练闯考秋九年级数学上册人教版导学案全册.docx

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练闯考秋九年级数学上册人教版导学案全册练闯考秋九年级数学上册人教版导学案全册第二十一章一元二次方程211一元二次方程1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题2掌握一元二次方程的一般形式ax2bxc0（a0）及有关概念3会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念重点：

一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索难点：

由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项一、自学指导（10分钟）问题1：

如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：

设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为_（1002x）cm_，宽为_（502x）cm_列方程_（1002x）（502x）3600_，化简整理，得_x275x3500_问题2：

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：

全部比赛的场数为_4728_设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_（x1）_个队各赛1场，所以全部比赛共_场列方程_28_，化简整理，得_x2x560_探究：

（1）方程中未知数的个数各是多少？

_1个_

（2）它们最高次数分别是几次？

_2次_归纳：

方程的共同特点是：

这些方程的两边都是_整式_，只含有_一个_未知数（一元），并且未知数的最高次数是_2_的方程1一元二次方程的定义等号两边都是_整式_，只含有_一_个未知数（一元），并且未知数的最高次数是_2_（二次）的方程，叫做一元二次方程2一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2bxc0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中_ax2_是二次项，_a_是二次项系数，_bx_是一次项，_b_是一次项系数，_c_是常数项点拨精讲：

二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数a0是一个重要条件，不能漏掉二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视（6分钟）1判断下列方程，哪些是一元二次方程？

（1）x32x250；

（2）x21；（3）5x22xx22x；（4）2（x1）23（x1）；（5）x22xx21;（6）ax2bxc0.解：

（2）（3）（4）点拨精讲：

有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程2将方程3x（x1）5（x2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项解：

去括号，得3x23x5x10.移项，合并同类项，得3x28x100.其中二次项系数是3，一次项系数是8，常数项是10.点拨精讲：

将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果（8分钟）1求证：

关于x的方程（m28m17）x22mx10，无论m取何值，该方程都是一元二次方程证明：

m28m17（m4）21，（m4）20，（m4）210，即（m4）210.无论m取何值，该方程都是一元二次方程点拨精讲：

要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m28m170即可2下面哪些数是方程2x210x120的根？

4，3，2，1，0，1，2，3，4.解：

将上面的这些数代入后，只有2和3满足等式，所以x2或x3是一元二次方程2x210x120的两根点拨精讲：

要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路（9分钟）1判断下列方程是否为一元二次方程

（1）1x20;

（2）2（x21）3y；（3）2x23x10;（4）0；（5）（x3）2（x3）2;（6）9x254x.解：

（1）是；

（2）不是；（3）是；（4）不是；（5）不是；（6）是2若x2是方程ax24x50的一个根，求a的值解：

x2是方程ax24x50的一个根，4a850，解得a.3根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：

（1）4x225，4x2250；

（2）x（x2）100，x22x1000.学生总结本堂课的收获与困惑（2分钟）1一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程2一元二次方程的一般形式ax2bxc0（a0），特别强调a0.3要会判断一个数是否是一元二次方程的根学习至此，请使用本课时对应训练部分（10分钟）212解一元二次方程212.1配方法

（1）1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能重点：

运用开平方法解形如（xm）2n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想难点：

通过根据平方根的意义解形如x2n（n0）的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如（xm）2n（n0）的方程一、自学指导（10分钟）问题1：

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？

设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为_6x2_dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：

_106x21500_，由此可得_x225_，根据平方根的意义，得x_5_，即x1_5_，x2_5_可以验证_5_和5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为_5_dm.探究：

对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程（2x1）25及方程x26x94?

方程（2x1）25左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为_2x1_，即将方程变为_2x1和_2x1_两个一元一次方程，从而得到方程（2x1）25的两个解为x1_，x2_在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了方程x26x94的左边是完全平方式，这个方程可以化成（x_3_）24，进行降次，得到_x32_，方程的根为x1_1_，x2_5_.归纳：

在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程如果方程能化成x2p（p0）或（mxn）2p（p0）的形式，那么可得x或mxn.二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视（6分钟）解下列方程：

（1）2y28；

（2）2（x8）250；（3）（2x1）240;（4）4x24x10.解：

（1）2y28，

（2）2（x8）250，y24，（x8）225，y2，x85，y12，y22；x85或x85，x113，x23；（3）（2x1）240，（4）4x24x10，（2x1）2450），每月销售这种篮球获利y元

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？

解：

（1）y10x21400x40000（50x0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点a越大，抛物线的开口越小；当a0时，开口向上；a0，即m2，只能取m2.这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为（0，0），当x0时，y随x的增大而增大（3）若函数有最大值，则抛物线开口向下，m20，即m0时，y随x的增大而减小二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路（5分钟）1二次函数yax2与yax2的图象之间有何关系？

2已知函数yax2经过点（1，3）

（1）求a的值；

（2）当xx20，则y1与y2的关系是_y1y2_4二次函数yax2与一次函数yax（a0）在同一坐标系中的图象大致是（B）点拨精讲：

1.二次函数yax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取57个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；2抛物线yax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同学生总结本堂课的收获与困惑（2分钟）学习至此，请使用本课时对应训练部分（10分钟）221.3二次函数ya（xh）2k的图象和性质

（1）1会作函数yax2和yax2k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标2了解抛物线yax2上下平移规律重点：

会作函数的图象难点：

能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标一、自学指导（10分钟）自学：

自学课本P3233“例2”及两个思考，理解yax2k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空总结归纳：

二次函数yax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是（0，0），开口方向由a的符号决定：

当a0时，开口向上；当a0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大抛物线有最_低_点，函数y有最_小_值当a0时，向_上_平移；当k0时，向_下_平移二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视（7分钟）1在抛物线yx22上的一个点是（C）A（4，4）B（1，4）C（2，2）D（0，4）2抛物线yx216与x轴交于B，C两点，顶点为A，则ABC的面积为_64_点拨精讲：

与x轴的交点的横坐标即当y等于0时x的值，即可求出两个交点的坐标3画出二次函数yx21，yx2，yx21的图象，观察图象有哪些异同？

点拨精讲：

可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果（5分钟）探究1抛物线yax2与yax2c有什么关系？

解：

（1）抛物线yax2c的形状与yax2的形状完全相同，只是位置不同；

（2）抛物线yax2向上平移c个单位得到抛物线yax2c；抛物线yax2向下平移c个单位得到抛物线yax2c.探究2已知抛物线yax2c向下平移2个单位后，所得抛物线为y2x24，试求a，c的值解：

根据题意，得解得二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路（13分钟）1函数yax2a与yaxa（a0）在同一坐标系中的图象可能是（D）2二次函数的图象如图所示，则它的解析式为（B）Ayx24Byx23Cy（2x）2Dy（x22）3二次函数yx24图象的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，4），当x0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a0）；抛物线yax2向右平移h个单位，即为抛物线ya（xh）2（h0）二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视（7分钟）1教材P35练习题；2抛物线y（x1）2的开口向下，顶点坐标是（1，0），对称轴是x1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线yx2.一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果（8分钟）探究1在直角坐标系中画出函数y（x3）2的图象

（1）指出函数图象的对称轴和顶点坐标；

（2）根据图象回答，当x取何值时，y随x的增大而减小？

当x取何值时，y随x的增大而增大？

当x取何值时，y取最大值或最小值？

（3）怎样平移函数yx2的图象得到函数y（x3）2的图象？

解：

（1）对称轴是直线x3，顶点坐标（3，0）；

（2）当x3时，y随x的的增大而增大；当x3时，y有最小值；（3）将函数yx2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y（x3）2的图象点拨精讲：

二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点探究2已知直线yx1与x轴交于点A，抛物线y2x2平移后的顶点与点A重合

（1）求平移后的抛物线l的解析式；

（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线l上，且x1x2，试比较y1，y2的大小解：

（1）yx1，令y0，则x1，A（1，0），即抛物线l的顶点坐标为（1，0），又抛物线l是由抛物线y2x2平移得到的，抛物线l的解析式为y2（x1）2.

（2）由

（1）可知，抛物线l的对称轴为x1，a21时，y随x的增大而减小，又x1y2.二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路（10分钟）1不画图象，回答下列问题：

（1）函数y3（x1）2的图象可以看成是由函数y3x2的图象作怎样的平移得到的？

（2）说出函数y3（x1）2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标（3）函数有哪些性质？

（4）若将函数y3（x1）2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？

点拨精讲：

性质从增减性、最值来说2与抛物线y2（x5）2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y2（x5）23对于函数y3（x1）2，当x1时，函数y随x的增大而减小，当x1时，函数取得最大值，最大值y04二次函数yax2bxc的图象向左平移2个单位长度得到yx22x1的图象，则b6，c9点拨精讲：

比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了学生总结本堂课的收获与困惑（2分钟）学习至此，请使用本课时对应训练部分（10分钟）221.3二次函数ya（xh）2k的图象和性质（3）1进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数ya（xh）2k的图象2能正确说出ya（xh）2k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标3掌握抛物线ya（xh）2k的平移规律重点：

熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数ya（xh）2k的图象难点：

能正确说出ya（xh）2k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线ya（xh）2k的平移规律一、自学指导（10分钟）自学：

自学课本P3536“例3、例4”，掌握ya（xh）2k与yax2之间的关系，理解并掌握ya（xh）2k的相关性质，完成填空总结归纳：

一般地，抛物线ya（xh）2k与yax2的形状相同，位置不同，把抛物线yax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线ya（xh）2k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定：

当h0时，表明将抛物线向右平移h个单位；当k0时，开口向上；当a3时，函数值y随自变量x的值的增大而减小一、小组讨论：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果（13分钟）探究1填写下表：

解析式开口方向对称轴顶点坐标y2x2向下y轴（0，0）yx21向上y轴（0，1）y5（x2）2向下x2（2，0）y3（x1）24向上x1（1，4）点拨精讲：

解这类型题要将不同形式的解析式统一为ya（xh）2k的形式，便于解答探究2已知ya（xh）2k是由抛物线yx2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线

（1）求出a，h，k的值；

（2）在同一坐标系中，画出ya（xh）2k与yx2的图象；（3）观察ya（xh）2k的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小，并求出函数的最值；（4）观察ya（xh）2k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？

解：

（1）抛物线yx2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y（x1）22，a，h1，k2；

（2）函数y（x1）22与yx2的图象如图；（3）观察y（x1）22的图象可知，当x1时，y随x的增大而减小；（4）由y（x1）22的图象可知，对于一切x的值，y2.二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路（5分钟）1将抛物线y2x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y2（x3）22点拨精讲：

抛物线的移动，主要看顶点位置的移动2若直线y2xm经过第一、三、四象限，则抛物线y（xm）21的顶点必在第二象限点拨精讲：

此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别3把y2x21的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y2（x1）234已知A（1，y1），B（，y2），C（2，y3）在函数ya（x1）2k（a0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2y30时，开口向上，此时二次函数有最小值，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小；当a0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当xh时，y随x的增大而减小；用配方法将yax2bxc化成ya（xh）2k的形式，则h，k；则二次函数的图象的顶点坐标是（，），对称轴是x；当x时，二次函数yax2bxc有最大（最小）值，当a0时，函数y有最小值二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视（5分钟）1求二次函数yx22x1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象点拨精讲：

先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果（13分钟）探究1将下列二次函数写成顶点式ya（xh）2k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴

（1）yx23x21；

（2）y3x218x22.解：

（1）yx23x21（x212x）21（x212x3636）21（x6）212此抛物线的开口向上，顶点坐标为（6，12），对称轴是x6.

（2）y3x218x223（x26x）223（x26x99）223（x3）25此抛物线的开口向下，顶点坐标为（3，5），对称轴是x3.点拨精讲：

第

（2）小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解探究2用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？

（1）S与l有何函数关系？

（2）举一例说明S随l的变化而变化？

（3）怎样求S的最大值呢？

解：

Sl（30l）l230l（0l30）（l230l）（l15）2225画出此函数的图象，如图l15时，场地的面积S最大（S的最大值为225）点拨精讲：

二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路（5分钟）1y2x28x7的开口方向是向下，对称轴是x2，顶点坐标是（2，1）；当x2时，函数y有最大值，其值为y12已知二次函数yax22xc（a0）有最大值，且ac4，则二次函数的顶点在第四象限3抛物线yax2bxc，与y轴交点的坐标是（0，c），当b24ac0时，抛物线与x轴只有一个交点（即抛物线的顶点），交点坐标是（，0）；当b24ac0时，抛物线与x轴有两个交点，交点坐标是（，0）；当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点，若抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），则yax2bxca（xx1）（xx2）点拨精讲：

与y轴的交点坐标即当x0时求y的值；与x轴交点即当y0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可先用交点式：

ya（xx1）（xx2），x1，x2为两交点的横坐标学生总结本堂课的收获与困惑（2分钟）学习至此，请使用本课时对应训练部分（10分钟）221.4二次函数yax2bxc的图象和性质

（2）能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式重难点：

能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式一、自学指导（10分钟）自学：

自学课本P3940，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空总结归纳：

若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为yax2bxc，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为ya（xh）2k，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0），可设函数的关系式为ya（xx1）（xx2），把另一点坐标代入式中，可求出解析式二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视（7分钟）1二次函数y4x2mx2，当x2时，y随x的增大而增大，则当x1时，y的值为22点拨精讲：

可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值2抛物线yx26x2的顶点坐标是（3，11）3二次函数yax2bxc的图象大致如图所示，下列判断错误的是（D）Aa0Cc0Dac0第3题图第4题图第5题图4如图，抛物线yax2bxc（a0）的对称轴是直线x1，且经过点P（3，0），则abc的值为（A）A0B1C1D2点拨精讲：

根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为（1，0），将此点代入解析式，即可求出abc的值5如图是二次函数yax23xa21的图象，a的值是1点拨精讲：

可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向一、小组合作：

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果（13分钟）探究1已知二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，3），C（0，3），求函数的关系式和对称轴解：

设函数解析式为yax2bxc，因为二次函数的图象经过点A（3，0），B（2，3），C（0，3），则有解得函数的解析式为yx22x3，其对称轴为x1.探究2已知一抛物线与x轴的交点是A（3，0），B（1，0），且经过点C（2，9）试求该抛物线的解析式及顶点坐标解：

设解析式为ya（x3）（x1），则有a（23）（21）9，a3，此函数的解析式为y3x26x9，其顶点坐标为（1，12）点拨精讲：

因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单而顶点可根据顶点公式求出二、跟踪练习：

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路（5分钟）1已知一个二次函数的图象的顶点是（2，4），且过点（0，4），求这个二次函数的解析式及与x轴交点的坐标2若二次函数yax2bxc的图象过点（1，0），且关于直线x对称，那么它的图象还必定经过原点3如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过A（2，0），B（0，6）两点

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交