普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学word版.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学word版一.选择题（共8小题, 求的一项）2021年北京高考数学（理科）试题 每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要21.已知集合A x | x2x 0, B0,1,2，则 APB ()A.0 B.0,1C.0,2D.0,1,22下列函数中，在区间（0,）上为增函数的是（Ay X 1B.y(x 1)2 C.y 2 xD.y log 0.5(x 1)x 13曲线y 2cossin为参数）的对称中心（A.在直线y2x上B.在直线y 2x上C.在直线yD.在直线y x 1上4当 m 7, n3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（

2、 ）A.7 B.42 C.210 D.8405设an是公比为q的等比数列，贝y q 1是an为递增数列的（ ）A充分且不必要条件B 必要且不充分条件C 充分必要条件D.既不充分也不必要条件xy206若x, y满足kxy20且z y x的最小值为-4，则k的值为（)y0A.2 B. 2C.-D.1227.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A 2,0,0B 2,2,0 , C 0,2,0 , D 1,1八,2，若S1 , S2 ,S3分别表示三棱锥ABC在xOy , yOz , zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则(A)SiS2 S3(B) Si S2 且S3 S(C) SiS3 且 S3 S2

3、(D) S2 S3 且S1 S38有语文、低于B同学，且至少有一科成绩比 他们之间没有一个人比另一个成绩好, 的问满足条件的最多有多少学生（A） 2二、填空题数学两学科，成绩评定为“优秀”若A同学每科成绩不B高，则称“ A同学比B同学成绩好”现有若干同学, 且没有任意两个人语文成绩一样， 数学成绩也一样）“合格” “不合格”三种（共（B） 36小题，每小题5分,（C） 430分）(D) 59复数-1 i10.已知向量a、b满足a1，b 2,1，且 a b 0，则11.设双曲线C经过点2,22，且与专2X 1具有相同渐近线，则C的方程为渐近线方程为12.若等差数列 an满足a7a8 a?0， a

4、7 a10 0 ,则当 n时an的前n项和最大.13.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有14.设函数 f(x) sin( x )， A 0,0,若f（x）在区间-,-上具有单调性，且f - 12 f ，则f （x）的最小正周期为23 6三解答题（共6题，满分80分）15.（本小题13分）如图，在ABC中，B -,AB 8，点D在BC边上，且CD 2, cos ADC(1 )求 sin BAD(2)求BD, AC的长16.（本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）投宦中嫌主场12211截11$&主场215B12主场3nB討331723

5、8彎4 ii15主场52Q52517（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6的概率.（2） 从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一 场不超过0.6的概率.（3） 记X是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X为李明在这比赛中的命中次数，比较 E（X）与x的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B,C分别为AM , MD的中点，在五棱锥P ABCDE 中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD, PC分别交于点G, H .（1） 求证：AB / FG ；（2） 若PA 底面A

6、BCDE，且AF PE ,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.18.（本小题13分）已知函数 f（x） xcosx sin x,x 0,（1） 求证：f（x） 0 ；sin x（2） 若a b在（0,）上恒成立，求a的最大值与b的最小值.x 219.（本小题14分）2 2已知椭圆C : x 2y 4，（1） 求椭圆C的离心率（2） 设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y 2上，且OA OB，求直线AB2 2与圆x y 2的位置关系，并证明你的结论 20.（本小题13分）对于数对序列 P（a1,b1）,（a2,b2）-,（an,bn），记（P）印 d,Tk（P） bk ma

7、xTk 1（P）,a1 a?ak（2 k n），其中 maxTk 1（P）, a1 a? ak表示T 1（P）和a a? ak两个数中最大的数,(1)对于数对序列 P(2,5), P(4,1)，求 T,(P),T2(P)的值.(2)记m为a,b,c,d四个数中最小值，对于由两个数对 (a,b),(c,d)组成的数对序列P(a,b),(c,d)和P(a,b),(c,d)，试分别对 m a和m d的两种情况比较T2 (P)和T2 (P)的大小.(3)在由 5 个数对 (11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6) 组成的所有数对序列中， 写出一个数对序列P使T5(P)最小，并

8、写出T5(P)的值.(只需写出结论)2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （ 2）A （ 3）B （ 4）C（5） D （6）D （7）D （8）B、填空题（共6小题，每小题5分，共30 分）(9) 1(10).52 2(12) 8(14)(11) 1 y 2x3 12(13) 36三、解答题（共6小题，共80 分）（15）（共 13 分）解：（I）在 ADC中，因为COS ADC7，所以sin ADC V所以 sin BAD sin( ADC B)sin ADC cosB cos ADC sinB4/3 1 1

9、75 3V3= X 一 X e7 2 7 2 M3* 3147(U)在ABD中，由正弦定理得AB sin BADBDsin ADB在ABC中，由余弦定理得2 2 2AC2 AB2 BC2 2AB BC cosB2 2 182 52 2 8 5 - 492所以AC 7（16）（D帜据投脸统计数振在M场比赛中，李明投篮命中率趨过0.6的场次有云场, 分别是上场石 上城3,丄场5客场N 客场生所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.(U)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6 ”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6

10、 ”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一 场超过0.6，场不超过0.6 ”。贝U C=ABUAB，A,B 独立。根据投篮统计数据，P(A) P(B) 2.5 5P(C) P(AB) P(AB)3 3 2 25 5 5 51325所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为13 .25(m) ex x.(17)(共 14 分)解：(I)在正方形中，因为B是AM的中点，所以AB / DE 又因为AB 平面PDE所以AB /平面PDE因为AB 平面ABF,且平面 ABFD平面PDF FG，所以 AB / FG。(U)因为

11、 PA 底面 ABCDE所以 PA AB，PA AE .如图建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0) , B(1,0,0) , C(2,1,0) , P(0,0,2) ,F(0,1,1),BC (1,1,0).设平面ABF的法向量为n (x,y,z)，贝Un AB 0, x 0,即n AF 0, y z 0.令z 1,，则y 1。所以n (0, 1,1)，设直线BC与平面ABF所成角为a,则sin acos12囚此玄线BC与TiHi ABF所成角的大小为?6设点H的坐标为(u,v,w).因为点H在棱PC上，所以可设PH PC(0y Y1),即(u,v,w 2) (2,1, 2).。所

12、以 u 2 ,v ,w 2 2 。因为n是平面ABF的法向量，所以n AB 0，即(0, 1,1) (2 ,22)024 2 2 解得 -，所以点H的坐标为(, ,).o33 3 3所以 PH J4)2 (2)2 ( 4)2 2V 3 3 3(18)(共 13 分)解：(I)由 f(x) xcosx sinx 得f (x) cosx xsi nx cosx xsin x。因为在区间(0,)上f (x) xsinxO，所以f(x)在区间 0, 上单调递减。从而 f(x) f(O) Oo(U)当XAO时，“沁 Aa ”等价于“ si nx ax0 ”“ 沁 Yb ”等价于x x“ sin x bx

13、 y 0 ”。令 g(x) sinx cx，贝U g (x) cosx c，当c O时，g(x)AO对任意x (O,)恒成立。2当c 1时，因为对任意x (O, )， g(x) cosx cO，所以g(x)在区间2O, 上单调递减。从而 g(x) Yg(O) O对任意x (O,)恒成立。2 2当0YcY1时，存在唯一的x (O,孑)使得g(Xo) COSXo c O。 g(x)与g(x)在区间(0, )上的情况如下:2x(0,x。)X(x0,二)2g(x)0g(x)/因为g(x)在区间o,xo上是增函数，所以g(x。)沁g(0) 0。进一步，“g(x)A0对2任意x (0,)恒成立”当且仅当g

14、() 1 c 0,即0yc2 2 22综上所述，当且仅当c 时，g(x)淖0对任意x (0,)恒成立；当且仅当c 12时，g(x)Y0对任意x (0,)恒成立。2所以，若a Yb对任意x (0,)恒成立，则a最大值为-，b的最小值x 2为1.(19)2 2解：(I)由题意，椭圆C的标准方程为14 2所以 a2 4,b2 2，从而 c2 a2 b2 2。因此 a 2,c .2。故椭圆C的离心率e 2丄2。a 2() 直线AB与圆x2 y2 2相切。证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0, y0)， (t,2)，其中x0因为OA OB，所以 OA OB 0，即 tx0 2y0 0，解得t2 y0。

15、当X。 t时，y，代入椭圆C的方程，得t故直线AB的方程为x .2。圆心0到直线AB的距离d , 2此时直线AB与圆X2 y2 2相切。当Xo t时，直线AB的方程为y 2Xoyo 2(X t),Xo即(y 2)x (Xo t)y 2x ty 0 , 圆心0到直线AB的距离2xo tyo(yo 2)2 (xot)22又 Xo 2yo 4, t纽故(20)解:(I) Ti(P) 2 5 7T(P) 1 max T(P),2 4 1 max 7,6 =8)T2(P) max a b d,a c dT2( P) max cd b,c a b .当 m=a 时，T2(P) = max c d b,c a b =c d b因为 c d b c b d，且 a c d c b d，所以 T2(P) T2(P)当 m=d 时，T2(P) max c d b,c a b cab因为 a b d c a b，且 a c d c a b所以 T2(P) T2(P)。所以无论 m=a还是m=d，T2（P） T2（P）都成立。(川)数对序列 P: (4,6), (11,11) , (16,11), (11,8), (5,2 )的 T5(P)值最小，T5(P)=52T1(P)=10, T2(P)=26, T3(P)=42, T4(P)=50,