有理数的乘方说课材料.docx
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有理数的乘方说课材料
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学科辅导讲义
授课对象
初一3-5人班
授课教师
杨老师
授课时间
授课题目
有理数的除法
课
型
预习课
使用教具
讲义、练习题
1．理解有理数乘方的概念，掌握有理数乘方的运算；
教学目标2．培养观察、比较、分析、归纳、概括能力,以及探索精神；
3．分类讨论思想．
重点：
有理数乘方的运算和正确运用科学记数法表示较大的数．
教学重点和难点
难点：
有理数乘方运算的符号法则和正确掌握10的幂指数特征．教学流程及授课详案
有理数的乘方
知识回顾：
）叙述有理数的乘法法则；
）叙述有理数的除法法则.
学习过程：
情景导入棋盘上的学问：
古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。
大臣说：
“就在这个棋盘上放一些米吧，第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒米，16粒米，32粒米一直到第64格．”“你真傻！
就要这么一点米粒？
！
”国王哈哈大笑．大臣说：
“就怕你的国库里没有这么多米！
”
你认为国王的国库里有这么多米吗？
（一）、从学生原有认知结构提出问题
在小学我们我们已经学习过a?
a，记作a2，读作a的平方（或a的二次方）；a?
a?
a记
作a3，读作a的立方（或a的三次方）；那么，a?
a?
a?
a（n是正整数）呢？
在小学对于字母a我们只能取正数，进入中学后，我们学习了有理数，那么a还可以取哪些
数呢？
请举例说明。
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（二）、讲授新课
重点1。
有理数乘方
1．求n个相同因数的积的运算叫做乘方。
2．乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。
一般地，在an中，a取任意有理数，n取正整数。
应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方
运算的结果。
当an看作a的n次方的结果时，也可以读作
a
的n次幂。
3．我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，
an就是表示n个a相乘，所
以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。
幂
a
n
指数
n
底数
a
aaa
a
例1
计算：
（1）
2
3；
（）
3
；
（3）
4
；
（4）
5
；
2
2
2
2
☆注：
2就是21，指数1通常不写。
观察、比较、分析这几组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？
（1）横向观察
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶数幂是正数；零的任何次幂都是零。
）纵向观察
互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。
）任何一个数的偶次幂是什么数？
任何一个数的偶次幂都是非负数。
你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？
当a>0时，an>0（n是正整数）；当a=0时，an=0（n是正整数）.
（以上为有理数乘方运算的符号法则）
a2n=（-a）2n（n是正整数）；
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2n-1
（）
2n-1
（n是正整数）
a
=-
-a
a2n
0（a是有理数，n是正整数）
例2
计算
2
4
（1）3
42；
（2）33
24；（3）6423
；
3
（4）（-1）2n-（-1）2n+1+（-1）2009（n为正整数）。
例3计算：
2
3
[（3）]5
（1）（-3），
（-3），
（2）-32，
-33，
5
-（-3）；
（3）-（-4）2，
-（-5）3，
（4）3，
-32
；
3
4
（4）32
（2）2，
[
（2）（3）]2，
3（3）2；
3
引导学生纵向观察第
（1）题和第
（2）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，（-a）n
（）
-a
n
a
n
n
-a
n
的底数是
相乘，
是
的相反数，这是
（-a）
和
的区别。
-a
，表示n个-a
引导学生横向观察第（3）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时
要加括号，不然就是另一种计算了。
课堂练习
计算：
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（1）（-3）3，2424,4242；
（2）（-1）2009,322，2323；
3
2
2
3；
（3）（-1）n
-1（n为偶数）
（
-5
，
2
）
3
11
2
53；
（4）
，
54
15
例3．已知：
1+3=4=22,1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，
1+3+5+7+9=25=52，，根据前面的各式规律，猜测1357（2n1）的结果
（其中n为自然数）。
随堂练习
1.当a=-3,b=-5,c=4时，求下列各代数式的值：
（1）（a-b）2；
（2）a2-b2+c2；
（3）（-a+b）2；（4）a2+2ab+b2。
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2．当a是负数时，判断下列各式是否成立。
（1）a2=（-a）2；
（2）a3=（-a）3；
重点2.科学记数法
例计算
105=100000，106=1000000，1010=10000000000，
左边用10的n次幂表示简洁明了，且不易出错，右边有许多零，很容易发生写错的情况，
读的时候也是左易右难，这就是我们想到用10的n次幂表示较大的数，比如一亿，一百亿
等等。
但是像太阳的半径大约是696000千米，光速大约是300000000米每秒，中国人
口大约13亿等等，我们如何能简单明了地表示它们呢？
这就是本节课我们要学习的内容科
学记数法。
1.10n的特征
观察下题101=10,102=100,103=1000,104=10000,1010=10000000000。
提问：
10n中的n表示n个10相乘，它与运算结果中0的个数有什么关系？
与运算结果的数位有什么关系？
练习
（1）把下面各数写成10的幂的形式。
1000，100000000，100000000000。
练习
（2）指出下列各数是几位数。
103，
105
，
1012，
10100。
2．科学记数法
（1）任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以
10的n次幂的形式。
如：
10011001
102
，6000
610006
103，75007.5
10007.5103。
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第一个等号是我们在小学里就学习过的关于小数点移动的知识，我们现在要做的就是把
100,1000，变成10的n次幂的形式就行了。
（2）科学记数法定义
根据上面的例子，我们把大于10的数记成a10n的形式，其中a是正数数位只有一位
的数，你是自然数，这种计数法叫做科学记数法。
现在我们只学习绝对值大于10的数的科
学记数法，以后我们还要学习其他一些数的科学记数法。
说它科学，因为它简单明了，易
读易记易判断大小，在自然科学中经常运用。
用字母N表示数，则Na10n（1|a|10,n为整数），这就是科学记数法。
．用科学记数法表示下列各数：
（1）1000000；
（2）57000000；（3）696000；
（4）300000000；（5）-78000；（6）12000000000。
解：
（1）1000000=106；
（2）57000
000=5.7
10000000
5.7107；
（3）696
000=6.96
100000
6.96
105；
（4）300
000000=
3
100000000
3108；
（5）-78000=7.8
10000
7.8
104；
（6）12000
000000=
1.2100000000001.21010。
如果每次都按解的步骤去做又显得有点繁，那么利用
n与数位的关系去做，试一试：
（1）1000000
是7位数，所以n=6，即106。
（2）57000000
是8位数，n=7，所以57000000=5.7
107。
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（3）696000是6
位数，n=5，所以696000=6.96105。
（4）300000000
是9位数，n=8，所以300000000=3108。
随堂练习
1．用科学记数法记出下列各数：
8000000；5600000；740000000
2．用科学记数法记出下列各数：
（1）7000000；
（2）92000；（3）63000000；（4）304000；
（5）8700000；（6）500900000；（7）374.2（8）7000.5
例2．下列用科学记数法记出的数，原来各是什么数?
（1）2106;
（2）9.6105;（3）7.58107;（4）4.31105;
（5）6.03108（6）5.002107;（7）5.016102;（8）7.7105104.
3.巧算：
首同末和10
（1）已知：
152=225可写成1001（11）25
252=625可写成10022125
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352=1225可写成100
33
1
25
则752=5625可写成
，852=7225可写成
。
（2）请归纳猜想得：
（10n+5）2
。
（3）根据上面的归纳猜想，计算出
19952=
。
4．给出依次排列的一列数：
-1，2，-4,8
，-16，32
（1）写出32后面的三项数
。
（2）按照此规律，第n个数为
。
例.比较20072008和20082007的大小.
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n
大小（n为正整数），然后我们从分析n=1,2,3，这些简单情形入手，从中发现规律。
如
（1）12
21；23
32；34
43；45
54；56
65。
猜想
（2）
n
n+1和
（n+）
n
的大小关系是
。
1
结论（3）
20072008
20082007。
小结
让学生回忆，做出小结：
1．
乘方的有关概念、乘方的符号法则和括号的作用。
2．
强调什么是科学记数法，以及为什么学习科学记数法。
3．
突出科学记数法中字母a的规定及10的幂指数与原整数位数的关系。
课后作业
A.基础演练
1．填空
64的数是
；
（2）（-4）
（1）平方得16
的数是
，立方得-
，-42
；
2
49
27
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（3）-54的底数是
，它表示
；（4）-0.12
，-
0.63
，（-3）
4
；
（5）已知
（a+2）
4
+（b-4）
2
，则
3
+b
2
；（
）若
5
，则
3
2
0
；
=0
-a
6
a<0
ab
1，则
，1
5
5
（7）若
a
2
a=
；（）在
2
5
，
5
，1
中，最大的数是
；
=
8
3
2
3
a
（9）瑞士中学教师巴尔末成功从光谱数据9,16,25,36,中得到巴尔末公式，从而打开了5122132
光谱奥妙的大门，请你按照这种规律写出第七个数据是；
（10）31
3,32
9,33
27,34
81,35
243那么32005的个位数字是
。
2．选择题
（1）已知（1-m）2
+n+2=
0，则m+n的值为（
）
A.-1
B.-3
C.3
D.
不确定
（2）一个数的平方是
4，这个数的立方是（
）
A．8
B.-8
C.8
或-8
D.4
或-4
（3）若a,b
为有理数,下列判断:
①a2
+（b+1）2总是正数;②
a2+b2+1总是正数；③
9+（a-
b）2的最小值为9；④1-
（ab+1）2的最大值是0，其中错误的有（
）
A．1
B.2
C.3
D.4
3．计算:
3
（1）23
32
;
（2）
3
1
1
;（3）
-22-32+（-3）3
;
3
2
2
-3
;
（5）
5
2
7
2003
（4）（）
5
5;（6）
1
;
-24
8
2
2
2
（7）11
2
42;
（8）
52
2
.
2
3
5
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B.综合测试
1.用科学记数法记出下列各数:
（1）地球离太阳约有一亿五千万千米;
（2）地球上煤的储量估计为15万亿吨以上;
（3）月球的质量约为7340000000000000万吨;
（4）银河系中的恒星数约为160000000000个;
（5）地球绕太阳公转的轨道半径约是
149000000千米;
（6）1cm3的空气中约有25000000000000000000个分子.
2.一天有8.64104秒,一年如果按365天计算,一年有多少秒?
（用科学记数法表示）
3．地球绕太阳转动（即地球的公转）每小时约通过1.1105千米,声音在空气中传播,每小时
约通过1.2103千米.地球公转的速度与声音的速度哪个大?
4.10m长的绳子,第一次剪去一半,第二次减去剩下的一半,如此剪下去,第5次后剩下的绳
子有多长?
5.已知:
a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值等于2，试求
x2（abcd）x（ab）2009（cd）2009的值.
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C.探究升级
1.回答下列问题:
2与3252,
1
2
1
2
（1）看一看,下面两组算式:
35
4与
42,每组两个算式的计算
2
2
结果是否相等?
（2）想一想,（ab）3等于什么?
（3）猜一猜,当n为正整数时,（ab）n等于什么?
试证明结论的正确性.
2．你喜欢吃拉面吗?
拉面馆的师傅用一根很粗的面条,把两头捏合在一起拉伸,在捏合,在拉
伸,反复几次,就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条,这样捏合到第次后可拉出
128根面条.
3．平方得9的数有几个?
是什么?
有没有平方得-9的有理数?
为什么?
4．若（a+1）2+b-2=0,求a2008·b3的值.
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