人教版高中数学必修三尖子班讲义.docx

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人教版高中数学必修三尖子班讲义

算法与程序框图

知识讲解

一、算法的概念

概念：

由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照一定规则解决某一类问题的明确的和有限的步骤，称为算法（algorithm）．通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．

二、算法的特征

1.有穷性：

算法必须在执行有限步后结束，通常还理解为实际上能够容忍的合理限度；

2.确定性：

算法的每一个步骤必须有确定的含义；

3.可行性：

组成算法的每个步骤和操作必须是相当基本的，原则上都是能精确地执行的；

4.输入：

有零个或多个输入；

5.输出：

有一个或多个输出．

三、算法的描述

描述：

自然语言、数学语言、算法语言（程序设计语言）、程序框图（流程图）．

四、算法的三种基本逻辑结构

1.顺序结构：

最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺

序进行的．如下左图，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框指定的操作；

2.条件（分支）结构：

在一个算法中，用来处理需要根据条件是否成立有不同的流

向的结构．常见的条件结构的程序框图有下面两种形式：

3.循环结构：

从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，就是循环结构，其中反复执行的步骤称为循环体．常见的循环结构的框图对应为：

五、程序框图的概念及常用图形符号

1.概念：

用一些通用的图形符号构成的一张图来表示算法，称为程序框图（简称框图）．

2.常用图形符号：

图形符号

名称

符号表示的意义

起、止框

框图的开始或结束

输入、输出框

数据的输入或者结果的输出

处理框

赋值、执行计算语句、结果的传送

判断框

根据给定条件判断

流程线

流程进行的方向

连结点

连结另一页或另一部分的框图

典型例题

一．选择题（共4小题）

1．（2016•沈阳校级模拟）《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？

答曰：

二千一百一十二尺．术曰：

周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：

圆堡瑽（圆柱体）的体积为：

V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（　　）

A．3B．3.14C．3.2D．3.3

2．阅读如图程序框图，输出的结果的值为（　　）

A．B．C．D．

3．（2016•河南模拟）右边程序框图的功能是求出的值，则框图中①、②两处应分别填写的是（　　）

A．i≥1，aB．i≥1，a﹣6C．i＞1，aD．i＞1，a﹣6

4．（2012秋•莱芜期末）执行如图所示的程序框图，输出的结果是511，则判断框中应填入（　　）

A．A＞8B．A＜8C．A＞9D．A＜9

二．填空题（共3小题）

5．（2015春•临沂校级月考）定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图所示．设f（x）=（0⊗x）x﹣（3⊗x）．则f（3）=　　；f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值为　　．

6．（2014•黄山三模）阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为　　．

7．（2014•龙海市校级模拟）按如图所示的程序框图运算，若输出k=2，则输入x的取值范围是　　．

三．解答题（共3小题）

8．（2014•湖南校级模拟）在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P沿着折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，且y与x之间的函数关系式用如图所示的程序框图给出．

（1）写出框图中①、②、③处应填充的式子；

（2）若输出的面积y值为6，则路程x的值为多少？

并指出此时点P的在正方形的什么位置上？

9．（2014秋•漳浦县校级月考）已知如图的程序框图如图所示

（1）写出程序框图所对应的算法语句；

（2）将右边的“直到型循环结构”改为“当型循环结构”，并写出当型循环相对应的算法语句．

10．（2012春•凤凰县校级期中）请认真阅读下列程序框图：

已知程序框图xi=f（xi﹣1）中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f（x）的定义域，把此程序框图中所输出的数xi组成一个数列{xn}．

（1）若输入，请写出数列{xn}的所有项；

（2）若输出的无穷数列{xn}是一个常数列，试求输入的初始值x0的值；

（3）若输入一个正数x0时，产生的数列{xn}满足：

任意一项xn，都有xn＜xn+1，试求正数x0的取值范围．

算法与程序框图

一、选择题（共12小题；共60分）

1.执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的值为

A.B.C.D.

2.下列问题的算法适宜用条件结构表示的是

A.求点到的距离

B.由直角三角形的两直角边求斜边

C.解不等式

D.计算个数的平均数

3.执行如图所示的程序框图，若输入的，分别为，，则输出的

A.B.C.D.

4.下列四种叙述，不能称为算法的是

A.解方程的过程是移项和系数化为

B.从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机

C.解方程

D.利用公式计算半径为的圆的面积应是计算

5.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为

A.B.C.D.

6.某店一个月的收入和支出总共记录了个数据，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用如图的程序框图计算月总收入和月净盈利，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的

A.，B.，

C.，D.，

7.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为

A.B.C.D.

8.计算下列各式中的的值，能设计算法求解的是

①；②；③（且）．

A.①②B.①③C.②③D.①②③

9.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为

A.B.C.D.

10.阅读下面的算法：

第一步，输入两个实数，．第二步，若，则交换，的值，否则执行第三步．第三步，输出．这个算法输出的是

A.，中的较大数B.，中的较小数

C.原来的的值D.原来的的值

11.如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入

A.和B.和

C.和D.和

12.算法：

输入；

判断是否是；若，则满足条件，

若，则执行；

依次从到检验能否整除，

若都不能整除，则满足条件；

满足上述算法的是

A.奇数B.偶数C.质数D.合数

二、填空题（共5小题；共25分）

13.已知直角三角形两条直角边的长分别为，（）．写出求两条直角边所对的最大角的余弦值的算法如下：

第一步：

输入两直角边长，的值；

第二步：

计算的值；

第三步：

 ；

第四步：

输出．

将算法补充完整，横线处应填 ．

14.给出下面的算法：

第一步输入；

第二步判断是否小于，若是，则输出，否则执行第三步；

第三步输出．

当输入的值分别为，，时，输出的结果分别为 ， ， ．

15.阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的结果 ．

16.（）图所示的是一个算法的程序框图，已知，输出的结果为，则的值为 ．

（）图所示的是某个函数求值的程序框图，则满足该程序的函数解析式为 ．

（）图所示的是求某个数列和的程序框图，此程序输出的结果为 ．

17.已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 ．

三、解答题（共5小题；共65分）

18.试设计一个求的值的框图．

19.设计一个算法，求一元一次不等式的解，用自然语言描述该算法．

20.一列数，，，，，其规律是：

从第项起每个数都是前一个数的平方加，求其前项和，画出流程图．

21.有三个农夫A，B，C和三只狼D，E，F一起过河，且只有一艘小船可供他们使用．该船最多可坐两个农夫（或两只狼，或一个农夫一只狼），并且在过河过程中，当河的任一边农夫的个数少于狼的个数时，狼就会把农夫吃掉．请你设计一个算法，使三个农夫和三只狼都安全过河．

22.伦敦获得了2012年第届奥林匹克运动会的主办权．你知道在申办奥运会的最后阶段，国际奥委会是如何通过投票决定主办权归属地的吗?

对已选出的个申办城市进行表决的操作程序如下：

首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市将获得主办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票数最少的城市淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止：

试绘制出算法的程序框图．

算法案例

知识讲解

1、更相减损术

1.概念：

求两个整数的最大公约数的算法.

2.步骤：

以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，此数就是这两个数的最大公约数．

3.等值算法：

用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等值算法可以求任意两个正整数的最大公约数．

4.原理：

《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：

以求和的最大公约数为例：

，

每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数．

二、辗转相除法

1.概念：

辗转相除法又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的求两个数的最大公约数的算法．

2.步骤：

对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与余数看成一对新的数，重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数．

如：

故即为所求．

三、秦九韶算法

1.用途：

秦九韶算法求多项式的值

2.具体内容：

已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古代数学家秦九韶提出的，具体如下：

对任意一个元多项式，

改写成如下形式：

，

求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即，

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，

即，，，．

这样，求一个次多项式的值，就转化为求个一次多项式的值．

令，则递推公式为,

其中．

到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法．

3.秦九韶算法与其它算法的比较：

，

（1）直接求和法：

先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为，加法次数；

（2）逐项求和法：

先计算的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法次，将幂值与多项式系数相乘需要乘法次，故共需要乘法次，加法次．

注：

此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多．

（3）秦九韶算法：

计算量仅为乘法次，加法次．

4.秦九韶算法的特点：

1）化高次多项式求值为一次多项式求值；

2）减少了运算次数，提高了效率；

3）步骤重复执行，容易用计算机实现．

注意：

利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将