高考数学一轮复习 立体几何配套文档第八章 81.docx

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高考数学一轮复习立体几何配套文档第八章81

§8.1　空间几何体的结构、直观图和三视图

2014高考会这样考

　1.几何体作为线面关系的载体，其结构特征是必考内容；2.考查三视图、直观图及其应用．

复习备考要这样做

　1.重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型；2.熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．

1．多面体的结构特征

多面体

结构特征

棱柱

有两个面互相平行，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行.

棱锥

有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形.

棱台

棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分.

2．旋转体的形成

几何体

旋转图形

旋转轴

圆柱

矩形

矩形的一边所在的直线

圆锥

直角三角形

直角三角形的一直角边所在的直线

圆台

直角梯形

直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线

球

半圆

半圆直径所在的直线

3.空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中长度为原来的一半．

4．空间几何体的三视图

（1）三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形．

（2）三视图的特点：

三视图满足“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．

[难点正本　疑点清源]

1．正棱柱：

侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．

2．正棱锥：

底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．

3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：

S直观图＝

S原图形，S原图形＝2

S直观图．

4．空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

1．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是__________．（写出所有正确的序号）

①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．

答案　①②④

解析　①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．

2．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．（填入所有可能的几何体前的编号）

①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．

答案　①②③⑤

解析　①存在可以得主视图为三角形的情况；②四棱锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得主视图为三角形；③三棱柱，把侧面水平放置，正对着底面看，得主视图为三角形；④四棱柱，不论从哪个方向看都得不出三角形；⑤圆锥的底面水平放置，主视图是三角形；⑥圆柱从不同方向看是矩形或圆，不可能是三角形．

3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（　　）

A．圆柱B．圆锥

C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体

答案　C

解析　当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．

4．（2012·湖南）某几何体的主视图和左视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（　　）

答案　C

解析　根据几何体的三视图知识求解．

由于该几何体的主视图和左视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.

5．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（　　）

答案　B

解析　通过观察图形，三棱锥的主视图应为高为4，底面边长为3的直角三角形．

题型一　空间几何体的结构特征

例1

　设有以下四个命题：

①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；

②底面是矩形的平行六面体是长方体；

③直四棱柱是直平行六面体；

④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．

其中真命题的序号是________．

思维启迪：

利用有关几何体的概念判断所给命题的真假．

答案　①④

解析　命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．

探究提高　解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．

以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②错，因这腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．

题型二　几何体的三视图

例2

　如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为

，则该几何体的俯视图可以是（　　）

思维启迪：

对于三视图的有关问题，一定要抓住“投影”这个关键词，把握几何体的形状．

答案　C

解析　若该几何体的俯视图是选项A，则该几何体的体积为1，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项B，则该几何体的体积为

，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项C，则该几何体的体积为

，满足题意；若该几何体的俯视图是选项D，则该几何体的体积为

，不满足题意．故选C.

探究提高　对于几何体的三视图，要注意以下几点：

（1）三视图的排放位置．

主视图、左视图分别放在左、右两边，俯视图放在主视图的下边．

（2）注意实虚线的区别．

（3）画三视图的规则：

长对正，宽平齐，高相等．

一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为（　　）

答案　C

解析　由三视图中的主、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.

题型三　空间几何体的直观图

例3

　已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．

思维启迪：

按照直观图的画法，建立适当的坐标系将三角形A′B′C′还原，并利用平面几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注意线段和角的变化规律．

解　

建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′

轴上，A′B′边在x轴上，

把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝

2OC′，A、B点即为A′、B′点，长度不变．

已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，

由正弦定理得

＝

，

所以OC′＝

a＝

a，

所以原三角形ABC的高OC＝

a，

所以S△ABC＝

×a×

a＝

a2.

探究提高　对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝

S，并能进行相关问题的计算．

正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________．

答案　

a2

解析　正三角形AOB的面积为

a2，其直观图的面积为原图形面积的

倍，故它的直观图的面积等于

·

a2＝

a2.

三视图识图不准确致误

典例：

（5分）一个空间几何体的三视图，如图所示，则这个空间几何体的表面积是________．

易错分析　不能把三视图反映出的空间几何体的形状、大小准确的还原出来．

审题视角　由三视图还原成直观图或几何体，要注意几何体的不同放置；结合三视图的规则综合考虑，正确得到原几何体．

解析　这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体，其表面积是圆柱的上下两个底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这个表面积是2×

×π×12＋

×2π×1×2＋2×2＋4π×

2＝4π＋4.

答案　4π＋4

温馨提醒　在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．

方法与技巧

1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．

2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．

3．三视图画法：

（1）实虚线的画法：

分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；

（2）理解“长对正、宽平齐、高相等”．

4．直观图画法：

平行性、长度两个要素．

失误与防范

1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．

2．注意空间几何体的不同放置对三视图的影响．

3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图，提升空间想象能力．

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟，满分：

57分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．给出四个命题：

①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．

其中正确的命题个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　A

解析　反例：

①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A.

2．（2012·福建）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是

（　　）

A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱

答案　D

解析　考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得．

球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等，首先排除选项A和C.

对于如图所示三棱锥O－ABC，

当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，

其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.

不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同，

故答案选D.

3．（2011·课标全国）在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为（　　）

答案　D

解析　由几何体的主视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其左视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D.

4．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（　　）

答案　D

解析　由俯视图可知是B和D中的一个，由主视图和左视图可知B错．

二、填空题（每小题5分，共15分）

5．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．

答案　

解析　由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为

的三角形，所以原三角形的面积为

.

6.

如图所示，E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面

BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投

影是________．（填序号）

答案　②

解析　四边形在面DCC1D1上的投影为②，B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应在边CC1与DD1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．

7．图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.

答案　4

解析　如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA⊥平面

ABC，BA⊥AC.

由于V＝

S△ABC·h＝

×

×5×6×h＝5h，∴5h＝20，∴h＝4.

三、解答题（共22分）

8．（10分）一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，求这个几何体的表面积．

解　这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．

根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为

，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S＝

π×12＋

π×22＋

π×（1＋2）×2＋

×（2＋4）×

＝

＋3

.

9．（12分）已知一个正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．

解　

如图所示，正三棱台ABC—A1B1C1中，O、O1分别为两底面中

心，D、D1分别为BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．

由题意知A1B1＝20，AB＝30，

则OD＝5

，O1D1＝

，

由S侧＝S上＋S下，得

×（20＋30）×3DD1＝

×（202＋302），

解得DD1＝

，

在直角梯形O1ODD1中，

O1O＝

＝4

，

所以棱台的高为4

cm.

B组　专项能力提升

（时间：

25分钟，满分：

43分）

一、选择题（每小题5分，共15分）

1．（2011·山东）

右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：

①存在

三棱柱，其主视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其主视图、俯视图如右图；③存在

圆柱，其主视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是（　　）

A．3B．2

C．1D．0

答案　A

解析　底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时（即左视图为圆时），它的主视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．

2．一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图为（　　）

答案　C

解析　依题意可知该几何体的直观图如下图所示，故其俯视图应为C.

3．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：

①四边形BFD1E有可能为梯形；

②四边形BFD1E有可能为菱形；

③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；

④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；

⑤四边形BFD1E面积的最小值为

.

其中正确的是（　　）

A．①②③④B．②③④⑤

C．①③④⑤D．①②④⑤

答案　B

解析　四边形BFD1E为平行四边形，①显然不成立，当E、F分别为AA1、CC1的中点时，②④成立，四边形BFD1E在底面的投影恒为正方形ABCD.当E、F分别为AA1、CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，最小值为

.

二、填空题（每小题5分，共15分）

4．

在直观图（如图所示）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，

则在xOy坐标系中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.

答案　矩形　8

解析　由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO是一个长为4cm，宽为2cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8cm2.

5．用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是________．

答案　

r

解析　由题意可知卷成的圆锥的母线长为r，设卷成的圆锥的底面半径为r′，则2πr′＝πr，所以r′＝

r，

所以圆锥的高h＝

＝

r.

6．

如图，点O为正方体ABCD—A′B′C′D′的中心，点E为面

B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF

在该正方体的各个面上的投影可能是________．（填出所有可能的序

号）

答案　①②③

解析　空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′上的投影是①；在面BCC′B′上的投影是②；在面ABCD上的投影是③，故填①②③.

三、解答题

7．（13分）已知正三棱锥V—ABC的主视图、左视图和俯视图如图所示．

（1）画出该三棱锥的直观图；

（2）求出左视图的面积．

解　

（1）如图所示．

（2）根据三视图间的关系可得BC＝2

，

∴左视图中VA＝

＝2

，

∴S△VBC＝

×2

×2

＝6.