线性代数回顾.docx
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线性代数回顾
线性代数回顾
线性代数回顾
1.行列式的实质是一个数
行列式都是n*n的大小
行列式与矩阵的关系：
n阶矩阵可以取行列式
行列式与多项式的关系：
行列式是不同行、不同列元素乘积的代数和
（每项是n个元素组成的乘积项，这n个元素来自由不同行、不同列；共n!
项构成；总结果是一个代数和，各项符号看逆序；）
2.行列式的6个性质：
行与列的变换等价
n阶矩阵转置以后取行列式，行列式值不变
一行乘以某个数加到另外一行，行列式值不变（该性质通常用于化简出多个0，来简化计算行列式的值）
数乘行列式：
一行的公因数可以提取（矩阵要所有元素要有公因数才能提取出来）
两行互换，行列式值正负变号
两行相等或成比例行列式值为0
拆分性质（某行或某列的所有元素为2数之和则可拆分）
|AB|＝|A|*|B|，当且仅当A、B都是n阶矩阵
3.行列式的展开公式既可以对行展开也可以对列展开
行列式的展开计算公式思想：
将1个n阶行列式转换为n个n-1阶行列式的计算
（实际操作过程中先用行列式性质使得某行或者某列出现较多的0，再按展开公式计算）
行列式的余子式和代数余子式（行列式降一阶）的性质：
aij与Aij、Mij无关（注意AijMij是行列式或数，而不是矩阵）；
行列式的展开公式；
展开公式的aij换成另外一行，行列式值为0的性质（函数代换角度）；
伴随矩阵与原矩阵的公式（注意：
原矩阵按行排列，伴随矩阵按列排列）
4.常见行列式的计算：
上三角行列式、下三角行列式、主对角线行列式（特殊的上、下三角行列式）的值（主对角线）
上三角行列式、下三角行列式、主对角线行列式（特殊的上、下三角行列式）的值（副对角线）
范得蒙行列式：
大指标减去小指标的连乘积（注：
列指标由小到大是左到右，行指标是由上到下）
拉普拉斯展开式（主、副对角线上有0块）
爪型行列式：
提取生成1然后变为上下三角行列式
"特征值行列式"及2个重要性质:
特征值之和为原矩阵主对角线元素之和；特征值之积为原矩阵取行列式；
（注意：
秩为1的矩阵其特征值行列式非常简化）
正交矩阵的行列式为1或－1
5.一个排列里如果大的数排在小的数前面，那么它们构成一个逆序，逆序数为奇数或者偶数则称这个排列为奇排列或偶排列
如果行列式中某项的逆序数为奇数则该项符号为负，如果逆序数为偶数则该项符号为正
计算逆序数的方法有两种：
分别计算行排列的逆序数与列排列的逆序数之和；按行或列排列后计算列或行的逆序数
6.行列式部分的注意点：
一个行列式所有代数余子式之和即伴随矩阵内所有元素之和
注意，n阶矩阵可以取行列式，而向量不能取行列式
AB不等，但其行列式可能相等
非0矩阵的行列式可能为0
7.矩阵的实质：
是一个表格，是一种便于计算的工具，其内部元素的排列是有序的
矩阵的形状：
矩阵的长宽可以不相同
矩阵的用途：
用来描述"乘积的和"的式子
两矩阵相等：
矩阵内所有相同位置的元素都相同
0矩阵：
所有元素为0的矩阵
矩阵与向量：
向量是特殊的矩阵（行数或列数为1的矩阵）
一阶矩阵：
一个数就是一个一阶矩阵（由行向量乘以列向量得到）
8.矩阵的运算法则：
两矩阵相加减：
相同位置的元素对应相加减，只对元素个数和行列数都相同的矩阵才有的运算
数乘矩阵：
用数乘以矩阵中每个元素，与行列式数乘不同
两矩阵相乘（得到的矩阵行数与第一个同，列数与第二个同，第一个矩阵的列数应该等于第二个矩阵的行数）
矩阵乘法与数字乘法不同处：
没有交换律；即AB不等于BA；
AB=0不能推出A=0或B=0，两者可能都是非零矩阵；
AB=AC不能推出B=C，矩阵两端不能约
常数（一阶矩阵）和E都有矩阵乘法交换律，这是两个特例
矩阵乘法可用的规律：
A（BC）=（AB）C＝ABC 结合律
A（B+C）=AB+AC （B+C）A=BA+CA分配律
矩阵乘法没有交换律
矩阵加法的逆用与行列式拆开的不同：
矩阵拆开是所有元素都拆，是加法的逆用，行列式拆开是按某行或某列拆开；
9.专题：
几种特殊矩阵的方幂（只有n阶矩阵才有方幂可言，否则只能相乘一次）：
r（A）＝1，则A可以分解成一个列向量与一个行向量的乘积；
主对角线（包括）以下为0的三阶矩阵，三次方后为0矩阵
分块矩阵的方幂
主对角线上元素不为0的矩阵的方幂
相似矩阵的方幂相乘结果可以转化到对角阵的方幂上去
10.专题：
矩阵方程：
未知数是一个矩阵，解这个方程求得的结果是一个矩阵而不是一个数
矩阵方程的三种形式与求解方法
11.专题：
伴随矩阵：
有伴随矩阵的矩阵A必然是n阶矩阵
伴随矩阵的写法：
是按列写
伴随矩阵的经典公式：
A*A=AA*=|A|E（可推导出A*的逆矩阵、A的矩阵的逆矩阵公式等结论）
伴随矩阵与逆矩阵：
可用A*来来求A的逆矩阵
二阶矩阵的伴随矩阵规律：
主对角线对调，副对角线变号
伴随矩阵的秩的规律：
A*的秩只有n/1/0三种情况
伴随矩阵的特征值与特征向量：
相差|A|倍
12.专题：
可逆矩阵
逆矩阵定义：
AB=BA=E
并非所有矩阵都有逆矩阵
A如果有逆矩阵，其逆矩阵是唯一的
A可以是m*n矩阵，不一定要是n阶矩阵
对n阶阵A：
n阶矩阵A可逆的充要条件是行列式不为0（注意证明题中常用此反证，通过伴随矩阵公式得到此结论）
n阶矩阵A的行向量组和列向量组都线性无关
n阶矩阵A的秩为n
若A是n阶矩阵，且AB=E,则BA=E（证可逆时只需证一边）
正交矩阵必然是可逆矩阵
求逆的方法：
定义法（以AB=E为出发点对抽象矩阵进行变换得到）
加E通过初等行变换法（只能用行变换）
n阶矩阵的逆矩阵公式：
伴随矩阵的求逆公式法（求逆公式）
13.矩阵的初等行变换：
某行乘以非零数k加到另一行
某行乘以非零数k
（注意这个形式与行列式数乘一样，但与矩阵数乘不同，它属于矩阵的一种初等变换，对应方程组中的一个方程两边同乘某数）
某两行互换
（注意：
只有初等行变换对应的操作是消元，只有初等行变换能用于方程组系数矩阵变换，才不会改变方程组的解）
14.专题：
E的恒等变型的妙用
如果题目中有E，表达式又复杂则考虑E的恒等变型，常见的恒等变形方式有：
A=EA A=AE
增加或减去E的倍数（但要注意等式两端补齐）
用正交矩阵或者逆矩阵的定义变形
15.专题:
初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵（包括初等行变换和初等列变换）
初等矩阵可以从行的角度由单位阵经过初等变换得到，也可以从列的角度由单位阵经过初等变换得到
初等矩阵及其逆矩阵都是n阶矩阵
矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：
初等矩阵左乘A相等于给A做了同样的行变换；右乘A相当于给A做了同样的列变换
一个矩阵经过多次初等变换相当于左乘或者右乘多个初等矩阵
初等矩阵都是可逆的（逆矩阵存在），其逆矩阵也是同类型的初等矩阵，并有规律
初等矩阵的行列式不为0
多个初等矩阵相乘得到的矩阵仍然是可逆的（用行列式不为0证明）
初等阵是只经过一次初等变换得到的，如果一个矩阵经过了n次初等变换，则可以看成n个初等阵相乘，但不能再称为初等矩阵；
初等矩阵乘A不改变A的形状（m*n）
矩阵A经过初等变换后秩不变，即r（A）不改变（初等矩阵乘A不改变A的秩、A中各向量的线性相关性）
只做列变换的等价矩阵的列向量组必然等价，只做行变换的等价矩阵行向量组必然等价?
16.专题：
AB=0且B为非零矩阵
AB=0且B为非零矩阵:
B中每个列向量都可以看成方程组的一个解，这些解（列向量）可以排成B矩阵
则AX=0有非零解
如果A为n阶矩阵，则A取行列式不为0
AB=0且B为非零矩阵：
则r（A）+r（B）<=n，又B为非零矩阵则r（B）>=1,故得r（A）<=n-1；
如果找出n-1阶行列式值不为0，则r（A）>=n-1，可知r（A）=n-1
17.向量是一个有序实数组
（程序实现向量时看成数组）
向量中有n个元素则称该向量为n维向量
（n维向量的几何表示：
二维向量是平面内的箭头表示，三维向量是空间内的箭头表示，以此类推）
矩阵中的向量有行向量和列向量两种
（通常用列向量组表示方程的系数矩阵）
两向量相等：
对应位置的元素全部相等，不同维数的向量不相等
0向量：
所有元素为0的向量，不同维数的0向量不相等
向量与矩阵的关系：
向量是特殊的矩阵（n*1或1*n）
向量的运算：
两向量加减：
对应位置的元素相加减
（几何上对应向量的矢量和差，矢量和用平行四边形法则，矢量差用三角形法则）
k乘以向量：
用k乘以向量的每个元素
（几何上对应向量长度和方向的变化）
两向量乘积：
行向量与列向量可以相乘，结果仍未一个向量
（向量的坐标变换）
两向量的内积：
用矩阵相乘表示,由内积可以推出向量长度的概念和向量正交的概念
（向量长度为0的必然是0向量，非0向量长度都大于0）
18.专题：
正交矩阵
正交矩阵的定义：
AAT=ATA=E
正交矩阵必然是n阶矩阵
矩阵的正交是对一个矩阵本身而言的
A是正交矩阵的充要条件：
转置矩阵与逆矩阵相等
正交矩阵取行列式:
行列式的平方为1
（正交矩阵的行列式的值为1或-1）
正交矩阵的可逆性：
正交矩阵必然是可逆矩阵，且逆矩阵就是它的转置矩阵
某个矩阵用正交矩阵相似化的结果和合同化的结果相同，因为AT=A-1
A的行向量长度均为1（行向量都是单位向量），行向量之间两两正交
A的列向量长度均为1（列向量都是单位向量），列向量之间两两正交
（矩阵正交是从公式角度出发的，向量正交是从内积角度出发的，可从几何意义看矩阵和向量正交的含义）
（注意：
矩阵正交时各向量有长度要求，向量正交时没有长度要求）
19.向量组的线性组合
一向量可以由向量组线性表示
一组向量线性相关与线性无关（注意相关的定义:
系数不全为0）（改组向量里如果有0向量则必然线性相关）
齐次方程组的3种表示方法：
方程表示法、矩阵表示法、向量组表示法
齐次方程组也有3种解的情况：
无解有唯一解 有无穷多个解
齐次方程组用向量表示时：
向量组线性相关即表示有非零解，向量组线性无关即表示只有零解
求解的过程就是求实系数的全部组合
（齐次方程组有非0解的充要条件是r（A） （齐次方程组只有零解的充要条件是r（A）=n，如果是n阶系数矩阵，则还有行列式不为0的充要条件）
（齐次方程组中向量的维数对应方程的个数，向量的个数对应未知数的个数）
通常四个方面联系考虑和互推：
向量组的线性相关性、齐次方程组的解、齐次方程组系数矩阵的秩、n阶系数矩阵的行列式
20.一组向量线性相关的几何意义：
如果是1个向量线性相关，则必为0向量,共点；
如果是2个向量线性相关，则这2个向量共线（各对应元素成比例，正负号表示向量指向方向相反）；无关则不共线（各对应元素不成比例）；
如果是3个向量线性相关，则这3个向量共面；无关则不共面；
（向量的正交属于无关的一种特殊情况）
21.向量线性相关和无关的系数比例直观判断：
相关：
至少有两个向量的元素对应成比例
无关：
任意两个向量的元素都不能对应成比例
22.向量组线性相关定理：
相关组添向量仍相关，减向量则不确定；无关组减向量仍无关，添向量则不确定
相关组减少维数后仍然相关，无关组增加维数仍然无关；
n+1个n维向量相关，无论各向量取值
n个n维向量相关用其行列式判断，行列式为0则相关，行列式非0则无关
有0向量的向量组相关
阶梯矩阵中各向量无关
23.专题：
证明向量组线性无关的方法：
定义法：
常用某个矩阵与已知式相乘得到结论
将向量组看成矩阵，用矩阵秩的理论
用齐次方程组解的思想
n个n维向量用行列式判断是否无关：
n阶矩阵可逆则其行列式不为0，其行向量组、列向量组线性无关
B=AC（C是一个n阶矩阵，用C的行列式判断，行列式为0则相关）
A经过初等行变换得到B秩不变且A的列向量和B的列向量有相同相关性
A经过初等列变换得到B秩不变且A的行向量和B的行向量有相同相关性?
阶梯矩阵中的各向量线性无关（无论行列向量）
24.某一个向量可由另外一组向量线性表出与线性相关的关系：
n个向量线性相关的充要条件：
必有其中某一个向量可由其他n-1个向量线性表出
n个向量线性无关的充要条件：
没有一个向量能用其他n-1个向量线性表出
某一个向量可由另外一组向量线性表示与向量对应成比例的关系：
n个向量线性相关的充要条件：
至少有2个向量对应成比例，且其中之一的向量必为被表出向量；
n个向量线性无关的充要条件：
任意两个向量都不对应成比例
某一个向量可由另外一组向量线性表出与齐次方程组的关系：
一个向量可由另外一组向量线性表出从方程角度来看就是一个非齐次方程组，且有非零解
一组向量线性相关从方程角度来看就是一个齐次方程组，必有非零解，不一定有非零解
25.某一个向量可由另外一组向量线性表出的相关定理：
多数向量可以用少数向量线性表出，多数向量相关
n个向量线性无关，添加一个向量后n+1个向量线性相关，那么添加的向量可用原来无关小组线性表示，且是唯一表示；
（常用来做可由线性表出的证明题）
26.技巧：
数学证明题中条件方法：
充分A-->B 必要B-->A 充要A-->B B-->A
唯一性的证明的两种方法：
反证法逆推出条件不成立 可变参数相减为0说明可变参数相同
27.行列式化简和方程组系数矩阵变换的对比：
行列式化简使用的是行列式的性质（行与列的变换等效），而不是使用初等变换，化简目的是为了使用"计算行列式值的展开式"；
行列式化简使用的性质：
数乘加到另一行；一般不用交换，因为交换要变号；也不用数乘某行，因为相当于数乘行列式；
方程组的系数矩阵变换只能用初等行变换（数乘某行 行交换 数乘加到另一行）
方程组系数矩阵变换不是使用的矩阵的计算规律－－数乘矩阵等于数乘矩阵内每个元素；
系数矩阵或增广矩阵的变换目的是为了得到只含一个未知数的方程，然后通过迭代迭代求出所有未知数；
逆矩阵的求法前半部分只能用初等行变换
观察矩阵的秩既可以用初等行变换，也可以用初等列变换，也可以混着用
初等矩阵的得到既可以看成是经过一次初等行变换得到的，也可以看成经过一次初等列变换得到的
28.向量组等价：
向量组1中的每个向量都可以由向量组2线性表示
向量组2中的每个向量都可以用向量组1线性表示
向量组等价有传递性、可逆性
向量组等价与向量组的极大无关组：
一个向量组与其极大无关组等价
一个向量组的各极大无关组之间等价
两个等价向量组分别构成矩阵，它们的秩相等，各向量组内部的线性相关性相同，反之不成立
29.两矩阵等价：
其中之一矩阵是由另一矩阵通过初等变换得到
A与B等价必有B与A等价（初等变换的过程是可逆的，这叫矩阵等价的可逆性）
矩阵的等价有传递性
等价矩阵的秩相同：
初等变换不改变矩阵的秩（无论行变换、列变换、行列变换混用）：
r（A）=r（B）
矩阵等价与向量组等价的关系
A只经过了初等行变换得到B，则A、B的行向量组等价
A只经过了初等列变换得到B，则A、B的列向量组等价
（向量组等价是从线性表出的意义而言，矩阵的等价是从初等变换角度而言）
30.极大线性无关组
极大线性无关组里的各向量线性无关
极大线性无关组的组成向量不唯一，但组成个数唯一
极大线性无关组与齐次方程组的基础解系的关系：
基础解系有n-r（A）个无关的解向量
极大无关组内肯定不含0向量
极大无关组与向量组等价的关系：
一个向量组与其极大无关组等价
极大无关组之间是等价的
向量组的秩：
极大无关组中向量的个数叫该向量组的秩
31.关于向量组（矩阵）的秩的定理：
向量组的秩：
极大无关组中向量的个数
矩阵的秩：
最高阶非0子式的阶数
（矩阵秩为k则：
有k阶子式不为0，任何大于k阶子式的值都为0）
（向量组的秩是从线性相关性角度定义的，矩阵的秩是从行列式角度定义的）
（注意说法：
矩阵的子式，行列式的余子式、代数余子式）
（向量的秩和矩阵的秩虽然定义方式不同，但本质一样，向量是特殊的矩阵,而向量组就是矩阵）
矩阵的秩等于行向量组的秩也等于列向量组的秩
矩阵的秩等于k,说明矩阵的行向量组中有k个向量无关，列向量组中也有k个向量无关（联系极大无关组）
0矩阵的秩为0，非0矩阵的秩大于等于1
一个m*n的矩阵（m 矩阵转置后秩不变 r（A）=r（A'）
初等矩阵乘A不改变A的秩、A中各向量的线性相关性不变（或称A经过初等变换不改变秩）
乘积矩阵的秩不大于每个矩阵的秩：
r（AB）<=r（A） r（AB）<=r（B） （方程角度证得）
可逆矩阵与某个矩阵相乘不改变该矩阵的秩：
当A可逆时，r（AB）=r（BA）=r（B）
A为m*n矩阵，B为n*s矩阵，AB=0，则r（A）+r（B）<=n （方程角度证得）
伴随矩阵的秩的3种可能性：
n 1 0
A与B等价则A的秩和B的秩相同：
初等变换不改变秩
A与B相似则A的秩和B的秩相同：
逆矩阵乘以A得B，r（A）=r（B）
A与B合同则A的秩和B的秩相同：
向量组1可以由向量组2线性表示，则r
（1）<=r
（2）
阶梯矩阵的秩可以直接看出来，其他矩阵的秩：
可通过初等行变换后，观察列向量的线性相关性来得到秩（因为初等变换不改变秩）
（在求矩阵的秩的时候初等行变换和初等列变换可以混着用）
32.AB=0的两种思路（A为m*n,B为n*s）：
B的列向量为AX=0的解
r（A）+r（B）<=n
33.专题 0向量和0矩阵
证明一个向量为0向量的方法：
一个向量的长度为0，则这个向量为0向量；
证明一个矩阵A为0矩阵的方法：
矩阵的秩为0
34.施密特正交化的步骤：
先正交化再单位化
施密特正交化的几何意义：
如果是2个2维向量则相当于：
先正交分解到xy轴，再将各向量缩成单位长度；
如果是3个3维向量则相当于：
先正交分解到xyz轴，再将各向量缩成单位长度；?
35.矩阵和向量的对比：
正交：
向量组的正交用内积定义，空间上垂直，属于线性无关；
矩阵的正交用公式定义
正交矩阵内的行向量组和列向量组分别正交
等价：
向量组的等价用互相能线性表出定义，有可逆性和传递性
矩阵的等价用初等变换，有可逆性和传递性
矩阵等价后，其行、列向量组不一定等价，除非只做一种初等变换?
秩：
向量组的秩定义：
是极大无关组内向量的个数
矩阵的秩是用行列子式来定义
矩阵的秩与行向量组、列向量组的秩相同
36.线性方程组
分为齐次方程组和非齐次方程组
线性方程组的三种表现形式（包括齐次和非齐次）
齐次方程组的解的2种可能性：
必然有0解，除去0解之外可能有无穷多个非0解：
齐次方程组有非0解的充要条件：
系数矩阵的秩r（A） 系数矩阵内列向量线性相关
如果系数矩阵A是n阶矩阵，则A取行列式的值不为0，即A可逆
充分条件：
A是m*n矩阵，m 齐次方程组如果有非0解，则有无穷个非0解（解的线性组合仍是解），可用基础解系表示所有解
基础解系的四个信息：
都是AX=0的解
线性无关
其余任何解都可以由基础解系线性表出--齐次方程组通解的形式
基础解系中解向量的个数：
n-r（A）
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