初一下不等式知识点和专用练习题人教A版.docx
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初一下不等式知识点和专用练习题人教A版
不等关系、不等式的基本性质及解集
知识要点
※要点1不等式的概念及分类ﻫ一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”），≠,连接的式子叫做不等式。
不等式分类：
ﻫ
（1）绝对不等式。
无论在什么条件下不等式都成立。
（2）条件不等式。
只有在一定条件下不等式才能成立。
（3）矛盾不等式。
无论在什么条件下不等式都不成立。
※要点2常见不等式的基本语言ﻫ（１）若x_＿__0,则x是正数。
（2） 若x＿_＿＿0，则x是负数。
（３）若ｘ____0,则x是非负数。
（4） 若x_＿__0，则x是非正数。
（５）若x-y＿＿＿0,则x大于y。
（6）若x-ｙ___０，则x小于y。
ﻫ（7） 若x-y__＿＿_0,则ｘ不小于ｙ。
（8）若x-y＿___＿0，则x不大于ｙ。
ﻫ（9）若xy___０（或
），则x，y同号。
（1０） 若xy＿___＿0（或
）,则x，y异号。
※要点3不等式的基本性质及其他性质
基本性质ﻫ
（1） 不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变。
（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。
（3） 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号方向要改变。
其他性质
（1）若ａ＞b,则ｂ＜a；
（2）若a>ｂ,且b>c,则a>c;ﻫ（3）若a≥b,且b≤a，则ａ＝ｂ； （4）若a2≤0,则a=0。
ﻫ★说明：
不等式的基本性质也是不等式的同解原理。
※要点4不等式的解和不等式的解集以及它们的区别与联系
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（能使不等式成立的未知数的某个值）
一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集。
（能使不等式成立的未知数的所有值）
※要点5 在数轴上表示不等式的解集（用以下口诀便于记忆）
大于向右画，小于向左画，有等号的画实心,无等号的画空心。
一元一次不等式、一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组
知识要点
※要点1 一元一次不等式及解一元一次不等式的一般步骤
概念：
不等式两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式为一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤ﻫ
（1）去分母（根据不等式的性质2或3）；（２）取括号（根据整式的运算法则）;ﻫ（3）移项（根据不等式的性质1）；（4） 合并同类项（根据整式的运算法则）;ﻫ（5）将未知数的系数化为1（根据不等式的性质2或3）。
※要点２ 一元一次不等式在实际问题中的应用ﻫ（１）把实际问题转化为不等式问题，就是根据不等式关系列出不等式;ﻫ
（2）要根据题中字母或者有关量的限制条件找出符合实际定一的解。
（符合实际意义、具体的、有限的特殊解）
※要点3用一次函数的图象确定一元一次不等式解集的方法ﻫ
（1）对于单个的一次函数y＝kx＋b（ｋ≠０），求函数值为正（或负）时对应自变量的取值时,就变成了一元一次不等式kｘ＋b>0（或kｘ+ｂ＜0）；
（2） 对于两个一次函数y１＝k1x＋ｂ1（k1≠0）和y2＝k2x＋b２（k2≠0）,若求x为何值时，y１>y2（或ｙ１＜y2）,就成为不等式k1x+b1>ｋ２x＋b2（或ｋ1x＋ｂ1※要点4 一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系
不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体,有如下关系:
ﻫ
※要点5一元一次不等式组的概念及解集ﻫ
（1）概念:
一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组。
（２）解集:
一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式组的解集。
口诀:
同大取大,同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。
一元一次不等式和一元一次不等式组
不等关系、不等式的基本性质及解集
易错易混点
（1）不能正确理解不等号的作用;（２） 在运用不等式的基本性质时，忽略字母取0的特殊情况,造成错误。
;（３）在运用不等式的性质时，必须明确不等式两边是同乘以（或除以）一个正数还是负数，确定不等号的变化；（4） 对不等式的解和不等式的解集概念不理解.
例 下列式子是不等式的是（）ﻫ①x≠0;② 5≤8 ;③ａ<2;④ a≥bﻫＡ.①②③④ B.③④C．①②③ D.①②③④ﻫ例若ａ例 若a＜1时,则下列各式错误的是（ ）
A.–a＞-1B．a-1<０ C.a+１＞0 D.2ａ＜２
典型例题已知关于x，y的方程组
ﻫ
（1）试列出使x≤y成立的m的不等式；ﻫ
（2）运用不等式的基本性质将此不等式化为“ｍ＞ａ”或“ｍ＜a”的形式。
【例1】不等式aｘ＞b的解集为
，那么a的取值范围是（ ）
A.a≤0 B.a＜0 C. a≥０ D.a＞0
【例2】已知不等式5x+a＜３的解集为x<2,试求a的值。
相关题型：
ａx>-2与2ｘ-３<５的解集相同,则a＝＿____＿__。
【例3】试比较代数式3x２－2ｘ+7与４x2-２x+７大小。
相关题型：
a取什么值时，代数式
的值不小于
的值?
并且求出a的最小值。
【例4】求不等式
的最小整数解。
相关题型:
不等式
≥０的正整数解。
【例5】已知关于ｘ的方程
的解是非正数,求m为何正整数？
一元一次不等式、一元一次不等式与一次函数、一元一次不等式组
易错易混点
（1）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要变号；（２）不等正确理解用一元一次不等式求一次函数自变量的取值范围；（3）对特殊解的表示出现错误
例1已知等腰三角形ABC的周长为1２cm，试写出腰长y（ｃｍ）与底边x（cｍ）之间的函数关系式，并画出它的图象。
例2 若不等式组
的解集为x>2，则a的取值范围是（）ﻫ A．a<2 B.a≤2C．ａ＞２ D．a≥2ﻫ典型例题
1.不等式6x-2＞a＋2x的解集是ｘ>2,求a的值。
2.一次函数y＝2x+５中,如果y的取值范围是-3≤y≤11，则x的取值范围是（）
A．-3≤x≤1１ B.－４≤ｘ≤１1C. -4≤x≤3 D．－3≤x≤３
3.若不等式2（x+1）-5<３（x-１）+4的最小整数解是方程
的解，求代数式ａ2-２a-１的值。
ﻫ相关题型:
已知不等式5（x－２）+8＜6（x-1）+7的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求代数式
的值。
4.已知不等式组
的解集为-1＜x<１,求a与b的值。
5.某市组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共1００吨到外地销售。
按计划，20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满，根据下表提供的信息，解答一下问题:
脐橙品种
A
Ｂ
C
每辆汽车运载量（吨）
6
5
4
每吨脐橙获得（百元）
1２
１6
１0
（1） 设装运A种脐橙的车辆数为ｘ，装运B种脐橙的车辆数为y，求ｙ与ｘ的函数关系式；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆,那么车辆的安排方案有几种?
并写出每种安排方案。
（3）若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?
并求出最大利润的值。
6.
已知关于x的不等式组
的解集如图0１—1所示，求ｍ的取值范围。
7.有人问一位老师,她所教的班有多少学生。
老师说：
“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在读英语,还剩不足六位同学在操场踢足球。
”试问这个班共有多少学生？
8.班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共2２枝，赠给山区学校的同学,他们去了商场，看到圆珠笔每枝5元,钢笔每枝6元,
（1） 若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去了１2０元，问圆珠笔、钢笔各买了多少枝?
（2）若购买圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下,请你写出一种选购方案。
练习题一
1.m２是非负数,用适当的不等式表示_＿__＿_＿______。
2.一部电梯最大负荷为１0０0kg,有12个人共携带一个4０kg的木箱乘电梯。
他们的平均体重x（ｋg）应满足的关系式为___＿＿__＿_。
3.
在两个连续整数a和b之间,ａ＜
＜ｂ,那么a,b的值分别是___＿____。
4.已知ｘ为整数,且满足
≤ｘ≤
则x＝＿_____＿＿__＿__＿__。
5.若a>b,c＜0,则a-c＿__＿__b－c;ac_＿_＿__ｂc；ac2____＿_＿bｃ2.
6.由x≤y得到ax≥aｙ，则ａ的取值范围是＿_＿_____＿_。
7.若
则x的取值范围是_＿＿____。
8.滨海市出租汽车起步价为1０元（即行驶距离在5千米以内的都需付１０元车费）,达到或超过５千米后，每增加1千米加价１.２元（不足1千米部分按1千米来计）,小华乘这种出租车从家到单位，支付车费22元，设小华从家到单位距离为x千米（x为整数），那么x的最大值是_________。
9.若x满足不等式3＜
＜20０6，则满足条件的所有的ｘ值的和为＿＿_＿____。
10.下列说法错误的是（ ）
A.4不是不等式ｘ＋2<0的解 Ｂ. 2是不等式x－3<０的一个解ﻫC.不等式２ｘ+5<10x的解有无数个 Ｄ．不等式x＜５的正整数解有无数多个
11.无论ｘ取什么数,下列不等式总成立的是（）ﻫA.ｘ+５＞0 B.x+5＜０ Ｃ.–（x+5）2<0D．（x-５）2≥0
12.如果m D．
13.若ｘ＜－4，则下列不等式中成立的是（ ）ﻫA.ｘ2≥－4ｘ Ｂ．x2≤-4x C.x２>－4x D.ｘ２＜-4
14.由mＡ.ａ>0Ｂ.a＜0 C.a≠0D． ａ为任意实数
15.某种商品的进价为800元,出售时标价为1２0０元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%,则至少可打（ ）
A．6折 Ｂ． ７折C.８折 D. 9折
16.若ａ－b>ａ，a+b＜b，则有（ ）
A.ab＜０ B.
＞0 C.a＋b>0 D. a－b＜2
17.如果不等式３x-m≤0的正整数解是1、２、3，那么m的取值范围是（）ﻫA.９≤m<1２Ｂ.9＜ｍ<１2 C． ｍ<12 D．m≥0
18.若不等式（a＋1）ｘ>a+1的解集为x＜1，则a必须满足（ ）
A.a＜0 B. a≤-1 Ｃ.a>－1 D．a<－1
19.已知a>0,b＜0,a＋b<0，你能将a,-ａ,b,－b，ａ－b,b-ａ按从小到大的顺序排列起来吗？
试试看。
20.根据不等式的基本性质，把下列不等式化简为x>a或x＜a的形式。
（1）
（２）
21.已知x＝3是方程
的解，求不等式
的解集,将解集表示在数轴上。
22.已知关于x的不等式
的两边同时除以（1－a）得到
，试化简
。
23.当k在什么范围内取值时,关于x的方程
有（１）非正数解;
（2）不大于3的解.
24.比较下面两列算是结果的大小（在横线上填“＞”或“＜”或“＝”）ﻫ４2+３２_________２×4×3,（-2）2+12_＿＿___2×（－2）×１，
，２２+２2______2×2×2,…
通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论,并加以证明。
练习题二
1.当ｘ满足________时,代数式
的值为非负数。
2.不等式x-9＜3x-３的最大负整数解是＿_＿______＿_；不等式
的解集为＿_______。
3.关于x的方程（1＋a）x=1-２x的解为一正数,则a的取值范围是____＿＿__。
4.函数y＝x－3ａ与y＝-ｘ+a-１的图象相交于第二象限，则ａ的取值范围是＿____＿_。
5.已知一次函数y＝ax＋b（a、b是常数）,x与y的部分对应值如下表:
x
-2
-１
0
1
２
３
y
６
４
2
0
-2
-４
那么方程ａx+ｂ＝０的解是_＿____＿___;不等式ax+b＞0的解集是＿＿__＿___。
6.若
，则k的取值范围是_____＿_＿__。
7.若不等式2x－m≤0的正整数解恰好是1,２，３，４,则m的取值范围是________＿。
8.若关于x的方程
的解是非负数,则m的取值范围是_________。
9.一天夜里，一个在森林散布的人听见树林里一伙盗贼在瓜分一批作为赃物的布匹,只听见他们说:
“如果每人分4匹,则剩20匹;如果每人分8匹，则有一人少几批。
”问盗贼有___＿____个，它们总共盗来 _______匹布。
10.如果2m、m、1-m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，那么的取值范围是（）
A. m＞０B.ｍ>
C. ｍ＜０D.0＜m＜
11.点P1（x1,y1）,P2（ｘ2,ｙ２）是一次函数y＝－4x+3图象上的两个点，且x1＜x2，则y１与y2的大小关系是（ ）ﻫA. y1>y２B．y１＞ｙ2>0 C. ｙ1<ｙ2 Ｄ. y1=ｙ2
12.若
则x应满足（ ）
Ａ．x>2 Ｂ.x≤2 Ｃ.x≥2 D． x＜2.
13.已知1＜ｘ＜2,则
等于（ ）ﻫA．x Ｂ.1 C． 2x-３ Ｄ.１-2x
14.若不等式（ａ+7）ｘ＜6的解集为ｘ＞－1，则a的值为（ ）ﻫA. -13 B． -8 Ｃ.－1 Ｄ.9
15.
已知一次函数y１=k１x＋b1和y2=k2x＋b2的图象如图０1—２所示，则y１＞y２时，ｘ的取值范围是（）
A.
B.
C．x>1 Ｄ.ｘ＜1
16.设一个三角形的三边长分别为3,１-2ｍ,8，则m的取值范围是（ ）
A． 0＜m＜
B．－5Ｃ. －2＜m＜5 D.
＜m＜-1
17.已知点M（3ａ－9,1－a）在第三象限,且它的坐标都是整数,则a等于（ ）
A.1 B． ２ C.３D.4
18.解不等式（组）。
（1）
；
（2）
（3）
（4）
19.已知
的值不小于
的值,求x的取值范围，并在数轴上表示出来。
20.求不等式
的正整数解。
21.若x满足不等式组
化简
。
22.若
求当y≥0时，m的取值范围。
23.已知关于x的不等式组
的整数解共有5个，求a的取值范围。
24.已知关于ｘ的不等式组
的解集为-1＜ｘ＜19，求ａ，ｂ的值。
25.不等式组
的解集是3＜x＜a＋２,求a的取值范围。
26.有一个两位数,其十位数字比个位数字小２，这个数大于20小于40，求这个两位数。
27.已知关于x、y的方程组
的解中，ｘ为非正数，y为负数。
ﻫ
（1） 求ａ的取值范围;
（2）化简
;ﻫ（３）在a的取值范围中,m是其中最大的整数,n为其中的最小整数，求
的值；
（4）在a的取值范围中，当a为什么整数时，不等式2ax＋x＞2a+１的解集为x<1?
28.某种化肥在县城的甲、乙两个生产资料门市部均有销售,现了解到该化肥在甲、乙两个门市部的标价均为600元/吨,但都有一定的优惠政策，甲门市部是第一吨按标价收费，超出部分每吨优惠25％；乙门市部每吨优惠20%出售。
（1）写出甲门市部每次交易的销售额y1（元）与销售x（吨）之间的函数关系式及乙门市部每次交易的销售额y２（元）与销售ｘ（吨）之间的函数关系式;ﻫ
（2）种粮大户张某想一次购买此种化肥4吨，李某想一次购买此种化肥8吨,他们到哪个门市部购买省钱？
请给他们分别提出合理建议。
29.某饮料厂开发了Ａ、B两种新型饮料,主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲和乙的含量如下表所示。
现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产Ａ、B两种饮料共1０0瓶,设生产A种饮料x瓶,解答下列问题：
原料名称
饮料名称
甲
乙
Ａ
２0克
４0克
B
3０克
２0克
（1） 有几种符合题意的生产方案?
写出解答过程；ﻫ
（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.6０元,B种饮料每瓶的成本为2.8０元,这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式,并说明x取何值会使成本总额最低？
30.某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品，已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢笔每支4．8元,他们要购买这两种笔共40支。
ﻫ
（1）如果他们两人一共带了２40元，全部用于购买奖品，那么能卖这两种笔各多少支?
ﻫ
（2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况,决定所购买的锦江牌钢笔数量要少于红梅牌钢笔的数量的１/２,但又不少于红梅牌钢笔的数量的1／４，如果他们买了锦江牌钢笔x支，买这两种笔共花了y元。
请写出y（元）关于x（支）的函数关系式，并求自变量x的取值范围;ﻫ请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时,所花的钱最少,此时花了多少元？
中考链接
1.某公司打算至多用1200元印制广告单,已知制版费50元，每印一张广告单还需支付０.3元的印刷费,则该公司可印制的广告单数量x（张）满足的不等式为＿__＿__＿__＿____＿__。
2.甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元,后来他又以
元的价格把鱼全部卖给了乙，结果赔了钱,原因是（）ﻫＡ．a＞ｂ B.a3.若a＞b,且x是有理数,则下列结论正确的是（ ）
A. ａｘ＞bx B.ax＜bx C. ａx2>ｂx2 D. ax2≥bｘ2
4.
5.初中毕业了,孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取14０~２00元钱，买一份礼物送给父母。
已知:
在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份,则每卖出一份报纸可得0.1元;如果卖出的报纸超过100０份,则超过部分每份可得0．２元。
ﻫ
（1）请说明：
孔明同学要到目的,卖出报纸的份数必须超过10０0份；ﻫ
（2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元,请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内。
6.在一次战备军事演习中,后勤运输部门要组织12辆汽车，将野战医院的医疗器械、药品、帐篷三种物资共82吨一次性运往指定地点,假设甲、乙、丙三种车型分别运载医疗器械、药品、帐篷三种物资。
根据下表提供的信息解答下列问题:
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 1０
（１）设装运医疗器械、药品的车辆数分别为ｘ、y，试用含x的代数式表示y;ﻫ
（2）据
（1）中的表达式,试求出医疗器械、药品、帐篷三种物资各几吨?
7.“水晶饼”是陕西最名贵的特产，它是由上等精白面粉、冰糖等十多种材料加工而成。
由于条件限制,以前都采用人工加工，为改善落后的加工条件,当地加工厂决定购买１0台加工设备,现有A、B两种型号的设备供选择,其中每台的价格、年加工能力及年消耗费用如下表所示:
A型
Ｂ型
价格（万元／台）
3
2
年加工能力（吨／年）
18
1０
年消耗费用（万元/台）
０.2
0．2
但因目前厂里资金短缺，购买设备的资金不超过2７万元,同时又因A型设备的加工能力更强,所以厂里购买A型设备的数量至少是B型设备的三分之二。
（１）请你为该厂设计所有的购买方案;
（２）根据目前状况，当地每年生产“水晶饼”大约有140吨,为节约资金，应选用哪种购买方案？
（3）以前人工加工每吨需付工资６00元，而现在每吨只需付工资１00元，如果该厂按
（2）中的购买方案购买设备,则多少年后该厂便可从节约的资金中收回成本？
型号
A
B
成本（元/台）
2２00
26００
售价（元／台）
２80０
3000
8.某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召计划生产Ａ、Ｂ两种型号的冰箱100台。
经预算,两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于４．75万元,不高于４.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表:
（1）冰箱厂有哪几种生产方案？
（2） 该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少?
“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元?
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