《第15章轴对称图形与等腰三角形》课时练习含答案.docx

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《第15章轴对称图形与等腰三角形》课时练习含答案

第15章　轴对称图形与等腰三角形

15．1　轴对称图形

第1课时　轴对称图形

1．下列交通标志是轴对称图形的是（　　）

2．以下京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（　　）

3．下列四个图形：

其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．圆是轴对称图形，它的对称轴有________条．

5．画出下列图形的所有对称轴．

第2课时　轴对称

1．下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（　　）

2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C＝30°，则∠B′的度数为（　　）

A．90°B．100°C．70°D．80°

3．如图，如果直线l是△ABC的对称轴，其中∠B＝70°，那么∠BAC的度数是（　　）

A．60°B．50°C．40°D．30°

4．如图，直线MN是AB的垂直平分线，垂足为点N.若AN＝2cm，则AB＝________cm.

5．如图，三角形①与三角形________成轴对称图形，整个图形共有________条对称轴．

6．作出下面图形关于直线l对称的图形．

第3课时　平面直角坐标系中的轴对称

1．点P（－5，4）关于x轴对称的点的坐标为（　　）

A．（－5，－4）B．（5，－4）C．（－4，5）D．（5，4）

2．线段MN在平面直角坐标系中的位置如图所示，若线段M′N′与MN关于y轴对称，则点M的对应点M′的坐标为（　　）

A．（4，2）B．（－4，2）

C．（－4，－2）D．（4，－2）

3．在平面直角坐标系中，点P（2，－3）关于y轴的对称点在（　　）

A．第四象限B．第三象限

C．第二象限D．第一象限

4．在平面直角坐标系中，若点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m＝________，n＝________．

5．若点A（－6，2）关于x轴对称的点是B，点B关于y轴对称的点是C，则点C的坐标是________．

6．如图，已知△ABC.

（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；

（2）画出与△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2，并写出△A2B2C2的各顶点坐标．

15．2　线段的垂直平分线

1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（　　）

A．6B．5C．4D．3

2．三角形纸片上有一点P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，则点P一定（　　）

A．是边AB的中点B．在边AB的中线上

C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上

3．如图，已知AC＝AD，BC＝BD，则（　　）

A．CD平分∠ACBB．CD垂直平分AB

C．AB垂直平分CDD．CD与AB互相垂直平分

4．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于

AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，则：

（1）∠ADE＝________°；

（2）AE________EC（填“＝”“＞”或“＜”）；

（3）当AB＝3，BC＝6时，△ABE的周长为________．

5．如图，已知MN是线段AB的垂直平分线，垂足为O，点C，D在MN上．求证：

∠CAD＝∠CBD.

15．3　等腰三角形

第1课时　等腰三角形的性质

1．等腰直角三角形的一个底角的度数为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

2．如图，AB∥CD，∠A＝70°，AC＝BC，则∠BCD的度数为（　　）

A．100°B．105°C．110°D．140°

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D.若AD＝4，BC＝10，则BD的长为（　　）

A．4B．5C．6D．8

4．如图，在△ADC中，AD＝BD＝BC.若∠C＝25°，则∠A＝________°.

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，有下列结论：

①AB＝2BD；②AD⊥BC；③AD平分∠BAC；④∠B＝∠C.其中正确的是________（填序号）．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，求∠CDE的度数．

第2课时　等边三角形的性质

1．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2的度数为（　　）

A．60°B．90°C．120°D．180°

2．如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D.若AB＝4，则AD的长度为（　　）

A．1B．2C．3D．4

3．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（　　）

A．60°B．45°C．40°D．30°

4．如图，在等边△ABC中，D为BC延长线上一点，E为CA延长线上一点，且AE＝CD.求证：

△ABE≌△CAD.

5．如图，△ABC是等边三角形，∠CBD＝90°，BD＝BC，连接AD交BC于点E，求∠AEC的度数．

第3课时　等腰三角形的判定定理

1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为（　　）

A．2B．3C．4D．5

2．在△ABC中，由∠A和∠B的度数能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）

A．∠A＝50°，∠B＝70°B．∠A＝70°，∠B＝40°

C．∠A＝30°，∠B＝90°D．∠A＝80°，∠B＝60°

3．如图，在△ABC中，若∠BAC＝112°，∠B＝34°，AD⊥BC于D，BC＝2cm，则△ABC是________三角形，BD＝________cm.

4．如图，在△ABC中，D是BA延长线上一点，AE∥BC，且AE平分∠DAC.求证：

△ABC是等腰三角形．

5．如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，过点D作DF⊥AC于点F，交BC于点E，且BD＝BE.求证：

△ABC是等腰三角形．

第4课时　等边三角形的判定

1．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（　　）

A．有一个内角是60°B．有一个外角是120°

C．有两个角相等D．腰与底边相等

2．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且满足（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0，则△ABC是________三角形．

3．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD.求证：

△ADE是等边三角形．

4．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，CD平分∠ACB，AE∥CD，交BC的延长线于点E.求证：

△ACE是等边三角形．

第5课时　含30°角的直角三角形的性质

1．如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝4，则BC的长为（　　）

A．1B．2C．3D．4

2．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60°方向500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　）

A．250mB．300mC．500mD．750m

3．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥BC，过A作AD⊥BD于点D.已知△ABC的周长为24，则AD的长为（　　）

A．4B．6C．8D．12

4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12cm，则AB＝________cm.

5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°.求证：

BD＝

AB.

15．4　角的平分线

第1课时　角平分线的尺规作图

1．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上高的是（　　）

2．尺规作图：

作已知角的平分线．

如图，作∠AOB的平分线．作法：

（1）以点________为圆心，________为半径画弧分别交∠AOB两边于点M，N；

（2）分别以点________为圆心，以大于________的长度为半径画弧，两弧交于点C；

（3）作射线________，则射线________为∠AOB的平分线．

3．如图，已知直线l是一条笔直的公路，现有村庄C要修一条最短的路与公路相连，请设计要修的路的位置．

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按下列语句作图（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）①作∠B的平分线，交AC于点D；②过点D作DE⊥AB，垂足为点E；

（2）求证：

CD＝DE.

第2课时　角平分线的性质及判定

1．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PD＝2，则P点到OB的距离是（　　）

A．1B．2C．3D．4

2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC.若BC＝16，BD＝10，则点D到AB的距离是（　　）

A．9B．8C．7D．6

3．如图，AD是△ABC的角平分线．若AB＝10，AC＝8，则S△ABD∶S△ACD＝（　　）

A．1∶1B．4∶5C．5∶4D．16∶25

4．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC，BA的垂线，垂足分别为E，F.有下列结论：

①∠DBE＝∠DBF；②DE＝DF；③2DF＝DB；④∠BDE＝∠BDF.其中正确的是__________（填序号）．

5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：

（1）△BDE≌△CDF；

（2）AD是△ABC的角平分线．

第3课时　三角形的角平分线及角平分线性质与判定的应用

1．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）

A．三条高线的交点B．三条中线的交点

C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点

2．如图，△ABC的两个外角平分线相交于点P，则下列结论正确的是（　　）

A．AB＝ACB．BP平分∠ABC

C．BP平分∠APCD．PA＝PC

3．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠BOC＝120°，求∠A的度数．

4．如图，在Rt△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E，F，D，求PD的长（提示：

连接AP，BP，CP）．

第15章　轴对称图形与等腰三角形答案

15．1　轴对称图形

第1课时　轴对称图形

1．C　2.C　3.C　4.无数

5．解：

如图所示．

第2课时　轴对称

1．C　2.B　3.C　4.4　5.②③　2

6．解：

如图所示．

第3课时　平面直角坐标系中的轴对称

1．A　2.D　3.B　4.3　－2　5.（6，－2）

6．解：

（1）如图，△A1B1C1即为所求．

（2）如图，△A2B2C2即为所求，其中A2（－1，3），B2（－3，5），C2（－5，2）．

15．2　线段的垂直平分线

1．B　2.D　3.C　4.

（1）90　

（2）＝　（3）9

5．解：

∵MN是线段AB的垂直平分线，且C，D在MN上，∴CA＝CB，DA＝DB.在△ACD和△BCD中，

∴△ACD≌△BCD（SSS），∴∠CAD＝∠CBD.

15．3　等腰三角形

第1课时　等腰三角形的性质

1．B　2.C　3.B　4.50　5.②③④

6．解：

∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°.又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝

＝70°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－70°＝20°.

第2课时　等边三角形的性质

1．C　2.B　3.C

4．证明：

在等边△ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAB＝∠DCA＝120°.在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD（SAS）．

5．解：

∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°.∵BD＝BC，∴AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.∵∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝90°＋60°＝150°，∴∠BAD＝

＝15°，∴∠AEC＝∠ABC＋∠BAD＝60°＋15°＝75°.

第3课时　等腰三角形的判定定理

1．D　2.B　3.等腰　1

4．证明：

∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C.∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠EAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．

5．证明：

∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A＝90°－∠D，∠C＝90°－∠CEF.∵BD＝BE，∴∠BED＝∠D.∵∠BED＝∠CEF，∴∠D＝∠CEF，∴∠A＝∠C，∴AB＝CB，即△ABC是等腰三角形．

第4课时　等边三角形的判定

1．C　2.等边

3．证明：

∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵∠1＝∠2，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．

4．证明：

∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD.∵AE∥CD，∴∠CAE＝∠ACD，∠E＝∠BCD，∴∠CAE＝∠E，∴CA＝CE.∵∠ACB＝120°，∴∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形．

第5课时　含30°角的直角三角形的性质

1．B　2.A　3.A　4.8

5．证明：

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，BC＝

AB.

∵CD是高，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝

BC，∴BD＝

AB.

15．4　角的平分线

第1课时　角平分线的尺规作图

1．B　2.

（1）O　任意长　

（2）M，N　

MN　（3）OC　OC

3．解：

如图，线段CD就是要修的路．

4．解：

（1）作图如图所示．

（2）∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴∠EBD＝∠CBD，∠BED＝∠C＝90°.∵BD＝BD，∴△BED≌△BCD，∴CD＝DE.

第2课时　角平分线的性质及判定

1．B　2.D　3.C　4.①②④

5．证明：

（1）∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．

（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是△ABC的角平分线．

第3课时　三角形的角平分线及角平分线性质与判定的应用

1．C　2.B

3．解：

∵点O到三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC＋∠OCB＝

（∠ABC＋∠ACB）＝

（180°－∠A）．∵∠BOC＝120°，∴∠OBC＋∠OCB＝180°－120°＝60°，∴

（180°－∠A）＝60°，解得∠A＝60°.

4．解：

连接AP，BP，CP.设PE＝PF＝PD＝x.∵S△ABC＝

AB·BC＝84，S△ABC＝

AB·x＋

AC·x＋

BC·x＝

（AB＋BC＋AC）·x＝

×56x＝28x，则28x＝84，解得x＝3.故PD的长为3.