解一元二次方程因式分解法导学案新版新人教版.docx

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解一元二次方程因式分解法导学案新版新人教版

解一元二次方程——因式分解法导学案（新版新人教版）

　　第5课时解一元二次方程-因式分解法

　　一、学习目标1．会用因式分解法解一元二次方程；

　　．会用换元法解一元二次方程；

　　．灵活选用简便的方法解一元二次方程.

　　二、知识回顾1．分解因式的常用方法有哪些？

　　提取公因式法：

　　a+b+c=

　　公式法：

　　十字相乘法：

三、新知讲解1．因式分解法

　　把一个多项式分解成

　　几个整式乘积

　　的形式叫做分解因式.

　　当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法称为

　　因式分解法

　　．因式分解法解一元二次方程的步骤：

　　①把方程的右边化为0；

　　②用提公因式法、公式法或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；

　　③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；

　　④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

　　．因式分解法的条件、理论依据

　　因式分解法解一元二次方程的条件是：

方程右边等于0，而左边易于分解；

　　理论依据是：

如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.

　　四、典例探究

　　．用因式分解法解一元二次方程

　　【例1】用因式分解法解方程：

　　2=；42=2.

　　总结：

　　用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论.

　　因式分解法解一元二次方程的步骤：

　　把方程的右边化为0；

　　用提公因式法、公式法或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；

　　令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；

　　解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

　　练1用因式分解法解方程：

x2﹣6x+9=2

　　．用换元法解一元二次方程

　　【例2】解方程2﹣5+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．利用这种方法求方程2﹣4+3=0的解．

　　总结：

　　换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.

　　在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.

　　解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．

　　练2若实数a、b满足﹣8=0，则a+b=_______．

　　练3解方程：

2-5+4=0.

　　．灵活选用方法解一元二次方程

　　【例3】选择适当方法解下列方程：

　　x2﹣5x+1=0；

　　=x；

　　x2﹣2x﹣5=0；

　　=2．

　　总结：

解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.

　　若常数项为0，即形如ax2+bx=0的形式，应选用因式分解法.

　　若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的.因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法.

　　练4选择合适的方法解下列方程.

　　x2﹣5x﹣6=0；

　　x2﹣4x﹣1=0；

　　x=3﹣3x；

　　x2﹣2x+1=0．

　　五、课后小测一、选择题

　　．方程=0的根是

　　A.x1=-16，x2=8B.x1=16，x2=-8c.x1=16，x2=8D.x1=-16，x2=-8

　　方程5x=3的解为

　　A.B.c.D.

　　方程x2﹣2x=3可以化简为

　　A．=0B．=0

　　c．2=2D．2+4=0

　　二、填空题

　　．解一元二次方程x2+2x﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程

　　．

　　．方程x=2的解是　．

　　．已知=6，则x2+y2的值为

　　．

　　三、解答题

　　．解下列方程：

　　x2﹣2x+1=0

　　x2﹣2x﹣2=0

　　+2=0．

　　．解下列方程：

　　x2﹣4x﹣3=0

　　=3

　　2﹣﹣1=0．

　　．为了解方程2﹣5+4=0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，然后设x2﹣1=y，则2=y2，那么原方程可化为y2﹣+4=0，解得y1=1，y2=4．

　　当y=1时，x2﹣1=1，x2=2，x=±．

　　当y=4时，x2﹣1=4，x2=5，x±．

　　故原方程的解为x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．

　　请借鉴上面的方法解方程2﹣5+6=0．

　　0．已知=12，求x2+y2的值．典例探究答案：

　　【例1】【解析】移项，提取公因式；移项并利用平方差公式分解因式求解.

　　解：

22=

　　移项，得22－=0，

　　即：

22+=0，

　　因式分解，得[2+1]=0，

　　整理，得=0，

　　解得x1=12，x2=14；

　　2=2

　　移项，得42-2=0

　　因式分解，得[2+][2-]=0

　　整理，得=0

　　解得y1=－13，y2=－7.

　　练1．【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；

　　解：

x2﹣6x+9=2，

　　﹣2=0，

　　因式分解得：

=0，

　　整理得：

=0，

　　解得：

x1=2，x2=.

　　点评：

此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．

　　【例2】【解析】先设2x+5=y，则方程即可变形为y2﹣4y+3=0，解方程即可求得y的值，进一步可求出x的值．

　　解：

设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣4y+3=0，

　　所以=0

　　解得y1=1，y2=3．

　　当y=1时，即2x+5=1，

　　解得x=﹣2；

　　当y=3时，即2x+5=3，

　　解得x=﹣1，

　　所以原方程的解为：

x1=﹣2，x2=﹣1．

　　点评：

本题运用换元法解一元二次方程．

　　练2．【解析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x的值．

　　解：

设a+b=x，则由原方程，得

　　x﹣8=0，

　　整理，得

　　=0，

　　解得x1=﹣，x2=1．

　　则a+b的值是﹣或1．

　　故答案是：

﹣或1．

　　点评：

本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

　　练3【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y的值．

　　解：

设x2-3=y，则原方程可化为y2-5+4=0，即：

y2++4=0，

　　因式分解得：

=0,

　　解得y1=-1，y2=-4.

　　当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得.

　　当y2=-4时，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.

　　综上，.

　　【例3】【解析】利用配方法得到2=，然后根据直接开平方法求解；

　　先变形得到32﹣x=0，然后利用因式分解法解方程；

　　先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；

　　先变形得到2﹣2=0，然后利用因式分解法解方程．

　　解：

x2﹣5x=﹣1，

　　x2﹣5x+2=﹣1+2，

　　=，

　　x﹣=±，

　　所以x1=，x2=；

　　﹣x=0，

　　=0，

　　所以x1=2，x2=3；

　　△=2﹣4×2×=48

　　x===，

　　所以x1=，x2=；

　　﹣2=0，

　　=0，

　　y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，

　　所以y1=﹣，y2=．

　　点评：

本题考查了一元二次方程的四种常见解法．

　　练4．【解析】根据因式分解法，可得方程的解；

　　根据公式法，可得方程的解；

　　根据因式分解法，可得方程的解；

　　根据公式法，可得方程的解．

　　解：

因式分解，得

　　=0，解得x1=6，x2=﹣1；

　　a=3，b=﹣4，c=﹣1，x1=，x2=；

　　方程化简得x2+2x﹣3=0，

　　因式分解，得=0，

　　解得x1=1，x2=﹣3；

　　a=1，b=﹣2，c=1，x1=1+，x2=﹣1+．

　　点评：

本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键．

　　课后小测答案：

　　一、选择题

　　．【解析】先移项，再分解因式，即可得出选项．

　　解：

x2﹣2x=3，

　　x2﹣2x﹣3=0，

　　=0，

　　故选A．

　　点评：

本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大．

　　【解析】先移项，再分解因式，即可求得5x=3的解.

　　解：

5x=3，

　　移项，得5x-3=0，

　　分解因式，得=0，

　　解得

　　故选D.

　　点评：

注意本题不能两边约去，这样会失去一个解.

　　【解析】先移项，再利用十字相乘法分解因式；或者方程两边同时加1，左边配成完全平方式.

　　解：

方法一：

x2-2x=3,

　　移项，得x2-2x-3=0,

　　因式分解，得=0,

　　方法二：

x2-2x+1=3+1,即：

2=4,

　　移项，得2-4=0.

　　故选A.

　　点评：

本题考查了解一元二次方程——因式分解法.

　　二、填空题

　　．【解析】把方程左边分解，则原方程可化为x﹣1=0或x+3=0．

　　解：

=0，

　　x﹣1=0或x+3=0．

　　故答案为x﹣1=0或x+3=0．

　　点评：

本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：

先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．

　　．【解析】移项后分解因式得到=0，推出方程x+1=0，x﹣2=0，求出方程的解即可

　　解：

x=2，

　　移项得：

x﹣2=0，

　　即=0，

　　∴x+1=0，x﹣2=0，

　　解方程得：

x1=2，x2=﹣1，

　　故答案为：

x1=2，x2=﹣1．

　　点评：

本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

　　．【解析】令x2+y2=t，将原方程化为=6，解出t，再求得x即可．

　　解：

令x2+y2=t，将原方程化为=6，

　　即=0，

　　解得t1=1，t2=﹣4，

　　∵t≥0，∴t=1，

　　∴x2+y2=1，

　　故答案为1．

　　点评：

本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2．

　　三、解答题

　　．【解析】先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；

　　移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

　　先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

　　解：

x2﹣2x+1=0，

　　因式分解，得2=0，

　　解得x﹣1=0，即x1=x2=1；

　　x2﹣2x﹣2=0，

　　移项，得x2﹣2x=2，

　　配方，得x2﹣2x+1=2+1，

　　即：

2=3，

　　解得x﹣1=，即x1=1+，x2=1﹣；

　　+2=0，

　　因式分解，得=0，

　　即x﹣3=0，x﹣3+2=0，解得x1=3，x2=﹣1．

　　点评：

本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．

　　．【解析】方程利用配方法求出解即可；

　　原式利用因式分解法求出解即可；

　　将方程变形后，设y=x﹣，得到关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，可列出关于x的一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解．

　　解：

方程变形得：

x2﹣4x=3，

　　配方得：

x2﹣4x+4=7，即2=7，

　　开方得：

x﹣2=±，

　　解得：

x1=2+，x2=2﹣；

　　方程变形得：

2﹣3=0，

　　分解因式得：

=0，

　　解得：

x1=2，x2=5；

　　2﹣﹣1=0，

　　变形得：

22﹣﹣1=0，

　　设y=x﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，

　　因式分解得：

=0，

　　解得：

y=﹣或y=1，

　　当y=﹣时，x﹣=﹣，解得：

x=0；

　　当y=1时，x﹣=1，解得：

x=，

　　∴x1=，x2=0．

　　点评：

此题考查了解一元二次方程——因式分解法、配方法、换元法等，熟练掌握解一元二次的方法是解本题的关键．

　　．【解析】设x2﹣x=y，原方程可化为y2﹣+6=0，解得y的值，再代入求得x即可．

　　解：

设x2﹣x=y，则2=y2，那么原方程可化为y2﹣+6=0，解得y1=2，y2=3．

　　当y=2时，x2﹣x=2，x1=2，x2=﹣1．

　　当y=3时，x2﹣x=3，x3=，x4=．

　　故原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．

　　点评：

本题考查了用换元法解一元二次方程．找出整体是解题的关键．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

　　0．【解析】先设z=x2+y2，则原方程变形为z2﹣2z﹣15=0，运用因式分解法解得z1=5，z2=﹣3，即可求得x2+y2的值．

　　解：

设z=x2+y2，

　　原方程变形为=12，

　　整理，得z2﹣2z﹣15=0，

　　因式分解，得=0，

　　解得z1=5，z2=﹣3，

　　∵x2+y2≥0，

　　∴x2+y2的值为5．

　　点评：

本题考查了换元法解一元二次方程．