普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学word版.docx
《普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学word版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学word版.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学word版
一.选择题（共8小题,求的一项）
2021年北京高考数学（理科）试题每小题5分，
共40分•在每小题列出的四个选项中,
选出符合题目要
2
1.已知集合A{x|x
2x0},B
{0,1,2}，则APB（）
A.{0}B.{0,1}
C.{0,2}
D.{0,1,2}
2•下列函数中，在区间
（0,）上为增函数的是（
AyX1
B.y
（x1）2C.y2x
D.ylog0.5（x1）
x1
3•曲线
y2
cos
sin
为参数）的对称中心（
A.在直线y
2x上
B.在直线y2x上
C.在直线y
D.在直线yx1上
4•当m7,n
3时，执行如图所示的程序框图，输出的
S值为（）
A.7B.42C.210D.840
5•设{an}是公比为q的等比数列，贝y"q1"是"{an}"为递增数列的（）
A充分且不必要条件
B•必要且不充分条件
C•充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
x
y
2
0
6•若x,y满足kx
y
2
0且zyx的最小值为-4，则k的值为（
）
y
0
A.2B.2
C.-
D.
1
2
2
7.在空间直角坐标系
Oxyz中，
已知
A2,0,0
B2,2,0,C0,2,0,D1,1八,2，若
S1,S2,
S3分别表示三棱锥
ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的
面积，则
（A）Si
S2S3
（B）SiS2且
S3S
（C）Si
S3且S3S2
（D）S2S3且
S1S3
8•有语文、
低于B同学，且至少有一科成绩比他们之间没有一个人比另一个成绩好,的•问满足条件的最多有多少学生（
（A）2
二、填空题
数学两学科，成绩评定为“优秀”
•若A同学每科成绩不
B高，则称“A同学比B同学成绩好•”现有若干同学,且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样
）
“合格”“不合格”三种
（共
（B）3
6小题，每小题5分,
（C）4
30分）
（D）5
9复数-
1i
10.已知向量a、
b满足a
1，b2,1
，且ab0
，则
11.设双曲线C经过点2,2
2
，且与专
2
X1具有相同渐近线，则
C的方程为
渐近线方程为
12.若等差数列an满足a7
a8a?
0，a7a100,则当n
时an的前n
项和最大.
13.把5件不同产品摆成一排，若产品
A与产品C不相邻，则不同的摆法有
14.设函数f（x）sin（x），A0,
0,若f（x）在区间［-,-］上具有单调性，且
f-1
2
『f，则f（x）的最小正周期为
2
36
三•解答题（共
6题，满分80分）
15.（本小题13分）如图，在ABC中，B-,AB8，点D在BC边上，且
CD2,cosADC
（1）求sinBAD
（2）求BD,AC的长
16.（本小题13分）
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）
投
宦中嫌
主场1
22
11
截1
1$
&
主场2
15
B
12
主场3
n
B
討3
31
7
23
8
彎4
ii
15
主场5
2Q
5
25
17
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率.
（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率.
（3）记X是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明
在这比赛中的命中次数，比较E（X）与x的大小（只需写出结论）
17.（本小题14分）
如图，正方形AMDE的边长为2，B,C分别为AM,MD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.
（1）求证：
AB//FG；
（2）若PA底面ABCDE，且AFPE,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并
求线段PH的长.
18.（本小题13分）
已知函数f（x）xcosxsinx,x[0,,
（1）求证：
f（x）0；
sinx
（2）若ab在（0,—）上恒成立，求a的最大值与b的最小值.
x2
19.（本小题14分）
22
已知椭圆C:
x2y4，
（1）求椭圆C的离心率•
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，求直线AB
22
与圆xy2的位置关系，并证明你的结论•
20.（本小题13分）
对于数对序列P（a1,b1）,（a2,b2）^-,（an,bn），记「（P）印d,
Tk（P）bkmax{Tk1（P）,a1a?
…ak}（2kn），其中max{Tk1（P）,a1a?
…ak}表示T<1（P）和a〔a?
…ak两个数中最大的数,
（1）对于数对序列P（2,5）,P（4,1），求T,（P）,T2（P）的值.
（2）记m为a,b,c,d四个数中最小值，对于由两个数对（a,b）,（c,d）组成的数对序列
P（a,b）,（c,d）和P'（a,b）,（c,d），试分别对ma和md的两种情况比较
T2（P）和T2（P'）的大小.
（3）在由5个数对（11,8）,（5,2）,（16,11）,（11,11）,（4,6）组成的所有数对序列中，写出一个
数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值.（只需写出结论）•
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
「、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C
（2）A（3）B（4）C
（5）D（6）D（7）D（8）B
、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）1
（10）.5
22
（12）8
（14）
（11）—1y2x
312
（13）36
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：
（I）在ADC中，因为COSADC
7，所以sinADCV
所以sinBADsin（ADCB）
sinADCcosBcosADCsinB
4/311753V3
=X—一—X—e
7272M
3*3
14
7
（U）在ABD中，由正弦定理得
ABsinBAD
BD
sinADB
在ABC中，由余弦定理得
222
AC2AB2BC22ABBCcosB
221
8252285-49
2
所以AC7
（16）（D帜据投脸统计数振・在M场比赛中，李明投篮命中率趨过0.6的场次有云场,分别是上场石上城3,丄场5・客场N客场生
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.
（U）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,
事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，—场不超过0.6”。
贝UC=ABUAB，A,B独立。
根据投篮统计数据，P（A）P（B）2.
55
P（C）P（AB）P（AB）
3322
5555
13
25
所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超
过0.6，一场不超过0.6的概率为13.
25
（m）exx.
（17）（共14分）
解：
（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以AB//DE又因为AB平面PDE
所以AB//平面PDE
因为AB平面ABF,且平面ABFD平面PDFFG，
所以AB//FG。
（U）因为PA底面ABCDE所以PAAB，PAAE.
如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（2,1,0）,P（0,0,2）,F（0,1,1）,
BC（1,1,0）.
设平面ABF的法向量为n（x,y,z），贝U
nAB0,x0,
即
nAF0,yz0.
令z1,，则y1。
所以n（0,1,1），设直线BC与平面ABF所成角为a,则
sina
cos
1
2
囚此玄线BC与TiHiABF所成角的大小为?
6
设点H的坐标为（u,v,w）.
因为点H在棱PC上，所以可设PHPC（0yY1）,,
即（u,v,w2）（2,1,2）.。
所以u2,v,w22。
因为n是平面ABF的法向量，所以nAB0，即（0,1,1）（2,,22）0
2422解得-，所以点H的坐标为（—,—,—）.o
3333
所以PHJ4）2
（2）2（4）22
V333
（18）（共13分）
解：
（I）由f（x）xcosxsinx得
f'（x）cosxxsinxcosxxsinx。
因为在区间（0,—）上f'（x）xsinx^O，所以f（x）在区间0,—上单调递
减。
从而f（x）f（O）Oo
（U）当XAO时，“沁Aa”等价于“sinxax»0”“沁Yb”等价于
xx
“sinxbxy0”。
令g（x）sinxcx，贝Ug'（x）cosxc，
当cO时，g（x）AO对任意x（O,）恒成立。
2
当c1时，因为对任意x（O,），g'（x）cosxc^O，所以g（x）在区间
2
O,上单调递减。
从而g（x）Yg（O）O对任意x（O,）恒成立。
22
当0YcY1时，存在唯一的x^（O,孑）使得g'（Xo）COSXocO。
g（x）与g'（x）在区间（0,—）上的情况如下:
2
x
（0,x。
）
X°
（x0,二）
2
g'（x）
—
0
—
g（x）
/
因为g（x）在区间o,xo上是增函数，所以g（x。
）沁g（0）0。
进一步，“g（x）A0对
2
任意x（0,）恒成立”当且仅当g（—）1c0,即0yc
222
2
综上所述，当且仅当c—时，g（x）淖0对任意x（0,—）恒成立；当且仅当c1
2
时，
g（x）Y0对任意x（0,）恒成立。
2
所以，若aYb对任意x（0,—）恒成立，则a最大值为-，b的最小值
x2
为1.
（19）
22
解：
（I）由题意，椭圆C的标准方程为——1
42
所以a24,b22，从而c2a2b22。
因此a2,c.2。
故椭圆C的离心率e2丄2。
a2
（□）直线AB与圆x2y22相切。
证明如下:
设点A,B的坐标分别为（x0,y0），（t,2），其中x0
因为OAOB，
所以OAOB0，即tx02y00
，解得t
2y0
。
当X。
t时，y°
，代入椭圆C的方程，得t
故直线AB的方程为x.2。
圆心0到直线AB的距离d,2
此时直线AB与圆X2y22相切。
当Xot时，直线AB的方程为y2
Xo
yo2（Xt）,
Xo
即（y°2）x（Xot）y2x°ty°0,圆心0到直线AB的距离
2xotyo
（yo2）2（xo
t）2
2
又Xo2yo4,t
纽故
（20）
解:
（I）Ti（P）257
T（（P）1maxT（（P）,241max7,6=8
）T2（P）maxabd,acd
T2（P'）maxcdb,cab.
当m=a时，T2（P'）=maxcdb,cab=cdb
因为cdbcbd，且acdcbd，所以T2（P）当m=d时，T2（P'）maxcdb,cabcab
因为abd所以无论m=a还是m=d，T2（P）（川）数对序列P:
（4,6）,（11,11）,（16,11）,（11,8）,（5,2）的T5（P）值最
小，
T5（P）=52
T1（P）=10,T2（P）=26,T3（P）=42,T4（P）=50,
升级会员 