专升本高等数学复习提纲.docx

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专升本高等数学复习提纲

高等数学复习提纲

题型一：

函数的定义域

1.分式分母不为0；

2.开偶次方式子大于等于0；

3.对数式真数大于0；

4.y=arcsinx（arccosx）中x大于0（自身定义）。

题型二：

函数的性质

1.单调性（导数求解三步曲：

定义域求导解不等式求交集）；

2.奇偶性；（奇函数关于圆点对称，偶函数关于y轴对称）

3有界性（看y的范围是否在一个确定的范围内）

4.周期性（几个结论，自己补充）

（必考）题型三：

极限的求法

1.直接带入法（将xx0当成x=x0带入f（x）中，有意义即分母不为0时为极限值；

2.公式法：

①

②；

3.：

：

找分式分母分子的最高次项及其系数，凡低于最高次项的项可忽略不计，即

4.无穷小量（极限为0）的性质：

无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量（sinf（x）为有界变量）；

5.罗必塔法则：

适合）和。

，另外，用了罗必塔法则后再用“直接带入法”，不行，再用罗必塔法则，直到行为止。

6.分子（分母）有理化

7.图像法：

填空和选择题（图像无限接近某直线）

例题1：

解:

例题2:

解：

=

（确定方法后关键是变形找准方框）

例题3：

解:

=

例题4：

解:

例题5：

解：

例题6:

解：

，

（注意：

若将=0改成=-2会有：

a=1,b=-3）

例题7:

解：

，

可以利用公式法求解得极限为1，而后面的sin为有界变量，利用无穷小量的性质求得极限为0）=1+0=1

题型五：

极限存在的判定

；

题型六：

函数在x=处是否连续的判定

；

若

例题8:

设函数

问：

（1）为何值时，在处有极限存在？

（2）为何值时，在处连续？

解：

（1）要在处有极限存在，即要成立。

因为，所以，当时，有

成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。

（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是：

　　于是有，即时函数在处连续。

题型七：

导数的定义

①

②

例题9：

解：

题型八：

导数的几何意义

。

当知道时，可以得到—隐含条件。

例题10：

的三角形面积为一个定值.

证：

.

题型九：

导数的求法

①公式法：

注意：

公式法形式必须唯一，若x变得较复杂需用“复合求导”法。

②四则运算：

（u±v）'=u'±v'；（uv）'=u'v+uv'；（注意减号）

③复合函数（函数中套函数）求导：

，

（u为内层函数）；解题的关键是：

看函数与①中的哪个公式相似，然后将复杂的部分换成u,用

④高阶求导——；

⑤参数方程求导：

⑥对数求导：

适合—取对数转化为隐函数求导。

题型十：

微分的求法

微分,因此要求微分dy,必须先求导函数

（方法详见题型八），然后在导函数加上dx即可。

注意写法。

例题11.,求f'（x）及.

解:

.（）

例题12．y=ex（sinx+cosx）,求

解:

=y'=（ex）'（sinx+cosx）+ex（sinx+cosx）'

=ex（sinx+cosx）+ex（cosx-sinx）=2excosx.

例题13.，求。

解：

例题14.，求[]

解：

因为

所以

不写出中间变量，此例可这样写：

例题15.

.解：

例题16.求（x>0）的导数。

解：

这个函数即不是幂函数也不是指数函数，通常叫做幂指函数。

为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得，上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得，于是。

题型十一：

函数在点x=是否可导的判定

例题17.

解:

1）

2）

由1）、2）则可得：

。

题型十二：

利用导数求函数的单调区间

解题“三步曲”：

求函数定义域D

；

（解题的关键是：

求导函数和解不等式）

例题18.

解：

，

⑴．

⑵．

题型十三：

利用导数求函数的极值有两种方法，解题解题“三步曲”分别为：

①求导函数

②

（无论哪一种方法均要求驻点——使导函数y/=0的x值，若二阶导y//比较易求，建议用第二种方法，因为第一种方法要画表格，较复杂。

另外，极小值点是指x,而极小值是极小值点对应的函数值）。

例题19.

解一：

x=-2,x=0,x=2

列表有：

（技巧：

判断y/正负性可分别在各自的区间中取一个特值即可，如

，故y/<0）

x

0

（0,2）

2

y/

<0

0

>0

0

<0

0

>0

y

递减

极小值

递增

极大值

递减

极小值

递增

解二：

x=-2,x=0,x=2

题型十四：

利用导数求函数在闭区间[a,b]上的最值

“三步曲”：

（最值定理：

连续函数在闭区间[a,b]上必有最值——最大值和最小值）

例题20.

解：

。

题型十五：

不定积分定义

，

可以这样理解：

求导相当于“除法”，而求不定积分相当于“乘法”，

既然除法、乘法互为逆运算，因此求导y/与求不定积分亦可以看作互为逆运算，故有

（凡最后一步是求不定积分后面必须+C,切记）。

题型十六：

不定积分求法

①基本公式法：

（没什么技巧，硬背，熟练运用）

导数基本公式

不定积分基本公式

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

②.第一换元法（凑微分法）：

“三步曲”：

将被积分的函数看成两个函数相乘的形式

将其中的一个函数凑微分（详见凑微分公式表）

常见凑微分公式：

1；

[；

，，具体如何变形，取决于]

③.分部积分法：

“三步曲”：

将被积分的函数看成两个函数相乘的形式，看是否为三大类型之一，若是，确定需凑微分的函数

将确定的一个函数凑微分（详见凑微分公式表）

可用分部积分的三大类型：

④.第二换元法:

若被积分的式子中含有

例题21.

解：

1）原式

2）原式

例题22.求

解：

原式=

=[可以记住：

类型2]中n=0情况]

例题23.

解：

例题24.

解：

例题25.

解：

.

题型十七：

定积分性质

1.（关于积分区间的可加性）有。

规定1当时，；规定2当时，。

注：

有了这个规定后，性质1对的任何大小顺序都成立。

对于分段函数（含绝对值函数）的积分，通常利用积分区间的可加性来计算。

2.（积分不等式性质）若函数和均在上可积且，，则。

（上下限a和b隐含的给出了x的范围）

3.（积分第一中值定理）若在上连续，则至少存在一点，使得

。

积分第一中值定理的几何意义：

若在上非负连续，则在上的曲边梯形的面积等于以为高，为底的矩形的面积。

一般地，称为在上的平均值。

题型十八：

定积分求法

牛顿莱布尼兹公式：

因此，解题的关键是找到F（x）------先解决。

须注意1：

用换元法要“三换-------x、dx和上下限全换成u的，将关于x的定积分完

全的转化为关于u的定积分（不必回带）；

2.：

若要运用分部积分找F（x），可以先不带上下限,等完全找到后再用

牛顿莱布尼兹公式代入求定积分。

3.

（若上下限互为相反数，考虑能否用此公式简化解题）

例题26.

解：

注意：

又如：

设，求.

解：

例题27.

解：

原式=

。

例题28.求

解：

.

例题29.

解：

题型十九：

变上限定积分公式

，见例题5。

题型二十：

应用题

1.写函数表达式并求最值（寻找等式写函数表达式，如利润=总收入—总成本，

成本=可变成本+固定成本C0；平均成本=成本÷总件数；总收入=单位价格×销量个数长方形体积=底×高×宽；圆锥体积，，

注意有的题目有盖与无盖之分求所写函数（确保正确）的极值点及极值“结合题意及实际生活问题可知，函数的极小值（或极大值）就是最小值（或最大值）”下结论。

详见资料88-91页

②.导数与积分的实际意义：

可以这样理解：

求导相当于“除法”，而求不定积分相当于“乘法”，对于变速运动（除非明确说明，否则一切看作变速运动）:

边际（变化率）成本（或收入、利润）=成本（或收入、利润）的导数。

反过来，从t1到t2时刻，路程=

，下同省略。

见50和149

3用定积分求平面图形面积——求交点坐标确定上下限画草图，看哪个函数的图像在上面

4用定积分求平面图形绕x或y轴的体积：

（关于那个轴旋转，关于谁积分）

例题30.如图窗户的周长为10米，上半圆的直径为2r,问r为多少时，窗户面积最大。

解：

结合题意及实际生活问题可知，函数的即为最大值点，故当时，窗户的面积最大。

[1.写函数式时要细心，过程尽量详细，否则会做无用功；

2.驻点必须求，若二阶导较复杂，可以根据题目的问题来反推二阶导的正负性，如题目要问何时材料最省，可以确定二阶导>0，为最小值；

3.有极值到最值得过度语句不可省，详见例题30中的黑体字]

例题31、生产某种产品的固定费用是1000万元，每多生产1台该种产品，其成本增加10万元，又知对该产品的需求为q=120-2p（其中q是产销量，单位：

台；p是价格，单位：

万元）.求

（1）使该产品利润最大的产量；

（2）使利润最大的产量时的边际收入.

解

（1）设总成本函数为C（q），收入函数为R（q），利润函数为L（q），于是

C（q）=10q+1000（万元）R（q）=qp=（万元）

L（q）=R（q）-C（q）=（万元）

得到q=50（台）。

因为驻点唯一，故q=50台是所求最小值点。

即生产50台的该种产品能获最大利润。

（2）因为R（q）=，边际收入R'（q）=60-q（万元/台），

所以R'（50）=60–50。

例题32.

例题33.

解：

例34、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积

解：

设切点为切线方程

0123

切点在切线上，∴，∴切线方程：

题型二十一：

二元函数的偏导数、全微分

1、复合函数的偏导数：

设，而则

2、全微分：

函数的全微分为

3、二元函数在对x求偏导时，把变量y视为常量，然后用一元函数求导法则对x求导；对y求偏导时，把变量x视为常量，用一元函数求导法则对y求导。

（边写边说，实在不行就把常数字母看作C，另外，常数的四则运算、对数、指数运算还是常数）

4、求二元函数复合函数的偏导，可画一下函数的变量流程图，分析清楚此函数的最终自变量。

例35设，求，

解∵

＝0

＝0（注意格式写法）

例36设求

解：

例37设求二阶偏导数

解；

；

（表示先对x求导，再对y求导；表示对x