极限知识拓展.docx

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极限知识拓展

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【知识拓展】

1•若某个数列:

an存在极限，即该数列为收敛数列，那么该收敛数列有哪些性质呢?

收敛数列有几个重要性质，它们可表现为下面几个定理：

定理1：

惟一性若数列玄收敛,则它的极限是惟一的.

证明：

假设数列◎｝有两个极限a与b,即卩liman与lima.-b,根据数列极限定义，对于任意的n,n_

&>0分别有：

存在自然数N1,当nN,时，有|an-a「；存在自然数N2，当nN2时，有|a「b|，：

；.取N=maxk”N2；,当n>N时，同时有|a”-a卜:

；与|a”-b|，：

：

；,于是当n>N时，有|a-b|=|a-a”•a”-b|_|a-a”|•|a”-b|，：

；•；=2；因为a与b是常数，2&是任意小的正数，所以只有a=b，上述不等式才能成立，即数列◎啲极限是惟一的.

定理2:

（有界性）若数列式收敛，则玄:

有界，即存在正数M对任意自然数n有|a”|_M.

证明：

设liman=a，根据数列极限的定义，取定.=1（£可以根据需要任意选取），存在自然数N，当n>N时，有|an-a|：

：

：

1.因为|an|-|a|—|an-al，所以当n>N时，有|an|-|a|_|an-a|“或耳|十|1,即

在数列&冲不满足不等式|an|<|a|1的项充其量不过是前N项：

ag,,aN.令M=max*ai|,|a2|,…,|aN|,|a|+1}.于是，对任意自然数n,有|a”|_M.

定理2指出收敛的数列必有界.反之，有界数列不一定收敛.例如，已知数列匚-1n:

是有界的，但它却是发散的.换句话说，有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件.

2.什么是有界数列？

定义：

若存在两个数A，B（设A

为有界数列.这时A称为它的下界，B称为它的上界•关于有界数列有下面几点说明.

（1）如果B是数列乂啲上界，那么B+1，B+2，B+a（a>0）都是的上界•这表明上界并不是惟一的，下界也是如此.

（2）对于数列N时，总有A%SB,我们就说数列往后有界•要注意，往后有界一定是有界的，这是因为在N项之前只有有限多个数XN?

…,Xn,在这有限个数中必有最大的数和最小的数，设〉=minx,,x2/,x”，

:

=maxXi,X2,,Xn）那么min（A,a）和max（B,（3）就是整个数列妆”：

的下界和上界.

（3）有界数列也可以这样叙述：

若存在一个正数M使得|x”|_Mn=1,2,…，就称■:

xn1是有界数列.或者也可以这么说，若存在原点O的一个M邻域0（O,M）,使得所有x「OO,M,就称妆”；是有界数列，这种叙述和上面所给出的定义显然是等价的.

3.什么是单调有界数列？

设^n［是一个数列，如果Xi£X2£X3「-Xnf,我们就说这个数列是单调增加（上升）的•如果

X1_X2-X3-…-Xn-我们就说这个数列是单调减少（下降）的.例如就是一个单调减少的数列.如果在上面数列中等号都不成立，就称它是严格单调增加或严格单调减少的.

4•数列的收敛判别法有哪法？

方法1•若存在自然数N,当n>N,总有an-bn-Cn，且忡玄”=］叩6=1，贝忡5=1.

［注：

方法1被称为夹挤定理.］

例1计算

思路启迪

于是

由n2n：

：

n22n1=n1,

方法2•单调有界数列存在极限.

例2证明数列，a,..a.a；,a.aa；a0收

敛，并求它的极限.

思路启迪首先对于这种随n的增大，数列的项有规律变化的情况可以用数学归纳法证明该数列单调并且有界.这样该数列必存在极限•可以设极限为i，则根据第n+1项与第n项的关系列出关于I的等式就可以求出I.

规范证法设Sn=.a•.a■...^—•.a,有SndSn,

用归纳法证明数列Si是单调增加的，又是有上界的.显然S:

:

:

S2,设SkSk1（k是自然数）有aSk:

:

aSk1aSkVJa■Sk1,艮卩Sk1■■-Sk2,则数列En［是单调增加的.显然，当n=1时，有Si=、a—a1.设n=k时,有Sk「.a1.当n=k+1时，也有Sk+=Ja+Skc耳aZa+1£Ja+2€a+1=Ja+1，即数列

•!

=aSn,有limS：

十=a+limSn,即丨2=a+1，彳得I=1（1土』1+4a），由S^>0知，

I不能是负数，则数列0啲极限是.14a.

5•函数极限有哪些性质

和数列极限性质完全相仿，函数极限也具有以下几个性质：

性质1.若limfx=A,limgx=B,，且A>B,则存在

8>0,使当0：

：

：

|x—x°|"时，

f（x）>g（x）.

证明：

取；=A2B,那么存在10,当0：

：

：

|x—Xo卜：

、1时，有fxA—AyB；同时又存在、2o,当0：

：

：

|x—Xo卜：

时，有gx:

:

B；.rAyB,现在，令“二min、i,、2,那么当

0：

：

|x—x°|：

：

'时，就有gx:

:

AyB:

:

fx

性质2.若limf（x）=A,limg（x）=B,且存在8>0,使当xt0^^0

0：

：

：

ix-X。

卜:

「时,f（x）

性质3•若limf（x）=A而A>B（A0,x^x0

使当0町x—x°卜、时,f（x）>B（f（x）

性质4.若limfx二A,limfx二B,则A=B?

这说明了

X—5x0丿

函数极限的惟一性.

证明：

采用反证法，如果AhB,不妨设A>B,由性质1知道，存在8>0,当0和“|"时，有f（x）>f（x）矛盾，这就证明了A=B

性质5.若存在8>0,使当0十~卜.时，f（x）g（x）h（x），并且limfx=A,

limhx=A,贝Ulimgx=A.

x「x°

性质6.（局部有界性）若limf（x）=A，则存在着8>0,使得f（x）在区间X0SX0和X0,X0、内有界，

亦即在不等式0<|X-Xo|<「所表示的区间内有界.

[注：

若函数f（x）在某个区间Z内满足AWf（x）0,A-a都是f（x）的下界，同样对任何3>0,B+B都是f（x）的上界.这个定义也可以这样叙述：

设函数f（x）在某个区间Z内满足|f（x）|

正实数，我们就称f（x）在Z内有界•以上两种说法显然是等价的.]

证明：

取一个固定的&，譬如说取&=1，由limfx=A知道，存在3>0，当0"：

|x-x°|",时，有

X―x0

A-1

要注意的是，由极限存在，只能断定函数在相应的某个去心邻域OX0,「乂。

呐有界，而不能断

、”3

定它在整个定义域内有界.例如"」，它的定义

X—1

域是（-8，1）和（1，+8），由前面的例子知道

^2*3•根据性质6，存在某个5>0，在（1-3，

1）和（1，1+3）内，J有界.但是这个函数在它

X1

抛物线，但除去x=1，可见在（-8,1）和（1,+8）内是无界的.

6.连续函数有哪些性质？

若函数f（x）和g（x）均在点xo处连续，则函数f（x）±g（x）,f（x）・g（x）,f（x）/g（x）gx。

=o在点xo处也连续.

若函数y=f（u）在点Uo处连续，U=X在点Xo连续，且'xo=Uo,则复合函数y=fl：

:

x在点xo连续.若函数y=f（x）在区间［a，b］上单调、连续，且f（a）=a，f（b）=3，则其反函数y=f」x在区间［a，3］或［3，a］上单调、连续.

基本初等函数（包括幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数与对数函数）在它们各自的定义域上皆连续.

由函数在一点Xo处连续的定义及limx=xo，有limfx］=fXolimxx•这就是说，对于连续函数，极

X―xox―xo

限符号与函数符号可以交换，

仞H^求limsinx.

思路启迪由于函数y=sinx是初等函数，所以它在其定义域（-8,+8）上是连续函数，这

样就可以利用Jirnfx=fx°=fJirnx这个等式.

规范解法因已知y=sinx在实数域上的任意一点都连续，所以有

limsinx二sin（limx）二sin1.

x—2：

x—2：

2

有时我们只讨论函数f（x）在xo的左侧或右

侧的连续情况，有下面的左、右连续的概念：

定乂：

若lim_fxi；=fxo，称函数f（x）在xo左连

xo

续•若limfx=fxo，称函数f（x）在xo右连续•显

X—o

然，函数f（x）在xo连续的充分必要条件是，函数f（x）在xo既左连续又右连续.