勾股定理与图形变换.docx
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勾股定理与图形变换
勾股定理专题（勾股定理与图形变换）
例1、（2002•泰州）如右图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长是
3
cm．
考点：
翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
专题：
数形结合．
分析：
利用勾股定理易得BF的长，也就求得了CF的长，进而根据△CEF是直角三角形利用勾股定理可得CE的长．
解答：
解：
由折叠可得AD=AF=10cm，DE=EF，
又AB=8cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：
BF=
AF2−AB2
=6（cm），
∴FC=BC-BF=10-6=4（cm），
∵CE2+CF2=EF2，
∴CE2+42=（8-CE）2，
解得CE=3cm，
故答案为3．
点评：
考查折叠问题；利用勾股定理求解是解决本题的基本思路；求得FC的长是解决本题的突破点．
练习：
在Rt△ABc中，∠C=90度，AC=6，BC=8，D，E分别为斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点为F
（1）如图，如果点F与A重合，求CE的长
（2）如图，如果F点落在直角边AC的中点上，求CE的长
例2：
如图所示：
是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）A．5mB．6mC．7mD．8m
:
考点：
勾股定理．
分析：
先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高=3m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．
解答：
解：
∵△ABC是直角三角形，BC=3m，AC=5m
∴AB=
AC2−BC2
=
52−32
=4m，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=7米．
故选C．
点评：
本题考查的是勾股定理，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系．
练习1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
考点：
勾股定理的应用．
分析：
此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
解答：
解：
将台阶展开，如下图，
因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，
所以AB2=AC2+BC2=169，
所以AB=13（cm），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答：
蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
2、如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为
7
米．
考点：
勾股定理的应用；平移的性质．
专题：
应用题．
分析：
当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
解答：
解：
由勾股定理得：
楼梯的水平宽度=
52−32
=4，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是3+4=7米．
故答案为7．
点评：
本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
点评：
本题考查的是利用勾股定理解直角三角形和图形的展开的问题
例3、有一个长为12cm，宽4cm，高3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铁丝，则铁丝最长是13cm．
考点：
勾股定理的应用．
分析：
本题根据题目中所给的信息，可以构造出直角三角形，再利用勾股定理解答即可．
解答：
解：
铁丝的长为
122+42+32
=
144+16+9
=13cm．
点评：
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
练习：
如图：
一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）A．11cmB．12cmC．13cmD．14cm
考点：
勾股定理的应用．
分析：
首先利用勾股定理计算出BC的长，再利用勾股定理计算出AB的长即可．
解答：
解：
∵侧面对角线BC2=32+42=52，
∴CB=5m，
∵AC=12m，
∴AB=
122+52
=13（m），
∴空木箱能放的最大长度为13m，
故选：
C．
点评：
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
4、已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴
上行驶．试确定下列情况下汽车（点P）的位置：
（1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？
（2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？
考点：
一次函数综合题；两点间的距离公式．
专题：
应用题．
分析：
（1）利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，当汽车行驶到直线AB上时，到A，B两村的距离之差最大，即可求得点的坐标；
（2）本题即为求线段AB的中垂线与x轴的交点．根据两点之间的距离公式即可求解．
解答：
解：
（1）设直线AB的解析式是y=kx+b．
根据题意得：
7k+b＝4
2k+b＝2
，解得：
k＝
2
5
b＝
6
5
，
则直线AB的解析式是y=
2
5
x+
6
5
．
在解析式中，令y=0，解得：
x=-3．
即当汽车行使到（-3，0）时，到A、B两村距离之差最大．
（2）设汽车行驶到（x，0）点时，到A、B两村距离相等．
根据题意得：
（7-x）2+16=（x-2）2+4．
解得：
x=5.7．故所求点的坐标是（5.7，0）．
点评：
本题主要考查了两点之间的距离公式，正确理解所求的点满足的条件是解决本题的关
例4、如图，在长方体上有一只蚂蚁从项点A出发，要爬行到顶点B去找食物，一只长方体的长、宽、高分别为4、1、2，如果蚂蚁走的是最短路径，你能画出蚂蚁走的路线吗？
考点：
平面展开-最短路径问题；勾股定理．
专题：
计算题．
分析：
分为两种情况：
如图1根据勾股定理求出AB长，如图2根据勾股定理求出AB长，得出图1时最短，画出即可．
解答：
解：
线段AB的长就是蚂蚁走的最短距离，
分为两种情况：
如图1：
AC=4，BC=2+1=3，
∠C=90°，由勾股定理得：
AB=5；
如图2：
AC=4+1=5，BC=2，
∠C=90°，在△ABC中，由勾股定理得：
AB=
29
＞5，
∴沿图1路线走时最短，
即能画出蚂蚁走的最短路线：
如图从A到C′再到B．
点评：
本题考查了勾股定理，最短路线问题的应用，关键是能求出符合条件的最短路线的长，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
练习1、如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A．13cmB．12cmC．10cmD．8cm
考点：
平面展开-最短路径问题．
专题：
常规题型．
分析：
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
解答：
解：
如下图所示：
∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．
∴PA=4+2+4+2=12（cm），QA=5cm，
∴PQ=
PA2+AQ2
=13cm．
故选A．
点评：
本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形，难度一般．
2、如图所示，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点A处有一小蚂蚁，它在与自己相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的点B处发现一点点食物碎屑．
请问：
蚂蚁爬到食物处的最近路线是多长？
考点：
平面展开-最短路径问题．
分析：
首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到AC=12cm，BC=18-2=16cm，再利用勾股定理计算出AB长即可．
解答：
解：
将圆柱的侧面展开，小蚂蚁到达目的地的最近距离为线段AB的长．
由勾股定理，AB2=AC2+BC2=122+（18-1-1）2=400，
AB=20 cm．
点评：
此题主要考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
3（2011•广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=
2
3
BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．（4+
6
π
）cm
B．5cm
C．3
5
cm
D．7cm
考点：
平面展开-最短路径问题．
分析：
首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC′=6cm，PC=
2
3
BC，求出PC′=
2
3
×6=4cm，在Rt△AC′P中，根据勾股定理求出AP的长．
解答：
解：
侧面展开图如图所示，
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′=3cm，
∵PC′=
2
3
BC′，
∴PC′=
2
3
×6=4cm，
在Rt△ACP中，
AP2=AC′2+CP2，
∴AP=
32+42
=5．
故选B．
4、华罗庚爷爷说：
数学是我国人民所擅长的学科．请同学们求解《九章算术》中的一个古代问题：
“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？
”
白话译文：
如图，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺．葛藤生于圆柱底部A点，等距离缠绕圆柱七周，恰好子长到圆柱上底面的B点．问葛藤的长度是多少尺？
考点：
平面展开-最短路径问题；勾股定理的应用．
分析：
这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
解答：
解：
如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，
另一条直角边长7×3=21（尺），
因此葛藤长
202+212
=29（尺）．
答：
葛藤长29尺．
点评：
本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三
：
此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
例5、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
考点：
轴对称-最短路线问题．
专题：
计算题；作图题．
分析：
此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：
MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．
解答：
解：
作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点为M，点M即为所求作的点．
则可得：
DK=A′C=AC=10千米，
∴BK=BD+DK=40千米，
∴AM+BM=A′B=
302+402
=50千米，
总费用为50×3=150万元．
点评：
此类题的重点在于能够确定点M的位置，再运用勾股定理即可求解．
练习：
如图，A，B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到公路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为d（已知d2=400000m2），现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小，问最小值是多少？
考点：
轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用．
分析：
作点B关于公路l的对称点B′，连接AB′交公路于点C，则点C即是所求的停靠站的位置，利用勾股定理求出AB'即可得出两村到停靠站的距离之和．
解答：
解：
作点B关于公路l的对称点B′，连接AB′交公路于点C，
此时满足停靠站到两村之和距离最小，此时的距离之和=CA+CB=CA+CB'=AB'，
作AD⊥BB'于点D，则CB+CA=CB'+CA=AB'，
由题意得，AB2=d2=400000m2，DB=BE-DE=BE-AF=200m，DB'=DE+EB'=800m，
在RT△ADB中，AD2=AB2-BD2=400000-40000=360000，
在RT△ADB'中，AB'=
AD2+DB′2
=1000米．
答：
停靠站建在点C出使得两村到停靠站的距离之和最小，最小值为1000米．
点评：
此题考查了利用轴对称寻找最短路径的知识，作出点B关于l的对称点B'，然后利用两点之间线段最短的知识即可得出答案，另外要注意解直角三角形的应用．
（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为
2、（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m（容器厚度忽略不计）．
类题：
如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1.6m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为。
2
5
13
m（容器厚度忽略不计）．
考点：
平面展开-最短路径问题．
分析：
将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
解答：
解：
如图：
∵高为1.2m，底面周长为1.6m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，
∴A′D=0.8m，BD=1.2m，
∴将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，
连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离，
A′B=
A′D2+BD2
=
0．82+1．22
=
2
5
13
（m）．
故答案为：
2
5
13
．
点评：
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
3、（2011•曲阜市模拟）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，则AC+CE的最小值是
10
．
考点：
轴对称-最短路线问题；勾股定理．
专题：
压轴题；动点型．
分析：
根据两点之间线段最短，及勾股定理求解．
解答：
解：
连接AE，过E点作EF⊥AB交AB的延长线于F．
∵AB=5，DE=1，BD=8，
∴AF=5+1=6，EF=8，
∴AE=
62+82
=10．
即AC+CE的最小值是10．
点评：
正确确定C点的位置是解题的关键，本题主要考查了两点之间线段最短，及勾股定理．
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