专升本高等数学复习提纲.docx

1、专升本高等数学复习提纲高等数学复习提纲题型一：函数的定义域1.分式分母不为0；2.开偶次方式子大于等于0；3.对数式真数大于0； 4. y=arcsinx (arccosx) 中x大于0（自身定义）。题型二：函数的性质1.单调性（导数求解三步曲：定义域求导解不等式求交集）；2.奇偶性；（奇函数关于圆点对称，偶函数关于y轴对称）3有界性（看y的范围是否在一个确定的范围内）4.周期性（几个结论，自己补充）(必考)题型三：极限的求法1.直接带入法（将xx0当成x= x0带入f(x)中，有意义即分母不为0时为极限值；2.公式法： ；3. ：找分式分母分子的最高次项及其系数，凡低于最高次项的项可忽略不计

2、，即4.无穷小量（极限为0）的性质：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量（sinf(x)为有界变量）；5. 罗必塔法则：适合）和 。 ，另外，用了罗必塔法则后再用“直接带入法”，不行，再用罗必塔法则，直到行为止。6.分子（分母）有理化7.图像法：填空和选择题(图像无限接近某直线)例题1： 解: 例题2: 解：= (确定方法后关键是变形找准方框)例题3： 解: = 例题4：解: 例题5：解： 例题6: 解： ， （注意：若将=0改成=-2会有：a=1,b=-3） 例题7: 解：， 可以利用公式法求解得极限为1，而后面的sin 为有界变量，利用无穷小量的性质求得极限为0)=1+0=1题型五：极限存在的

3、判定； 题型六：函数在x= 处是否连续的判定； 若 例题8:设函数 问 ：（1）为何值时，在处有极限存在？（2）为何值时，在处连续？解：（1）要在处有极限存在，即要成立。因为，所以，当时，有成立，即时，函数在处有极限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是： 于是有，即时函数在处连续。题型七：导数的定义例题9 ：解： 题型八：导数的几何意义 。当知道 时，可以得到隐含条件。例题10 ： 的三角形面积为一个定值. 证： .题型九：导数的求法公式法： 注意：公式法形式必须唯一，若x变得较复杂需用“复合求导”

4、法。四则运算：(uv)=uv；(uv)=uv+uv；（注意减号）复合函数（函数中套函数）求导：， （u为内层函数）； 解题的关键是：看函数与中的哪个公式相似，然后将复杂的部分换成u,用高阶求导； 参数方程求导：对数求导：适合取对数转化为隐函数求导。 题型十：微分的求法微分,因此要求微分dy ,必须先求导函数（方法详见题型八），然后在导函数加上 dx 即可。注意写法。例题11. , 求f (x)及. 解: , . （）例题12y=e x (sin x+cos x), 求 解: =y =（e x )(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x) = e x (sin x+cos

5、x)+ e x (cos x -sin x) =2e x cos x. 例题13.，求。 解： 例题14.，求解：因为 所以不写出中间变量，此例可这样写： 例题15. . 解： 例题16.求(x0)的导数。解 ：这个函数即不是幂函数也不是指数函数，通常叫做幂指函数。为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得，上式两边对x求导，注意到y是x的函数，得，于是。题型十一：函数在点x= 是否可导的判定 例题17. 解: 1) 2) 由1）、2）则可得：。题型十二：利用导数求函数的单调区间解题“三步曲”：求函数定义域D ； （解题的关键是：求导函数和解不等式） 例题18. 解： ， 题型十三：利用导数求

6、函数的极值有两种方法，解题解题“三步曲”分别为：求导函数 （无论哪一种方法均要求驻点使导函数y/=0的x值，若二阶导y/比较易求，建议用第二种方法，因为第一种方法要画表格，较复杂。另外，极小值点是指x,而极小值是极小值点对应的函数值）。 例题19. 解一：x = -2, x=0, x = 2 列表有：(技巧：判断y/正负性可分别在各自的区间中取一个特值即可，如 ，故y/0）x0(0,2)2y/000y递减极小值递增极大值递减极小值递增 解二： x = -2, x=0, x = 2 题型十四：利用导数求函数在闭区间a,b上的最值 “三步曲”： （最值定理：连续函数在闭区间a,b上必有最值最大值和

7、最小值） 例题20. 解： 。题型十五：不定积分定义 ，可以这样理解：求导相当于“除法”，而求不定积分相当于“乘法”，既然除法、乘法互为逆运算，因此求导y/与求不定积分亦可以看作互为逆运算，故有 （凡最后一步是求不定积分后面必须+C,切记）。题型十六：不定积分求法基本公式法：（没什么技巧，硬背，熟练运用）导数基本公式不定积分基本公式123456789101112.第一换元法（凑微分法）：“三步曲”：将被积分的函数看成两个函数相乘的形式将其中的一个函数凑微分（详见凑微分公式表） 常见凑微分公式： 1； ；，具体如何变形，取决于.分部积分法：“三步曲”：将被积分的函数看成两个函数相乘的形式，看是否

8、为三大类型之一，若是，确定需凑微分的函数将确定的一个函数凑微分（详见凑微分公式表） 可用分部积分的三大类型： .第二换元法: 若被积分的式子中含有 例题21. 解：1）原式 2）原式 例题22.求 解：原式= = 可以记住：类型2中n=0情况例题23. 解： 例题24. 解： 例题25. 解： .题型十七：定积分性质1.（关于积分区间的可加性）有。规定1 当时，；规定2 当时，。注：有了这个规定后，性质1 对的任何大小顺序都成立。对于分段函数（含绝对值函数）的积分，通常利用积分区间的可加性来计算。2.（积分不等式性质）若函数和均在上可积且，则。（上下限a和b隐含的给出了x的范围）3.（积分第一

9、中值定理）若在上连续，则至少存在一点，使得。积分第一中值定理的几何意义：若在上非负连续，则在上的曲边梯形的面积等于以为高，为底的矩形的面积。 一般地，称为在上的平均值。题型十八：定积分求法牛顿莱布尼兹公式： 因此，解题的关键是找到F（x）-先解决。须注意1： 用换元法要“三换- x 、dx和上下限全换成u 的，将关于x的定积分完 全的转化为关于u的定积分（不必回带）；2.： 若要运用分部积分找F（x），可以先不带上下限,等完全找到后再用牛顿莱布尼兹公式代入求定积分。3. （若上下限互为相反数，考虑能否用此公式简化解题）例题26. 解： 注意：又如：设，求. 解： 例题27. 解：原式= 。例题

10、28. 求 解： .例题29. 解： 题型十九：变上限定积分公式 ，见例题5 。题型二十：应用题1. 写函数表达式并求最值（寻找等式写函数表达式，如利润=总收入总成本，成本=可变成本+固定成本C0；平均成本=成本总件数；总收入=单位价格销量个数长方形体积=底高宽；圆锥体积， 注意有的题目有盖与无盖之分求所写函数（确保正确）的极值点及极值“结合题意及实际生活问题可知，函数的极小值（或极大值）就是最小值（或最大值）”下结论。详见资料88-91页.导数与积分的实际意义：可以这样理解：求导相当于“除法”，而求不定积分相当于“乘法”，对于变速运动（除非明确说明，否则一切看作变速运动）: 边际（变化率）成

11、本（或收入、利润）=成本（或收入、利润）的导数。反过来，从t1到t2时刻，路程= ，下同省略。见50和1493 用定积分求平面图形面积求交点坐标确定上下限 画草图，看哪个函数的图像在上面 4 用定积分求平面图形绕 x或y轴的体积： （关于那个轴旋转，关于谁积分）例题30.如图窗户的周长为10米，上半圆的直径为2r,问r为多少时，窗户面积最大。 解： 结合题意及实际生活问题可知，函数的即为最大值点，故当时，窗户的面积最大。 1.写函数式时要细心，过程尽量详细，否则会做无用功；2.驻点必须求，若二阶导较复杂，可以根据题目的问题来反推二阶导的正负性，如题目要问何时材料最省，可以确定二阶导0，为最小值

12、；3.有极值到最值得过度语句不可省，详见例题30中的黑体字例题31、生产某种产品的固定费用是1000万元，每多生产1台该种产品，其成本增加10万元，又知对该产品的需求为q =120-2p (其中q是产销量，单位：台；p是价格，单位：万元). 求 (1) 使该产品利润最大的产量； (2) 使利润最大的产量时的边际收入. 解（1）设总成本函数为C(q)，收入函数为R(q)，利润函数为L(q)，于是 C(q) =10q +1000 (万元) R(q) = qp = (万元) L(q) = R(q)-C(q) =(万元) 得到 q = 50(台)。 因为驻点唯一，故q = 50台是所求最小值点。即生产

13、50台的该种产品能获最大利润。 (2) 因为 R(q)=， 边际收入 R(q)= 60-q (万元/台) ， 所以 R(50)= 60 50。例题32. 例题33. 解： , 例34、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为 切线方程0 1 2 3 切点在切线上， ， 切线方程： 题型二十一：二元函数的偏导数、全微分1、复合函数的偏导数：设，而则2、全微分：函数的全微分为3、二元函数在对x求偏导时，把变量y视为常量，然后用一元函数求导法则对x求导；对y求偏导时，把变量x视为常量，用一元函数求导法则对y求导。（边写边说，实在不行就把常数字母看作C，另外，常数的四则运算、对数、指数运算还是常数）4、求二元函数复合函数的偏导，可画一下函数的变量流程图，分析清楚此函数的最终自变量。 例35 设，求， 解 0 0（注意格式写法）例36 设求解：例37 设求二阶偏导数解 ； ； （表示先对 x求导，再对y求导；表示对x