第4章 多自由度系统的振动题解.docx

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第4章多自由度系统的振动题解

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第4章多自由度系统的振动题解

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习题

4-1在题3-10中，设m1=m2=m，l1=l2=l，k1=k2=0，求系统的固有频率和主振型。

题4-1图

解：

由题3-10的结果

，，，

代入，，

可求出刚度矩阵K和质量矩阵M

；

由频率方程，得

，

为求系统主振型，先求出adjB的第一列

分别将频率值代入，得系统的主振型矩阵为

题4-2图

4-2题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m1，求系统的频率方程。

解：

设杆的转角和物块位移x为广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵。

设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到，

，

设，画出受力图，并施加物体力偶与力，由平衡条件得到，

，

得作用力方程为

由频率方程，得

题4-3图

4-3题4-3图所示的系统中，两根长度为l的均匀刚性杆的质量为m1及m2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m1=m2=m和k1=k2=k时系统的固有频率。

解：

如图取为广义坐标，分别画受力图。

由动量矩定理得到，

整理得到，

则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，

，

系统的质量矩阵为

由频率方程，并代入已知条件得，

整理得到,求得，。

用刚度影响系数法求解刚度矩阵。

令，分别由两杆的受力图，列平衡方程为

；

同理，令得到

题4-4图

4-4题4-4图所示，滑轮半径为R，绕中心的转动惯量为2mR2，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。

解：

如图选x1，x2，x3为广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵。

设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，

，，

设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，

=0，，

设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，

，，

则刚度矩阵和质量矩阵分别得，

，

由频率方程，得

展开为，解出频率为

，，

由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，

并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为

题4-5图

4-5三个单摆用两个弹簧联结，如题4-5图所示。

令m1=m2=m3=m及k1=k2=k。

试用微小的角、和为坐标，以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。

解：

如图选为广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵。

设，画出受力图，并施加物体于，由平衡条件得到，

，，

设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，

，，

设，画出受力图，并施加物体，由平衡条件得到，

，，

则刚度矩阵和质量矩阵分别得，

，

特征矩阵：

由频率方程，得0，

展开为，

解出频率为，，。

由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，

并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为

4-6题4-6图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ，本身质量不计，以微小的平动x1、x2和x3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。

假设m1=m2=m3=m。

题4-6图

解：

如图取广义坐标，用柔度影响系数法求柔度矩阵。

首先，仅在质量处施加竖直单位力F=1，其余各质量块处不受力，则产生的静挠度是；处产生的静挠度是；处产生的静挠度是。

则由材料力学知识，得到

，，

同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为

得到系统的位移方程为

由系统的特征矩阵，得频率方程，即

其中，展开频率方程为

解出。

由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，分别代入特征值，得到主振型为。

题4-7图

4-7如题4-7图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设m1=m2=m3=m4=m和k1=k2=k3=k，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。

解：

如图选择广义坐标。

求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为

，

由频率方程，得

因此可得到频率方程

解出

，，

解出频率为，，。

由特征矩阵,

特征矩阵的伴随矩阵的第一列，

将代入，即得归一化得

将代入，得归一化得

将代入，得归一化得

将代入，得归一化得

得系统的主振型矩阵为

各阶主振型如下图所示：

题4-8图

4-8题4-8图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑。

假设m1=m2=m3=m，h1=h2=h3=h，EJ1=3EJ，EJ2=2EJ，EJ3=EJ。

用微小的水平平动x1、x2和x3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率和正则振型矩阵。

解：

由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为，由此可将题4-11图等效为（a）图，其中

，，

广义坐标如图（a）示。

利用柔度影响系数法求柔度矩阵。

即，对图（a）中的施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为，第二和第三个弹簧变形为零。

由此可得个坐标位移为，

，，

同理求出其余各列。

最后得到柔度矩阵为

系统的质量矩阵为

得到系统的位移方程为

由系统的特征矩阵，得频率方程，即

其中，展开频率方程为

解出。

解出固有频率为

由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，分别代入特征值，得到主振型为。

主质量振型为

正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为

柔度矩阵还可以这样解出：

时：

，，

：

，

时：

，，

题4-9图

4-9在题4-9图所示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设m1=m2=m3=m，k1=k2=k3=k4=k5=k6=k，试求系统的固有频率及振型矩阵。

解：

如图选择广义坐标。

求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为

，

由频率方程，得

解出频率为

，，

由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，

将代入得系统的第一阶主振型为

满足如下关系：

，

展开以上二式得，。

取，，可得到。

即有

满足如下关系：

，

展开以上二式得，，，联立得。

取，，可得到。

即得

主振型矩阵为

4-10试计算题4-5的系统对初始条件和的响应。

解：

在习题4-5中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为

题4-5图

，

主质量振型为

正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为

初始条件为

，=0

正则坐标的响应为，，

由，展开得到

其中，，。

题4-7图

4-11试计算题4-7的系统对初始条件和的响应。

解：

在习题4-7中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为

，

主质量振型为

正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为

正则坐标初始条件为

=0，=

正则坐标的响应为，，，其中频率为。

最终得到响应,由，展开得到

题4-8图

4-12试确定题4-8中三层楼建筑框架由于作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除所引起的响应。

解：

在习题4-8中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为

，

当作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除时，相当于受到了初始条件的激励，即

，

正则坐标初始条件为

=，=

正则坐标的响应为

由，展开得到

其中。

4-13假定一个水平向右作用的斜坡力施加与题4-5中中间摆的质量上，试确定系统的响应。

解：

在习题4-10中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为

题4-5图

，

由题意，施加的作用力为

将作用力变换到正则坐标：

由方程（2-28）得到对于斜坡力的卷积积分，第i个正则坐标的响应：

用正则坐标表示的位移矢量

由，展开得到

其中，，。

4-14试确定题4-7的系统对作用于质量m1和质量m4上的阶跃力F1=F4=F的响应。

题4-7图

解：

在习题4-11中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为

，

由题意，施加的作用力为

将作用力变换到正则坐标：

用正则坐标表示的位移矢量

由，展开得到

其中。

题4-8图

4-15在题4-8的三层楼建筑中，假定地面的水平运动加速度，试求各层楼板相对于地面的稳态水平强迫振动。

解：

在习题4-12中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为

，

由题意，施加的作用力为

将作用力变换到正则坐标：

用正则坐标表示的位移矢量

由，展开得到

其中,（i=1,2,3）;,,。

题4-16图

4-16质量为m1的滑块用两个刚度分别为k1及k2的弹簧连接在基础上，滑块上有质量为m1、摆长为l的单摆，假设m1=m2=m及k1=k2=k，基础作水平方向的简谐振动，其中，试求∶

（1）单摆的最大摆角；

（2）系统的共振频率。

解：

如图所示选择广义坐标。

利用质量影响系数法求质量矩阵，

设，画惯性力及，由平衡条件得到，，。

设，画惯性力及，由平衡条件得到，，。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵。

设，画出受力图，并施加物块力，列平衡方程，得到

，

设，画出受力图，并施加物块力，列平衡方程，得到

，

得作用力方程为

令为稳态响应，代入上式得，

展开为

将代入可得到。

稳态运动时有，则有

由频率方程，得

展开为，解出频率为

，

即为共振频率。

题4-17图

4-17题4-17图示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设在质量4m上作用有铅垂力，试求∶各个质量的强迫振动振幅；系统的共振频率。

解：

如图选择广义坐标。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，

系统的质量矩阵为，

由频率方程，得

解得，，，

由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，

并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为

主质量振型为

正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为

正则坐标表示的微分方程

由题意，施加的作用力为

将作用力变换到正则坐标：

用正则坐标表示的位移矢量

其中，（i=1,2,3）。

由，展开得到

可用直接方法求解：

列出运动方程

设其稳态响应为：

所以原方程化为：

即：

所以：

令

则：

题4-18图

4-18在题4-18图的有阻尼系统中，，左端的质量块受阶跃力P的作用，初始条件为零，求系统响应。

解：

（1）写出无阻尼受迫振动方程

（2）求固有频率和正则振型

由频率方程，得

解得，，。

由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，

并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为

主质量振型为

正则振型的第i列为,由此得到正则振型振型为

（3）正则坐标表示的微分方程

（4）引入振型阻尼比

建立阻尼矩阵，求主阻尼矩阵。

则有，。

所以，得。

由，得。

（5）引入振型阻尼比的正则坐标表示的微分方程

由题意，施加的作用力为

将作用力变换到正则坐标：

（6）用正则坐标表示的响应

其中，，i=1,2。

（7）用物理坐标表示的响应

由，展开得到

，

4-19试说明两自由度系统复模态Hij（s）的图像。

4-20试论述模态分析的本质问题是一种坐标变换，而H（s），H（jw），h（t）之间的变换又是数学变换，试论述两类变换的意义。