令«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»；«SkipRecordIf...»
设«SkipRecordIf...»可导，且«SkipRecordIf...»，若«SkipRecordIf...»，
则«SkipRecordIf...»
其中«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的反函数。
口诀（31）第二换元去根号；规范模式可依靠。
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
3．分部积分法
设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»均有连续的导数，则
«SkipRecordIf...»或
«SkipRecordIf...»
例1：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
口诀（32）分部积分难变易，弄清u,v是关键
例2：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
（1）«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»情形，«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»次多项式，«SkipRecordIf...»为常数。
要进行«SkipRecordIf...»次分部积分法，每次均取«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»；多项式部分为«SkipRecordIf...»。
（2）«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»情形，«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»次多项式取«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»，而«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。
（乙）典型例题
例1．求下列不定积分（测试题，限15分钟）
（1）«SkipRecordIf...»
解：
（1）原式«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
解：
（2）原式«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
原式«SkipRecordIf...»
（4）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
解：
原式«SkipRecordIf...»
（5）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
解：
原式«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（6）«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»常数）
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
解：
原式«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
例2．求下列不定积分
（1）«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（4）«SkipRecordIf...»
解：
（1）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
（4）«SkipRecordIf...»
例3．求«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
例4．求«SkipRecordIf...»
解一：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»（这里已设«SkipRecordIf...»）
解二：
倒代换
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
原式=«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
例5．求«SkipRecordIf...»
解一：
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
解二：
令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
例6．设«SkipRecordIf...»的一个原函数«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
例7．设«SkipRecordIf...»，当«SkipRecordIf...»时«SkipRecordIf...»，又«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»
而«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，又«SkipRecordIf...»，
因此«SkipRecordIf...»
则«SkipRecordIf...»
例8．设«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»
解一：
令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»
则«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
解二：
令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
则«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
=«SkipRecordIf...»
§3.2定积分和广义积分的概念与计算方法
（甲）内容要点
一、定积分的概念与性质
1．定积分的定义及其几何意义
«SkipRecordIf...»
2．定积分的性质
中值定理，设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，则存在«SkipRecordIf...»使得«SkipRecordIf...»
定义：
我们称«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上的积分平均值。
二、基本定理
1．变上限积分的函数
定理：
设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上连续，则«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上可导，且«SkipRecordIf...»推广形式，设«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»可导，«SkipRecordIf...»连续，
则«SkipRecordIf...»
2．牛顿一莱布尼兹公式
设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上可积，«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上任意一个原函数，则有«SkipRecordIf...»
三、定积分的换元积分法和分部积分法
1．«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上有连续导数，单调，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»）
2．«SkipRecordIf...»
四、广义积分
定积分«SkipRecordIf...»的积分区间«SkipRecordIf...»是有限区间，又«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»上是有界的，如果积分区间推广到无穷区间或«SkipRecordIf...»推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。
1．无穷区间上的广义积分
定义：
«SkipRecordIf...»
若极限存在，则称广义积分«SkipRecordIf...»是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称广义积分«SkipRecordIf...»是发散的。
而发散的广义积分没有值的概念。
«SkipRecordIf...»
同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»时无意义，称«SkipRecordIf...»为瑕点
2．无界函数的广义积分（瑕积分）
（1）设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内连续，且«SkipRecordIf...»，则称«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的瑕点。
定义«SkipRecordIf...»
若极限存在，则称广义积分«SkipRecordIf...»收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广义积分«SkipRecordIf...»发散。
发散的广义积分没有值的概念。
（2）设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»内连续，且«SkipRecordIf...»，则称«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的瑕点
定义«SkipRecordIf...»
若极限存在，则称广义积分«SkipRecordIf...»收敛，且它的值就是极限值，
若极限不存在，则称广义积分«SkipRecordIf...»发散，它没有值。
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
（3）设«SkipRecordIf...»在«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»皆连续，且«SkipRecordIf...»，则称«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»的瑕点定义«SkipRecordIf...»
（乙）典型例题
一、一般方法
例1．计算下列定积分
（1）«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...»
（4）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
二、用特殊方法计算定积分
例1．计算下列定积分
（1）«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»为连续函数，«SkipRecordIf...»）
（2）«SkipRecordIf...»
（3）«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»常数）（«SkipRecordIf...»）
（4）«SkipRecordIf...»
解：
（1）令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»
（2）令«SkipRecordIf...»，则
I＝«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»,
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»
（3）令«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»，
«SkipRecordIf...»
（4）令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，于是
«SkipRecordIf...»
因此，«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»
例2．设连续函数«SkipRecordIf...»满足«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»
解：
令«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，
两边从1到«SkipRecordIf...»进行积分，得
«SkipRecordIf...»
于是«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»
例3．设«SkipRecordIf...»连续，且«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，求«SkipRecordIf...»
解：
变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理，令«SkipRecordIf...»，则
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
代入条件方程后，两边对«SkipRecordIf...»求导，得
«SkipRecordIf...»
即«SkipRecordIf...»
令«SkipRecordIf...»代入，化简后得«SkipRecordIf...»
三、递推方法
例1．设«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
（1）求证当«SkipRecordIf...»时，«SkipRecordIf...»
（2）求«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
解：
（1）«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
（2）«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，
当«SkipRecordIf...»正偶数时，
«SkipRecordIf...»
当«SkipRecordIf...»正奇数时，
«SkipRecordIf...»
例2．设«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，求证«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
证：
令«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
则«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
例3．设«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»，求证«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»
例4．计算«SkipRecordIf...»（«SkipRecordIf...»为正整数）
解一：
令«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
解二：
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
四、广义积分
例1．计算«SkipRecordIf...»
解：
«SkipRecordIf...»
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