初二数学.docx
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初二数学
八年级上学期期中数学试卷
一、选择题：
每小题3分，共30分
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
B．等角的余角相等
C．钝角三角形一定有一个角大于90°
D．同位角相等
3．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a=3，b=3，c=4B．a：
b：
c=2：
3：
4
C．∠B=50°，∠C=80°D．∠A：
∠B：
∠C=1：
1：
2
4．关于x的不等式3x﹣2a≤﹣2的解集如图所示，则a的值为（ ）
A．1B．
C．﹣1D．
5．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=50°，∠2=40°B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45°D．∠1=40°，∠2=40°
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=EC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D
7．已知a＞b＞0，那么下列不等式组中无解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4
，CD=2
，点P在四边形ABCD的边上，若点P到BD的距离为3，则点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．给出以下五种说法：
①若a，b，c为实数，且a＞b，则ac2＞bc2；
②已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则该直角三角形的斜边上的中线长为6.5；
③命题“三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题；
④如果一个等腰三角形的两边长为4cm和9cm，那么它的周长是17cm或22cm；
⑤如果关于x的不等式﹣k﹣x+6＞0的正整数解为1，2，3，那么k应取值为2≤k＜3．
其中说法正确的是（ ）
A．①②⑤B．③⑤C．②③④D．①②④⑤
10．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．70B．74C．144D．148
二、填空题：
本题有6个小题，每小题4分，共24分
11．不等式（a﹣b）x＜a﹣b的解集是x＞1，则a、b的大小关系是：
a b．
12．已知三角形三边长分别是1、x、2，且x为整数，那么x的值是 ．
13．如图所示，∠C=∠D=90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是 ．
14．若关于x的不等式组
有解，则写出符合条件的一个a的值 ．
15．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，若线段EB=4，则线段EF= ．
16．已知：
如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题：
本题共有7个小题，共66分
17．
（1）解不等式：
3x﹣1＜2x+4
（2）不等式组
并将其解集在数轴上表示出来．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AP，若AC=4，BC=8时，试求BP的长．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．
（1）求证：
∠E=∠AFE；
（2）若AF=3，BF=5，求CE的长并直接写出△ABC周长的取值范围．
20．如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？
若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
21．在△ABC中，AC=AB=5，一边上高为3，求底边BC的长（注意：
请画出图形）．
22．某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：
A
B
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
400
280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送2015～2016学年度七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写下表：
车辆数（辆）
载客量
租金（元）
A
x
45x
400x
B
5﹣x
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在
（2）的条件下，若2015～2016学年度七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
23．如图1，等边△ABC边长为6，AD是△ABC的中线，P为线段AD（不包括端点A、D）上一动点，以CP为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE，连结BE．
（1）点P在运动过程中，线段BE与AP始终相等吗？
说说你的理由；
（2）若延长BE至F，使得CF=CE=5，如图2，问：
①求出此时AP的长；
②当点P在线段AD的延长线上时，判断EF的长是否为定值，若是请直接写出EF的长；若不是请简单说明理由．
浙江省杭州市2015～2016学年度八年级上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：
每小题3分，共30分
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
B．等角的余角相等
C．钝角三角形一定有一个角大于90°
D．同位角相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据等边三角形的判定方法对A进行判断；根据余角的定义对B进行判断；根据钝角三角形的定义对C进行判断；根据平行线的性质对D进行判断．
【解答】解：
有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形是真命题；等角的余角相等是真命题；钝角三角形一定有一个角大于90°是真命题；两直线平行，同位角相等，则同位角相等是假命题．
故选D．
【点评】本题考查了命题：
判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
3．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a=3，b=3，c=4B．a：
b：
c=2：
3：
4
C．∠B=50°，∠C=80°D．∠A：
∠B：
∠C=1：
1：
2
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【解答】解：
A、∵a=3，b=3，c=4，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a：
b：
c=2：
3：
4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B=50°，∠C=80°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：
∠B：
∠C=1：
1：
2，
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选B．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定．此题比较简单，注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键．
4．关于x的不等式3x﹣2a≤﹣2的解集如图所示，则a的值为（ ）
A．1B．
C．﹣1D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先用a表示出不等式的解集，然后解出a．
【解答】解：
根据图示知，原不等式的解集是：
x≤﹣1；
又∵3x﹣2a≤﹣2，
∴x≤
，
∴
=﹣1，
解得，a=﹣
；
故选D．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示出来的方法：
“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
5．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=50°，∠2=40°B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45°D．∠1=40°，∠2=40°
【考点】命题与定理．
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：
A、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：
C．
【点评】理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=EC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：
A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：
C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．已知a＞b＞0，那么下列不等式组中无解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】不等式的解集．
【分析】利用求不等式解集的方法判定，
【解答】解：
A、x的解集为﹣b＜x＜a，故A有解；
B、x的解集为x＞﹣b，故B有解；
C、无解，
D、x的解集为﹣a＜x＜b．故D有解；
故选：
C．
【点评】此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4
，CD=2
，点P在四边形ABCD的边上，若点P到BD的距离为3，则点P的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】勾股定理；点到直线的距离．
【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与3比较得出答案．
【解答】解：
过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，
∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4
，CD=2
，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°，
∵sin∠ABD=
，
∴AE=AB•sin∠ABD=4
•sin45°=4＞3，
CF=
CD═2＜3，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为3的点2个，
故选A．
【点评】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．
9．给出以下五种说法：
①若a，b，c为实数，且a＞b，则ac2＞bc2；
②已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则该直角三角形的斜边上的中线长为6.5；
③命题“三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题；
④如果一个等腰三角形的两边长为4cm和9cm，那么它的周长是17cm或22cm；
⑤如果关于x的不等式﹣k﹣x+6＞0的正整数解为1，2，3，那么k应取值为2≤k＜3．
其中说法正确的是（ ）
A．①②⑤B．③⑤C．②③④D．①②④⑤
【考点】命题与定理．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：
①若a，b，c为实数，且a＞b，则ac2≥bc2，故原命题错误；
②已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则该直角三角形的斜边上的中线长为6.5或6，故原命题错误；
③命题“三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等”是真命题，正确；
④如果一个等腰三角形的两边长为4cm和9cm，那么它的周长是22cm，故原命题错误；
⑤如果关于x的不等式﹣k﹣x+6＞0的正整数解为1，2，3，那么k应取值为2≤k＜3，正确．
其中说法正确的是③⑤，
故选：
B．
【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．70B．74C．144D．148
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理；正方形的性质．
【分析】过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，求出∠AMD=∠DNC=90°，AD=DC，∠1=∠3，根据AAS推出△AMD≌△CND，根据全等得出AM=CN，求出AM=CN=5，DN=7，在Rt△DNC中，由勾股定理求出DC2即可．
【解答】解：
如图：
过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，
则∠AMD=∠DNC=90°，
∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△AMD和△CND中
∴△AMD≌△CND，
∴AM=CN，
∵a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，
∴AM=CN=5，DN=7，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：
DC2=DN2+CN2=72+52=74，
即正方形ABCD的面积为74，
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△AMD≌△CND，难度适中．
二、填空题：
本题有6个小题，每小题4分，共24分
11．不等式（a﹣b）x＜a﹣b的解集是x＞1，则a、b的大小关系是：
a ＜ b．
【考点】不等式的性质．
【分析】本题需先根据不等式不等式（a﹣b）x＜a﹣b的解集是x＞1，的解集是x＜1，得出a﹣b的关系，即可求出答案．
【解答】解：
∵不等式（a﹣b）x＜a﹣b的解集是x＞1，
∴a﹣b＜0，
∴a＜b，
则a与b的大小关系是a＜b．
故答案为：
＜．
【点评】本题主要考查了不等式的解集，在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向改变．
12．已知三角形三边长分别是1、x、2，且x为整数，那么x的值是 2 ．
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系：
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解即可．
【解答】解：
∵三角形的三边长分别为1，x，2，
∴第三边的取值范围为：
1＜x＜3
∵x为整数，
∴x=2．
故答案为：
2．
【点评】考查了三角形的三边关系，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可，确定x的值．
13．如图所示，∠C=∠D=90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是 AC=AD ．
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】开放型．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC=BD．
【解答】解：
条件是AC=AD，
∵∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：
AC=AD．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：
直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
14．若关于x的不等式组
有解，则写出符合条件的一个a的值 6 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】开放型．
【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组有解确定出a的值即可．
【解答】解：
不等式整理得：
，
由不等式组有解，得到a＞5，
则满足题意a的值为6．
故答案为：
6．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，若线段EB=4，则线段EF= 2 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】延长EF交AC于点Q，利用EF∥CD，且CE平分∠ACD，可得∠QCE=∠QEC，所以QE=CE，结合等腰三角形的性质可得QE=2EF，且QC=BE，可得出结论．
【解答】解：
如图，
延长EF交AC于点Q，
∵EF⊥AD，AD⊥BC
∴EQ∥BC
∴∠QEC=∠ECB
∵CE平分∠ACB
∴∠ECB=QCE
∴∠QEC=∠QCE
∴QE=QC
∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形
∴△AQE为等腰三角形
∴AQ=AE，QE=2EF，
∴CQ=BE=QE，
∴EF=
BE=2．
故答案为：
2．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质和判定及平行线的性质的应用，解题的关键是作出辅助线，找到BE和CQ的数量关系，进一步寻找BE和EF的数量关系．
16．已知：
如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有 ①②④ （填序号）．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即AD=AE=EC，根据AD=AE=EC可求得④正确．
【解答】解：
①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA，
∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
∴②正确；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC，
∴EF≠EC，
∴③错误；
④过E作EG⊥BC于G点，
∵E是BD上的点，∴EF=EG，
在RT△BEG和RT△BEF中，
，
∴RT△BEG≌RT△BEF（HL），
∴BG=BF，
在RT△CEG和RT△AFE中，
，
∴RT△CEG≌RT△AFE（HL），
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF，
∴④正确．
故答案为：
①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
三、解答题：
本题共有7个小题，共66分
17．
（1）解不等式：
3x﹣1＜2x+4
（2）不等式组
并将其解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【分析】
（1）移项、合并同类项可得解集；
（2）分别求出每个不等式解集，找到其公共部分即可的不等式组解集，并表示在数轴上．
【解答】解：
（1）移项，得：
3x﹣2x＜4+1，
合并同类项，得：
x＜5；
（2）解不等式组：
，
解不等式①，得：
x＞﹣6，
解不等式②，得：
x＜6，
∴不等式组的解集为：
﹣6＜x＜6，
表示在数轴上如下所示：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式、不等式组的能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AP，若AC=4，BC=8时，试求BP的长．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】应用题；作图题．
【分析】
（1）作AB的垂直平分线交BC于P点，则PA=PB；
（2）设BP=x，则AP=x，CP=BC﹣PB=8﹣x，然后在Rt△ACP中根据勾股定理得到（8﹣x）2+42=x2，再解方程即可．
【解答】解：
（1）如图，点P为所作；
（2）设BP=x，则AP=x，CP=BC﹣PB=8﹣x，
在Rt△ACP中，∵PC2+AC2=AP2，
∴（8﹣x）2+42=x2，解得x=5，
即BP的长为5．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．
（1）求证：
∠E=∠AFE；
（2）若AF=3，BF=5，求CE的长并直接写出△ABC周长的取值范围．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】
（1）根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，从而得出∠D=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠
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