高三数学 简易逻辑教案同步教案 新人教A版.docx
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高三数学简易逻辑教案同步教案新人教A版
2019-2020年高三数学简易逻辑教案同步教案新人教A版
一、教学进度
高考总复习之二-------简易逻辑
命题，四种命题的关系，充要条件
二、复习指导
逻辑是正确解题的基础，逻辑错误会导致全功尽弃
是否命题的关键是看它能否判定真假，是否复合命题的标准在于该命题是否含有逻辑联结词：
或、且、非，如果……，那么……
原命题：
若p，则q：
逆命题：
若q，则p：
否命题：
若非p，则非q，逆否命题：
若非q，则非p
原命题与逆否命题互为逆否，同真假
逆命题与否命题互为逆否，同真假.
反证法就是从原命题的否定出发，推出矛盾（这个矛盾，指的是与已知条件矛盾，或与公理，定理矛盾，或与假设矛盾）从而说明原命题的否定是错误的，这样就确立了原命题的正确性。
要分清充分条件和必要条件，在证明充要条件时要分清充分性和必要性，若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即“推出人者为充分，被人推出者为必要”
三、典型例题讲评
例1．在△ABC中，P：
∠A＞∠B，q1=sinA＞sinB，q2：
cosA＜cosB，q3：
cotA＜cotB，q4：
sinA＞cosB
其中p是：
（i=1，2，3，4）的什么条件？
P是q1的充要条件，原因如下：
∠A＞∠Ba＞b2RsinA＞2RsinB，sinA＞sinB；
P是q2的充要条件，原因如下：
函数y=cosx在[0，π]上单调递减，而A，B∈[0，π]，∴∠A＞∠BcosA＜cosB；
P是q3的充要条件，理由类似②
P既不是q4的充分条件，也不是q4的必要条件，理由如下：
若△ABC，A=900，B=600，则sinA＞cosB，若△ABC中，A=1350，B=300，则sinA＜cosB
例2．P为△ABC内（含边界）任一点，“p到三边距离之和为定值”是“△ABC是正三角形”的什么条件？
证明你的结论。
充要条件.
充分性，分别取p为A、B、C，则它到三边距离之和分别为ha，hb，hc，由题设ha=hb=hc，由面积公式，a=b=c，△ABC为正三角形
必要性，若p在顶点处（不妨设p在A点），则p到三边距离之和即ha（当然与ha，hc相等，为定值）；若p点在边上（不妨设在BC上），则P到三边距离之和即p到b，c两边距离之和db+dc，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP.故有aha=a（db+db+dc），∴db+dc当定值ha；若P点在三角形内部则S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP，从而有aha=a（da+db+dc），即da+db+dc=ha.
例3．已知函数f（x）在（－∞，+∞）上单调递增，a、b∈R，对命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b），则a+b≥0”
（1）写出其逆命题，并证明它的真假.
（2）写出其逆否命题，并证明它的真假.
（1）逆命题：
“若f（a）+f（b）≥f（－a）+f（－b），则a+b≥0”这是一个真命题，我们用反证法证明：
假设a+b＜0，即a＜－b，b＜－a，而f（x）单调递增.
故f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a）.从而f（a）+f（b）＜f（－a）+f（－b）.与已知矛盾，说明假设错误.
∴a+b≥0
（2）逆否命题：
“f（a）+f（b）＜f（－b）+f（－a），则a+b＜0”
这也是一个真命题，可类
（1）用反证法证明.
例4．已知p：
≤2，q：
x2―2x+1―m2≤0（m＞0）
又知非p是非q的必要条件，但不是充分条件，求取m的取值范围。
先化简p即x∈[－1，11]，q即x∈[1－m，1+m]
非p：
x＜－1或x＞11，非q：
x＜1－m或x＞1+m.
非q非p，故，解得m≥10
当m≥10时，―1与1―m不可能相等，故非p非q.
∴m∈
例5．已知曲线C1：
f（x－y）=0，C2：
g（x，y）=0，点M坐标为（a，b），则M（C1∩C2）是的什么条件？
说明你的理由.
M（C1∩C2）即M∈（C1∩C2）之否定，亦即之否定，也就是f（x，y）≠0或g（x，y）≠0，故M（C1∩C2）
，即MC1，且MC2，亦即M（C1∩C2）.
∴M（C1∩C2）
∴M（C1∩C2）是的必要条件，但不是充分条件.
例6．α∈（0，），求证：
2α可作为一个三边长均为整数的直角三角形的一个内角的充要条件是tanα是有理数.
充分性.
设tanα=（m，n∈N+，m，n互质，m＞n）
则tan2α=
=，作两直角边长分别为2mn，m2－n2的直角三角形，则其斜边长为=m2+n2，该三角形有一内角为2α，三角均为整数.
证法二：
∵tanα=，故可作Rt△ABC，AC=nk，BC=mk（k∈N*）（如图）作斜边AB的中垂线交BC于D，则AD=BD，∠ADC=2∠B
=2α，设CD=x，则AD=+x，整
理可得x=，取k=2m时x即当整数，此
时CD=x=m2－n2，AC=2mn，AD=BD=2m2―（m2―n2）
=m2+n2.均为整数.
必要性：
设Rt△ABC中，∠B=2α，三边均为整数，延长
CB到D，使BD=AB，则∠D=α，且DC=DB+BC=
AB+BC为整数，tanα=∈Q
证法二，Rt△ABC中，∠ABC=2α，三边
长均为整数，BD为角平分线=
=.
∴=∈Q
巩固练习
1．
（1）x2+5＜4（x∈R）
（2）ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程.
（3）若b2－4ac＜0，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为R或φ，
以上哪些是命题？
哪些是真命题？
2．P为平面四边形ABCD内（含边界）任意一点“p到四边距离之和为定值”是“ABCD是正方形”的什么条件？
证明你的结论.
3．1，，不可能是同一等差数列中的项
4．已知p：
方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根.
q：
方程4x2+4（m－2）x+1=0没有实数根.
若p或q真而p且q假，求实数m的取值范围.
5．写出命题p：
“若m＞0，则关于x的方程x2+x－m=0有实数根”的逆命题，否命题和逆命题，并分别判断它的真假.
6．已知p：
＞3，q：
≥0，非p是非q的什么条件？
证明你的结论。
7．求关于x的方程m2x2－（m+1）x+2=0根的总和为2的充要条件.
8．已知当＜a成立时，＜4也成立，求实数a的取值范围。
9．若方程ax2－2x+1=0（a＞0）的小根x1＜1，大根x2∈（1，3），求实数a的范围.
10．写出命题“圆的两相交弦若互相平分，则它们都是直径”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假。
11．若命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”均真，则“c≤d”是“e≤f”的（）
（A）充分条件，但不是必要条件（B）必要条件，但不是充分条件
（C）充要条件（D）既不是充分条件，也不是必要条件
12．
（1）p：
“数列是常数列”，q：
“数列既是等差数列，又是等比数列”
（2）p：
“数列是等比数列”，q：
“数列的前n项和Sn=”.
（3）p：
“点（n，Sn）（n∈N+）都在一条过原点的抛物线上”，q：
“数列是等差数列”（Sn是的前n项之和）
（4）已知：
数列的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），p：
“q=－1”q：
数列是等比数列.
以上四题中，p是q的充要条件者为_______________（标出相应题号即可）
13．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x+4=0和x2－4mx+4m2+（4－4m）－9=0，求两方程的根都是整数的充要条件。
参考答案
1．∵x2+5=（x2+1）+4≥4.故可判断
（1）是一个假命题；当a≠0时，ax2+bx+c=0才是关于x的一元二次方程，今不知a的取值情况，无法判断其真假，故
（2）不是命题；当a=0时，b2－4ac=b2不可能小于0，故由b2－4ac＜0知ax2+bx+c＞0是关于x的一元二次不等式，判别式＜0，解集必为R或φ，故（3）是命题，且是真命题。
2．必要条件，但不是充分条件，证明如下：
设ABCD为正方形，当p为一顶点（不妨设是A）时，它到AB、AD距离为0，到CB、CD都相距a，和为2a；当p在边上（不妨设在AB上）时，它到AB距离为0，到BC、AD距离之和为a，到CD距离为a，和仍为定值2a，当p在正方形内部时，P到AB、CD距离之和为a，到AD、BC距离之和也为a，总和仍为定值2a；
另一方面，当ABCD虽不是正方形而是菱形时也有此性质，故不充分。
3．（反证法）假设1，，是同一等差数列中的三项，则必存在m，n∈Z，m≠n，使－1=md，－1=nd（m，n均不当0，d≠0），于是=，整理成－=－，平方得=1+，
左为无理数，右为有理数，矛盾，说明假设错误。
∴1，，不可能是同一等差数列中的项。
4．p或q真而p且q假p，q一真一假
当p真q假时，应满足
解得m≥3，
当p假q真时，应满足
解得m∈
∴m∈∪
5．逆命题：
“若关于x的方程x2+x－m=0有实数根，则m＞0”；否命题：
“m≤0，则关于x的方程x2+x－m=0没有实数根”；逆否命题：
“若关于x的方程x2+x－m=0没有实数根，则m≤0”.
当m＞0时，△=1+4m＞0，方程x2+x－m=0必有两个不等实根，故原命题及逆否命题是真命题。
当方程x2+x－m=0，有实数根时，△=1+4m≥0，m≥－，而不一定要＞0，故逆命题及否命题是假命题。
6．P：
x＞1或x＜―，非p：
―≤x≤1
q：
x∈R，非q：
x∈φ
非p与非q互相不能推出。
∴非p既不是非q的充要条件，也不是非q的必要条件。
7．当m=0时，原方程即x=2，满足条件
当m≠0时，=2，m=1或－。
但△=（m+1）2－8m2，m=1及m=－均使△＜0。
故充要条件是m=0
8．即当x∈（2－a，2+a）时，x2＜5即x∈（－，）一定成立，∴（2－a，2+a）（－，）
a∈（0，－2）
9．ax2－2x+1=0（a＞0）一根＜1，一根∈（1，3）的充要条件是
a∈（，1）
10．逆命题：
“圆的两直径互相平分”，否命题“圆的两条相交弦若不互相平分，则它们不都是直径”；逆否命题：
“圆的两相交弦若不都是直径，则它们不相互平分”。
∵圆的两相交弦互相平分，∴交点是它们的中点，则交点与圆心的连线与这两条弦都垂直，这与平面内过一点作已知直线的垂线只能作一条相矛盾，除非交点就是圆心，此时两弦都是直径。
∴原命题和逆否命题都是正确的。
∵两直径都过圆心，而圆心是任一直径的中点，故两直径互相平分。
∴逆命题和逆否命题也都是正确的。
11．命题“a≥bc＞d”之逆否命题为“c≤da＜b”，又有“a＜be≤f”∴c≤de≤f，但由题设条件，由e≤f不能保证推出c≤d.
∴“c≤d”是“e≤f”的充分条件，但不是必要条件，选（A）
12．常数列是公差为0的等差数列，非零常数列是公比为1的等比数列，但由“0”组成的常数列不是等比数列，故
（1）中p是q的必要条件，但不是充分条件；
当的公比不为1时，其前n项和Sn===，但q=1时，Sn=na1而不能写为上述形式，
（2）中p是q的必要条件，但不是充分条件；
等差数列前n项Sn=na1+d=n2+（a1－）n，当d≠0时，（n，Sn）为过原点的抛物线y=x2+（a1－）x上的点，但d=0时，则为直线y=a1x上的点，故（3）中p是q的充分条件，但不是必要条件；
当n=1时，a1=S1=p+q
当n≥2时，an=Sn－=（p－1），说明从第二项起构成公比为P的等比数列，故从第一项就构成等比数列的充要条件是p+q=p－1，即q=－1，（4）中p是q的充要条件
填④
13．∵mx2－4x+4=0是一元二次方程∴m≠0。
另一方程为x2－4mx+4m2―4m―5=0
都要有实根∴
解得m∈[－，1]
两根为整数，故和与积也为整数.
∴m为4之约数
∴m=－1或1m=－1时，第一个方程与x2+4x－4=0
根非整数，而m=1时，两方程均为整数根
∴两方程根均为整数的充要条件是m=1
六、附录
例1．∠A＞∠Ba＞b2RsinA＞2RsinBsinA＞sinB。
p是q1的充要条件。
y=cosx在（0，π）单调减，A，B∈（0，π），故∠A＞∠BcosA＜cosB，p是q2充要条件
y=cotx在（0，π）单调减，A、B∈（0，π），故∠A＞∠BcotA＜cotB，p是q3的充要条件；
由900＞600，sin900＞cos600，及1350＞300，sin1350＜cos300知，p不是q4的充分条件，也不是q4的必要条件。
例2．充要条件（证明见正文）
例3．四个命题都是真命题
例4．非p：
＞2，即x＜－1或x＞11
非q：
x2―2x+1―m2＞0，即x＜1－m或x＞1+m.
非qp：
∴m≥10
m≥10时，―1与―1―m不可能相等，故非p非q，
∴m∈
例5．必要条件，但不是充分条件
例6．见正文
2019-2020年高三数学统计与统计案例教学教案新人教版
一、有的放矢、复习轻松
1.理解用样本估计总体的思想，并会用样本的数字特征对总体进行估计；理解样本平均数和标准差的意义和作用，并会计算数据平均数和标准差。
2.理解独立性检验的基本思想、方法和初步应用。
3.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本和了解分层抽样方法和系统抽样方法，并了解随机抽样的等可能性。
4.会作“一表三图”，并能利用“一表三图”分析样本的数字特征。
5.了解最小二乘法的思想和利用已知系数公式建立线性回归方程；了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。
二、知识结构，了然于胸
三、复习定位，对症下药
1.重点
（1）简单随机抽样的基本方法以及操作步骤。
（2）用茎叶图和频率分布直方图分析样本的基本数字特征。
（3）会根据茎叶图计算样本的基本数字特征；会用频率分布直方图估算样本的基本数字特征.
2.难点
（1）会用茎叶图和频率分布直方图分析样本的基本数字特征。
（2）体会用样本估计总体的思想；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
四、例题解析，理解深入
【例题1】某省打算对本省现行的高考方案做出优化改革，使之更好的考查考生的能力和素质,为增强改革的有效性，计划向5000名高三学生、3000名高校学生和4000名高中教师发放相关问卷，拟收回1200份做数据分析，请选择恰当的抽样方法收取这1200份问卷。
【解析】本题适合采用分层抽样方法：
第一步：
确定抽样比：
第二步：
确定每一层的子样本容量：
第三步：
在每一层按简单随机抽样的方法或系统抽样方法抽取相应样本。
【例题2】为了综合分析我市高三理科数学的教学质量，某研究机构从参加“皖西五校联考（理）”的学生中利用电脑随机选择了20名学生成绩作分析，成绩茎叶图如下：
8
6
9
6
8
10
7
9
9
11
0
2
6
7
8
8
8
12
2
4
8
8
13
3
7
14
5
（Ⅰ）请由图中给出的数据，求样本的众数、中位数、平均值和方差。
平均值为116.55方差为149.4标准差为12.2
1.由平均分116.55知，所选样本成绩较好；中位数比平均数大
可以知道绝对的高分拉升了中位数的值
（Ⅱ）试简要分析总体的特征。
外的数据只有2个，成绩分布集中.
3.从所选样本的基本数字特征来看，我市的数学教学质量高，对本年度的高考数学成绩可以给一个好的预期.
【百炼成钢】请用频率分布直方图对上述数据进行分析，并对总体进行估计。
分组
频数
频率
[85,95）
1
0.05
[95,105）
2
0.1
[105,115）
5
0.25
[115,125）
7
0.35
[125,135）
3
0.15
[135,145]
2
0.1
合计
20
1
【在对照中思考，在思考中提升】
1.对同一个样本在两种数据处理方法下所产生的平均值误差，怎样做出解释？
2.两种处理数据的方式的优缺点比较
3.在频率分布直方图的组距大小调节中，对样本总体特征的刻画有何差异？
（以下频率分布直方图由Excel软件制得）
【例题3】某市为响应国家节能减排，建设资源节约型社会的号召，唤起人们从自己身边的小事做起，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：
（一）80部手机，一年就会增加一吨二氧化碳的排放。
……
（二）人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气。
……
活动组织者为了解市民对这两则广告的宣传效果，随机对10~60岁的人群抽样了n人，统计结果如下图表：
广告一
广告二
回答正
确人数
占本组
人频率
回答正
确人数
占本组
人频率
[10,20）
90
0.5
45
a
[20,30）
225
0.75
k
0.8
[30,40）
b
0.9
252
0.6
[40,50）
160
c
120
d
[50,60]
10
e
f
g
（I）分别写出n，x,a，c，d的值；
（II）若以表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率，规定正确回答广告一的内容得20元，广告二的内容得30元。
组织者随机请一家庭的两成员（大人45岁，孩子17岁）回答两广告内容，求该家庭获得奖金的期望（各人之间，两广告之间，对能否正确回答，均无影响。
）
【牛刀小试，巩固提升】
1.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生
产能耗（吨标准煤）的几组对照数据
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据
（2）求出的线性
回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
（参考数值：
）
2.根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如下图。
（1）求直方图中的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率（结果用分数表示）.
（已知，，
，）
【课后准备，胸有成竹】
1.俗话说“数理不分家”，请以上述选出的样本为研究对象，通过统计分析给出你的结论.
我们将上述选中的20名参加五校联考的同学数学和物理成绩数据统计如下表：
数学（X）
86
96
98
107
109
109
110
112
116
117
物理（Y）
52
57
63
72
70
74
78
88
80
82
数学（X）
118
118
119
122
124
128
128
133
137
145
物理（Y）
85
91
89
98
87
100
93
95
100
100
2.数学殿堂，人人平等
我们在参考的学生中随机选择200名女生和500名男生，其中女生及格人数为138人，男生及格人数为353人。
通过上述数据分析性别差异对学好数学是否影响。
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