分布列概念.docx
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分布列概念
1.分布列定义：
设离散型随机变量所有可能取得的值为xi,x2,…3X…x若取每一个值xi（i=1,2,,-n）
的概率为P（xi）Pi，则称表
X1
X2
Xi
Xn
P
P1
P2
Pi
Pn
为随机变量的概率分布，简称的分布列离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
（1）Pi>0,i=1,2…，n;
（2）Pi+P2+n+Pn=1
要点四、两类特殊的分布列
1.两点分布
随机变量X的分布列是
E
0
1
P
1P
P
像上面这样的分布列称为两点分布列.
要点诠释：
（1）若随机变量X的分布列为两点分布，则称X服从两点分布，而称P（X=1）为成功率.
（2）两点分布又称为0-1分布或伯努利分布
（3）两点分布列的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生
婴儿的性别；
投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究
2.超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则则事件{X=k}
nN,MN,n,M,NN•
称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布
X
0
1
?
?
?
m
P
C0Cn0CMCNM
?
?
?
?
?
?
qmqnmCMCNM
CnJN
CN
要点一、条件概率的概念
1.定义
设A、B为两个事件，且P（A）0，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概
率叫做条件概率。
用符号P（B|A）表示。
P（B|A）读作：
A发生的条件下B发生的概率。
要点诠释
在条件概率的定义中，事件A在事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加
条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的.而这里所说的条
件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率.
2.P（A|B）、P（AB）、P（B）的区别
P（A|B）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P（AB）是事件A与事件B同时发生的概率，无附加条件。
P（B）是事件B发生的概率，无附加条件.
它们的联系是：
P（A|B）P（AB）.
P（B）
要点诠释
一般说来，对于概率P（A|B）与概率P（A），它们都以基本事件空间Q为总样本，但它们取概率的前提是不相同的。
概率P（A）是指在整个基本事件空间Q的条件下事件A发生的可能性大小，而条件概率P（A|B）是指在事件B发生的条件下，事件A发生的可能性大小。
例如，盒中球的个数如下表。
从中任取一球，记A='取得蓝球”B='取得玻璃球”。
基本
事件空间Q包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故P（A）11。
16
玻璃
木质
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
16
如果已知取得玻璃球的条件下取得蓝球的概率就是事件B发生的条件下事件A发生的条
件概率，那么在事件B发生的条件下可能取得的样本点总数应为玻璃球的总数”即把样本空间压缩到玻璃球全体。
而在事件B发生的条件下事件A包含的样本点数为蓝玻璃球数，
42
故P（A|B）
63
要点二、条件概率的公式
1•计算事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，常有以下两种方式:
1利用定义计算.
先分别计算概率P（AB）及P（B）,然后借助于条件概率公式P（A|B）需求解.
2利用缩小样本空间的观点计算.
在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B,原来的事件A缩小为事件AB，
典概型中的条件概率求解.
要点诠释
概率P（B|A）与P（AB）的联系与区别：
联系：
事件A，B都发生了。
区别：
1在P（B|A）中，事件A,B发生有时间上的差异，事件A先发生事件B后发生；在P（AB）中，事件A，B同时发生；
2基本事件空间不同在P（B|A）中，事件A成为基本事件空间；在P（AB）中，基本事件空
间仍为原基本事件空间。
2•条件概率公式的变形.
公式P（A|B）P（AB）揭示了P（B）、P（A|B）、P（AB）的关系，常常用于知二求P（B）
一，即要熟练应用它的变形公式如，若P（B）>0,贝UP（AB）=P（B）P（A|B），该式
称为概率的乘法公式.
要点诠释
条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质•如：
1任何事件的条件概率取值在0到1之间；
2必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0;
3条件概率也有加法公式：
P（BUC|A）=P（B|A）+P（C|A）,
其中B和C是两个互斥事件.
要点三、相互独立事件
1.定义：
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，即P（B|A）P（B）,
这样的两个事件叫做相互独立事件。
若A与B是相互独立事件，则A与B,A与B,A与B也相互独立。
2.相互独立事件同时发生的概率公式：
对于事件A和事件B，用AB表示事件A、B同时发生。
（1）若A与B是相互独立事件，则P（AB）P（A）P（B）；
（2）若事件A,,A2丄,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
即:
P（AA2LAn）P（A）P（A2）LP（An）。
要点诠释
（1）P（AB）=P（A）P（B）使用的前提是A、B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积.
（2）两个事件A、B相互独立事件的充要条件是P（AB）P（A）P（B）。
3.相互独立事件与互斥事件的比较
互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一
个事件发生的概率没有影响。
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。
相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发
生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的。
4.几种事件的概率公式的比较
已知两个事件A,B，它们发生的概率为P（A）,P（B）,将A,B中至少有一个发生记为事
件A+B,都发生记为事件AB,都不发生记为事件AB，恰有一个发生记为事件ABAB,至多有一个发生记为事件ABABAB，则它们的概率间的关系如下表所示：
概率
A,B互斥
A,B相互独立
P（A+B）
P（A）+P（B）
1P（A）P（B）
P（AB）
0
P（A）P（B）
P（AB）
1-[P（A）+P（B）]
P（A）P（B）
P（ABAB）
P（A）+P（B）
P（A）P（B）P（A）P（B）
P（ABABAB）
1
1-P（A）P（B）
要点二、独立重复试验的概率公式
1.定义
如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中，事件A恰好发
生k次的概率为：
Pn（k）C；kpk（1p）nk（k=0,1,2，…，n）.
令k0得，在n次独立重复试验中，事件A没．有．发．生．的．概．率．为．
00nn
Pn（0）Cn0p0（1p）n（1p）n
令kn得，在n次独立重复试验中，事件A全.部.发.生.的.概.率.为.Pn（n）Cnnpn（1p）0pn。
要点诠释：
1.在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在
n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n,p,k的意义，才能正确地
运用公式.
2.独立重复试验是相互独立事件的特例,就像对立事件是互斥事件的特例一样,只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更方便.
要点三、n次独立重复试验常见实例：
1.反复抛掷一枚均匀硬币
2.已知产品率的抽样
3.有放回的抽样
4.射手射击目标命中率已知的若干次射击
要点诠释：
抽样问题中的独立重复试验模型：
1从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；
2从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，只能用等可能事件计算；
3从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小,相当于是独立事件,所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。
要点四、离散型随机变量的二项分布
1.定义：
在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量•如果在一次试验中事件A发生的概率是p，则此事
件不发生的概率为q1p，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是
kknk
Pn（k）Pn（k）Cnkpkqnk,（k0,1,2,...,n）•
;0
1
k
n
P
、0n
>CnPq
C11r
CnPq
1
小kk「
Cnpq
k
cnn
CnpC
由于表中第二行恰好是二项展开式
（qp）nc0p°qnClp1qn1C：
pkqnkC：
pnq0中各对应项的值,
所以称这样的随机变量服从参数为n,p的二项分布，记作〜B（n,p）•
要点诠释：
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：
其一是独立性。
即每次试验的结果是相互独立的；
其二是重复性。
即试验独立重复地进行了n次；
其三是试验的结果的独特性。
即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。
2•如何求有关的二项分布
（1）分清楚在n次独立重复试验中，共进行了多少次重复试验，即先确定n的值，然后确定在一次试验中某事件A发生的概率是多少，即确定p的值，最后再确定某事件A恰好发生了多少次，即确定k的值；
（2）准确算出每一种情况下，某事件A发生的概率；
（3）用表格形式列出随机变量的分布列。
要点一、离散型随机变量的期望
1.定义：
一般地，若离散型随机变量的概率分布为
X
X2
Xi
P
p
1p
2…
p
i…
则称EX1p1X2p2…XnPn…为的均值或数学期望，简称期望.
要点诠释：
（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.
（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令口p2…pn，则有p1
11
P2…pn-,E（X1X2…xn）—,所以的数学期望又称为平均数、均
nn
值。
（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.
2.性质:
①E（
）
EE;
②若
a
b（a、b是常数），
是随机变量，则也是随机变量，有
E（ab）
aE
b；
E（a
b）
aEb的推导过程如下：
的分布列为
Xi
X2
Xi
axib
ax2b
axib
P
R
P
于是E（axib）p（ax?
b）p2…（axib）pi…
=a（xiPix2p2…xp…）b（pip2…pi…）=aEb
E（ab）aEb。
要点二：
离散型随机变量的方差与标准差
1•一组数据的方差的概念：
已知一组数据Xi,X2，…，Xn,它们的平均值为x，那么各数据与X的差的平方的平均数
S2-[（xix）2+（x2x）2+…+（xnx）2]叫做这组数据的方差。
n
2•离散型随机变量的方差：
般地，若离散型随机变量的概率分布为
Xi
X2
Xi
P
Pi
P2
Pi
则称D=（XiE）2Pi+（X2E）2P2+…+（XnE）2Pi+…称为随机变量的方差，式中的E是随机变量的期望.
D的算术平方根■■D叫做随机变量的标准差，记作
要点诠释：
⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量E的特征数，它们都反映了随机变量取值的
稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。
3.期望和方差的关系：
DE
（2）（E）2
4.方差的性质：
若ab（a、b是常数），是随机变量，则也是随机变量，
DD（ab）a2D；
要点三：
常见分布的期望与方差
1、二点分布：
若离散型随机变量服从参数为p的二点分布，则
期望Ep
方差Dp（1p）.
证明：
•••P（0）q,P
（1）p,0p1,pq1
二E0q1pp
D（0p）2q（1p）2pp（1p）.
2、二项分布：
若离散型随机变量服从参数为n,p的二项分布，即〜B（n,P）,则
期望EnP
方差Dnp（1-p）
期望公式证明：
kknkkknk
-P（k）Cnp（1p）Cnpq,
00n11n1
Cnpq1CnPq
3、几何分布：
期望E
22n2kknknn0
2
Cnpq...kCnpq...nCnpq,
验证。
4、超几何分布:
若离散型随机变量服从参数为N,M,n的超几何分布，则
期望E（）现
N
要点四：
离散型随机变量的期望与方差的求法及应用
1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤:
1理解的意义，写出可能取的全部值;
2求取各个值的概率，写出分布列;
X1
X2
X
P
P1
P2
Pi
3根据分布列，由期望、方差的定义求出E、D、：
EXi®X2P2LXnPnL
222
DXiEPiX2EP2LXnEPnL
注意：
常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可.
2•离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用
1离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
2随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
方
差越大数据波动越大。
3对于两个随机变量1和2，当需要了解他们的平均水平时，可比较E1和E2的大小。
4E1和E2相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较D1和
D2，方差值大时，则表明E比较离散，反之，则表明E比较集中•品种的优劣、仪器的
好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关.
【典型例题】
正态分布
编稿：
赵雷审稿：
李霞
【学习目标】
1.了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
2.了解正态曲线与正态分布的性质。
【要点梳理】
要点诠释：
要点一、概率密度曲线与概率密度函数
1•概念：
对于连续型随机变量X,位于X轴上方，X落在任一区间（a,b］内的概率等于它与X
轴、直线xa与直线Xb所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做X的概率密度曲线，以其作为图象的函数f（x）叫做X的概率密度函数。
1概率密度函数所取的每个值均是非负的。
2
夹于概率密度的曲线与x轴之间的平面图形”勺面积为1
图形”的面积。
要点二、正态分布
1.正态变量的概率密度函数
（0,
2.正态分布
（1）定义
（2）正态分布的期望与方差
要点诠释:
去估计。
是
标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。
（2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用
结果之和，它就服从或近似服从正态分布.
在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布•例如长度测量误差;
某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗
长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、
平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布.
要点三、正态曲线及其性质：
1.正态曲线
参数（0,
），则称函数f（X）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
fl
2•正态曲线的性质:
1曲线位于X轴上方，与X轴不相交；
2曲线是单峰的，它关于直线X对称;
1
3
曲线在x时达到峰值2
时，以x轴为渐近线，向它无限靠近
5
曲线与X轴之间的面积为1；决定曲线的位置和对称性；
平移。
越大，曲线越矮胖”表示总体的分布越分散。
如下图所示。
/
k
1J1
-3-2-1
P123T
要点诠释：
性质①说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x轴）•性质②并且说明了
函数具有对称性；性质③说明了函数在x=时取最值；性质⑦说明越大，总体分布越分散，越小，总体分布越集中.
要点四、求正态分布在给定区间上的概率
1.随机变量取值的概率与面积的关系
若随机变量E服从正态分布N（,2），那么对于任意实数a、b（avb），当随机变量E在区间（a,b］上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x=a,x=b以及x轴所围成的图形
的面积相等•如图
（1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a,b］上取值的概率.
1
y
yd
/■1
K
y:
|
/K
A
o\
a1bxO\
⑴
a\xO\
（2）
「o：
i
（3）
一般地，当随机变量在区间（一a）上取值时，其取值的概率是正态曲线在x=a左
侧以及x轴围成图形的面积，如图
（2）•随机变量在（a,+R）上取值的概率是正态曲线在x=a右侧以及x轴围成图形的面积，如图（3）•
根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解.
2、正态分布在三个特殊区间的概率值：
上述结果可用下图表示:
要点诠释：
若随机变量X服从正态分布N（,2），则X落在（3,3）内的概率约为
0.997，落在（3,3）之外的概率约为0.003，—般称后者为小概率事件，并认为在
一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。
一般的，服从于正态分布N（,2）的随机变量X通常只取（3,3）之间的值,
简称为3原则。
3、求正态分布在给定区间上的概率方法
（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与x轴之间面积为1。
①正态曲线关于直线x对称，与x对称的区间上的概率相等。
例如P（X）P（X）；
②P（Xa）1P（Xa）；
（2）利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率:
【典型例题】
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