Maple理论力学.docx
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Maple理论力学
1.如图1所示一质量为m、半径为r圆柱铁桶，在半径为R圆弧上作无滑动滚动。
求圆柱铁桶在平衡位置附近作微小振动固有频率。
解：
●建模
系统受主动力：
mg,F1,F2。
圆桶运动为定轴转动。
●Maple程序
>resart:
#清零
>J[O1]:
=1/2*m*r^2:
#圆桶转动惯量
>v[O1]:
=（R-r）*Dtheta:
#圆桶中心O1线速度vo1
>omega:
=（R-r）*Dtheta/r:
#作纯滚动角速度ω
>T:
=1/2*m*v[O1]^2+1/2*J[O1]*omega^2:
#系统动能
>V:
=m*g*（R-r）*（1-cos（theta））:
#系统势能
>V:
=subs（cos（theta）=1-1/2*theta^2,V）:
#微动时，势能
>theta:
=A*sin（omega0*t+beta）:
#θ变化规律
>Dtheta:
=diff（theta,t）:
#θ导数
>Tmax:
=subs（cos（omega0*t+beta）=1,T）:
#系统最大动能
>Vmax:
=subs（sin（omega0*t+beta）=1,V）:
#系统最大势能
>eq:
=Tmax=Vmax:
#机械能守恒
>solve（{eq},{omega0}）;#解方程
答：
圆桶在平衡位置附近作微小振动固有频率为
2.如图2所示弹簧质量系统，作水平方向自由振动，求小车固有频率。
解：
●建模
系统受回复力：
Kx。
小车作自由振动。
●Maple程序
>restart:
#清零
>x:
=A*sin（omega0*t+beta）:
#小车运动变化规律
>Dx:
=diff（x,t）:
#x导数
>T:
=1/2*m*（Dx）^2:
#系统动能
>V:
=1/2*K*x^2:
#系统势能
>Tmax:
=subs（cos（omega0*t+beta）=1,T）:
#系统最大动能
>Vmax:
=subs（sin（omega0*t+beta）=1,V）:
#系统最大势能
>eq1:
=Tmax=Vmax:
#机械能守恒
>solve（{eq1},{omega0}）;#解方程
答：
小车在作往复运动固有频率为
。
3.一个质量为m物体在一根抗弯刚度为EJ﹑长为l简支梁上作自由振动。
若此物体在梁未变形位置无初速度释放，求系统自由振动频率。
解：
●建模
系统受力：
mg,F。
物体作直线运动。
●Maple程序
>restart:
#清零
>eq:
=m*diff（x（t）,t$2）=m*g-#
k*（delta[st]+x）:
>eq:
=lhs（eq）-rhs（eq）=0:
#移项
>eq:
=subs（diff（x（t）,t$2）=DDx,#代换delta[st]=m*g/k,eq）:
>eq:
=expand（eq/m）:
#展开
>eq:
=subs（k=m*omega[0]^2,eq）;#代换
>X:
=A*sin（omega[0]*t+beta）:
#系统通解
>k:
=m*g/delta[st]:
#梁刚度系数
>omega[0]:
=sqrt（k/m）:
#固有频率
>omega[0]:
=subs（delta[st]=（mgl^3）
/（48*E*J）,omega[0]）;#代换
答：
系统自由振动频率为
。
4.如图中4所示单自由度弹簧质量系统在，质量块质量为m，当质量块下拉弹簧处于平衡位置时，静变形为40mm。
求此弹簧质量系统振动规律。
解：
●建模
系统受力：
mg,回复力kx。
物体作上下自由振动运动。
●Maple程序
>restart:
#清零
>eq:
=m*diff（x（t）,t$2）=m*g-k*#
（delta[st]+x）:
>eq:
=lhs（eq）-rhs（eq）=0:
#移项
>eq:
=subs（diff（x（t）,t$2）=DDx,#代换
delta[st]=m*g/k,eq）:
>eq:
=expand（eq/m）:
#展开
>eq:
=subs（k=m*omega[0]^2,eq）:
#代换
>X:
=A*sin（omega[0]*t+beta）:
#系统通解
>k:
=m*g/delta[st]:
#弹簧刚度系数
>omega[0]:
=sqrt（k/m）:
#固有频率
>x[0]:
=-delta[st]:
#初位移
>v[0]:
=0:
#初速度
>A:
=sqrt（x[0]^2+v[0]^2/omega[0]^2）:
#振幅
>beta:
=-Pi/2:
#初相角
>delta[st]:
=0.04:
g:
=9.8:
#已知条件
>omega[0]:
=eval（omega[0]）:
#已知条件
>A:
=eval（A）:
#振幅数值
>X:
=evalf（X,4）;#系统振动规律
答：
此弹簧质量系统振动规律x=-0.04cos（15.65t）。
5.龙门起重机设计中，为避免在连续启动制动过程中引起振动，要求每一次由于启动过程中或制动过程中引起振动衰减时间不得过长。
有如下规定：
起重质量不大于50吨龙门起重机，在纵向水平振动时，振幅衰减到最大振幅5%所需时间应在25~30秒范围。
如图5所示为一15吨龙门起重机示意图，在作纵向水平振动时，等效质量m=27.9kg.s2/cm。
水平方向刚度K=2000kg/cm.有实测得到对数减幅=0.10.试计算衰减时间，问是否符合要求。
解：
●建模
系统受力：
mg,Fd。
物体作上下自由振动运动。
●Maple程序
>restart:
#清零
>T[d]:
=（（1/f*delta）*Lambda）:
#衰减时间
>Lambda:
=ln（A[1]/A[j+1]）:
#对数缩减
>Lambda:
=subs（（A[1]#代换
/A[j+1]=y,Lambda））:
>f:
=（1/（2*Pi））*sqrt（K/m）:
#固有频率
>K:
=2000:
m:
=27.9:
#已知条件
delta:
=0.10:
y:
=100/5:
>f:
=evalf（f,4）;#固有频率数值
>T[d]:
=evalf（T[d],4）;#衰减时间
答：
所求时间为22.24s在所求区间内满足要求，所以是符合要求。
6.某精密设备用橡胶隔振器隔振，如图6所示。
已知系统固有频率为3.8Hz。
橡胶隔振器相对阻尼系数ζ=0.125。
如地面振动垂直分量是正弦振动，振幅为0.002mm,最大振动速度为0.1256m/s。
试求设备振幅。
解：
●建模
设备受力：
mg,Fe。
设备作曲线运动。
●Maple程序
>restart:
#清零
>B:
=a*sqrt（（（1+（2*zeta*lambda）^2）#振幅
/9（1-lambda^2）^2+（2*lambda*zeta）^2））:
>omega:
=v/a:
#地面振动频率
>p:
=2*Pi*f:
#系统振动频率
>lambda:
=omega/p:
#频率比
>v:
=0.1256:
a:
=0.002:
#已知条件
f:
=3.8:
zeta:
=0.125:
>B:
=evalf（B,4）;#垂直振幅数值
答：
此设备振幅为1.342mm.
7.一汽车在波形路面上行驶，其模型可以简化为如图7所示图形。
路面波形可以用函数
表示，其中振幅
波长
。
汽车质量
，弹簧刚度系数为
。
忽略阻尼，求汽车以15m/s匀速前进时，车体垂直振幅？
解：
●建模
汽车受主动力：
mg,Fe。
汽车作曲线运动。
●Maple程序
>restart:
#清零
>x:
=y*t:
#汽车匀速行驶位移
>y[1]:
=d*sin（2*Pi*x/l）:
#路面波形方程
>y[1]:
=subs（v=（omaga*l）/（2*Pi）,y[1]）:
#代换
>omega:
=（2*Pi*v）/l:
#位移激振频率
>omega0:
=sqrt（k/m）:
#系统固有频率
>s:
=omega/omega0:
#频率比
>etal:
=sqrt（1/（1-s^2）^2）:
#位移传递率
>b:
=etal*d:
#车体垂直振幅
>k:
=300000:
m:
=2500:
l:
=8:
#已知条件
>d:
=0.050:
v:
=15:
#已知条件
>b:
=evalf（b,4）;#振幅数值
答：
车体垂直振幅为31.84cm。
8.一个均质细杆质量为m,长为l,如图所示，两个刚度系数皆为k弹簧对称作用在
轻质细杆上。
试求该系统固有频率和固有振型。
解：
●建模
已平衡位置为原点，只考虑沿铅垂方向位移，分别以弹簧两个支点位移X1，X2为系统
两个坐标。
细杆受力mg,Fe1和Fe2。
细杆作平面运动。
●Maple程序
>restart:
#清零
>J[C]:
=m*l^2/12:
#均值细杆绕质心转动惯量
>F[1]:
=k*x[1]:
#弹簧恢复力Fe1
>F[2]:
=k*x[2]:
#弹簧恢复力Fe2
>x[C]:
=（x[1]+x[2]）/2:
#细杆质心坐标
>phi:
=（x[1]-x[2]）/d:
#细杆绕质心微小转动
>DDx[C]:
=（DDx[1]+DDx[2]）/2:
#细杆质心加速度
>DDphi:
=（DDx[1]-DDx[2]）/d:
#细杆绕质心微小角加速度
>eq1:
=m*DDx[C]=-F[1]-F[2]:
#细杆平面运动微分方程一
>eq2:
=J[C]*DDphi=-F[1]#细杆平面运动微分方程二
*d/2+F[2]*d/2:
>eq1:
=lhs（eq1）-rhs（eq1）=0:
#移项
>eq2:
=lhs（eq2）-rhs（eq2）=0:
#移项
>eq1:
=expand（2*eq1/m）:
#展开
>eq2:
=expand（d*eq2/J[C]）:
#展开
>eq1:
=subs（k=m*b/2,eq1）:
#代换
>eq2:
=subs（k=c*（m*l^2）/（6*d^2）,eq2）:
#代换
>x[1]:
=A*sin（omega*t+theta）:
#设解
>x[2]:
=B*sin（omega*t+theta）:
#设解
>DDx[1]:
=diff（x[1],t$2）:
#X1对t二阶导
>DDx[2]:
=diff（x[2],t$2）:
#X2对t二阶导
>eq3:
=simplify（eq1/sin（omega*t+theta））:
#化简
>eq4:
=simplify（eq2/sin（omega*t+theta））:
#化简
>eq3:
=subs（B=A*nu,eq3）:
#代换
>eq4:
=subs（B=A*nu,eq4）:
#代换
>eq3:
=expand（eq3/A）:
#展开
>eq4:
=expand（eq4/A）:
#展开
>b:
=2*k/m:
#方程系数
>c:
=（6*k*d^2）/（m*l^2）:
#方程系数
>solve（{eq3,eq4},{nu,omega^2}）;#解方程
答：
系统固有频率
，
，对称主振型
和反对称主振型
。
9.已知：
，求如图10摆运动方程。
解：
●建模
小球作平面运动自由度f=1
取广义坐标φ
●Maple程序
>restart:
#清零
>x[rho]:
=l:
#初始状态
>x[phi]:
=l*phi:
#角度为φ时位移
>x[rho]:
=subs（l=l（t）,x[rho]）:
#代换
>x[phi]:
=subs（phi=phi（t）,x[phi]）:
#代换
>v[rho]:
=diff（x[rho],t）:
#关于t导数
>v[phi]:
=diff（x[phi],t）:
#关于t导数
>V:
=vector（[v[rho],v[phi]]）:
#表示为矢量
>v[A]:
=sqrt（v[rho]^2+v[phi]^2）:
#任意点A速度大小
>T:
=1/2*m*v[A]^2：
#A点动能
>T:
=subs（diff（phi（t）,t）=Dphi,#代换
phi（t）=phi,T）:
>T:
=collect（T,Dphi）:
#整理
>T[Dphi]:
=diff（T,Dphi）:
#φ导数对T求导
>T[phi]:
=diff（T,Dphi）：
#φ导数对T求导
>T[Dphi]:
=subs（l=l[0]-v*t,#代换
Dphi=Dphi（t）,T[Dphi]）：
>V:
=-m*g*（l[0]-v*t）*cos（phi）:
#速度表达式
>Q[phi]:
=-diff（V,phi）：
#φ对V导数
>eq:
=diff（T[Dphi],t）-T[phi]-Q[phi]=0：
#微分表达式一般式
>eq:
=subs（diff（Dphi（t）,t）=DDphi,#代换后表达式
Dphi（t）=Dphi,eq）:
>eq:
=（l[0]-v*t）*DDphi-2*v*Dphi
+g*sin（phi）=0;#最终形式
答：
摆运动方程为
。
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